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相关试卷

1、已知函数 $f (x)$ 是定义域为 $R$ 的偶函数，且 $f (1 - 2 x)$ 为奇函数，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (1) = 0$ C、 $f (2) = 0$ D、 $f (3) = 0$

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2、若 $x > m^{2} - 2$ 的充分不必要条件是 $0 < x < 1$ ，则实数m的值可以是（）

A、 $- 1$ B、0 C、1 D、2

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3、下列命题中是全称量词命题并且是真命题的是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 2 x + 1 \geq 0$ B、 $\exists x \in N$ ， 2x为偶数 C、所有菱形的四条边都相等 D、每个二次函数的图象都是轴对称图形

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4、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x \geq 0$ 时， $f (x) = \frac{1}{2} (|x - a^{2}| + |x - 2 a^{2}| - 3 a^{2})$ ，若 $\forall x \in R$ ， $f (x - 1) \leq f (x)$ ，则实数a的取值范围为（）

A、 $[- \frac{1}{6}, \frac{1}{6}]$ B、 $[- \frac{\sqrt{6}}{6}, \frac{\sqrt{6}}{6}]$ C、 $[- \frac{1}{3}, \frac{1}{3}]$ D、 $[- \frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{3}}{3}]$

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5、已知x，y均为正实数，且 $x + 2 y = 2$ .则 $\frac{1}{x + 1} + \frac{1}{2 y + 1}$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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6、若 $a < 0$ ，则关于x的不等式 $a (x + 2) (x + \frac{1}{a}) < 0$ 的解集为（）

A、 $\{x |\frac{1}{a} < x < 2\}$ B、 $\{x |- 2 < x < \frac{1}{a}\}$ C、 $\{x |x > - \frac{1}{a} 或 x < - 2\}$ D、 $\{x |x > - 2 或 x < - \frac{1}{a}\}$

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7、十六世纪中叶，英国数学家雷科德在《砺智石》一书中首先把“＝”作为等号使用，后来英国数学家哈利奥特首次命题正确的是使用“＜”和“＞”符号，并逐渐被数学届接受，不等号的引入对不等式的发展影响深远．已知a，b，c满足 $c < b < a$ ，且 $a + c = 0$ ，那么下列选项中一定成立的是（）

A、 $c b^{2} < a b^{2}$ B、 $a (b - a) < 0$ C、 $a c (a - c) > 0$ D、 $a b > c^{2}$

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8、下列函数中，在定义域上既是奇函数又是增函数的是（）

A、 $y = x + 1$ B、 $y = \sqrt{x}$ C、 $y = - \frac{1}{x}$ D、 $y = x^{3}$

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9、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3 x + 1, x < 1 \\ x^{2} + 1, x \geq 1 \end{array}$ ，则 $f (f (0)) =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、5

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10、已知 $A = \{x |2 x - 3 > 0\}$ ，则有（）

A、 $1 \in A$ B、 $2 \subseteq A$ C、 $\{3\} \in A$ D、 $\{4\} \subseteq A$

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11、如图，在棱长为1的正方体 $O A B C - O^{'} A^{'} B^{'} C^{'}$ 中， $E, F$ 分别是棱 $A B, B C$ 上的中点.

(1)、求证： $A^{'} F ⊥ C^{'} E$ ；

(2)、求三棱锥 $B - B^{'} E F$ 的体积；

(3)、求平面 $A^{'} E F$ 与平面 $B^{'} E F$ 的夹角的余弦值.

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12、已知 $\cos (α + β) = \cos α + \cos β$ ，则 $\cos α$ 的最大值为．

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13、若异面直线 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 的方向向量分别是 $\vec{a} = (0, - 1, - 2)$ ， $\vec{b} = (4, 0, 2)$ ，则异面直线 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的夹角的余弦值为．

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14、已知 $F_{1}, F_{2}$ 是椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 的两个焦点，若点 $P$ 是椭圆 $C$ 上的一个动点，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长是.

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15、画法几何的创始人——法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆，我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{3} + y^{2} = 1$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为椭圆的左、右焦点，直线 $l$ 的方程为 $\sqrt{2} x + y - 4 = 0$ ， $M$ 为椭圆 $C$ 的蒙日圆上一动点， $M A$ ， $M B$ 分别与椭圆相切于A， $B$ 两点， $O$ 为坐标原点，下列说法正确的是（）

A、椭圆 $C$ 的蒙日圆方程为 $x^{2} + y^{2} = 4$ B、记点A到直线 $l$ 的距离为 $d$ ，则 $d - |A F_{2}|$ 的最小值为0 C、一矩形四条边与椭圆 $C$ 相切，则此矩形面积最大值为 $4 \sqrt{3}$ D、 $△ A O B$ 的面积的最大值为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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16、小明同学某天发现，在阳光的照射下，篮球在地面留下的影子如图所示，设过篮球的中心 $O$ 且与太阳平行光线垂直的平面为 $α$ ，地面所在平面为 $β$ ，篮球与地面的切点为 $H$ ，球心为 $O$ ，球心 $O$ 在地面的影子为点 $O^{'}$ ；已知太阳光线与地面的夹角为 $θ$ ；如图， $A B$ 为球 $O$ 的一条直径， $A^{'}, B^{'}$ 为 $A, B$ 在地面的影子，点 $H$ 在线段 $A^{'} B^{'}$ 上，小明经过研究资料发现，当 $θ \neq \frac{π}{2}$ 时，篮球的影子为一椭圆，且点 $H$ 为椭圆的焦点，线段 $A^{'} B^{'}$ 为椭圆的长轴，则此时该椭圆的离心率（）（用 $θ$ 表示）.

A、 $\cos θ$ B、 $\sin θ$ C、 ${cos}^{2} θ$ D、 $\frac{cos θ}{sin θ}$

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17、已知过原点的动直线 $l$ 与圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} - 6 x + 5 = 0$ 相交于不同的两点 $A, B$ ，线段 $A B$ 的中点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ；若直线 $L : y = k (x - 4)$ 与曲线 $C$ 只有一个交点，则下面哪个 $k$ 值不符合（）

A、 $\frac{- 2 \sqrt{5}}{7}$ B、 $\frac{2 \sqrt{5}}{7}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、1

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18、圆 $x^{2} + y^{2} = 4$ 上有（）个点到直线 $l : y = x + \sqrt{2}$ 的距离等于1.

A、4 B、3 C、2 D、1

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19、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $D$ ，对于区间 $I = [a, b]$ （ $a < b$ ， $I \subseteq D$ ），若满足以下两条性质之一，则称 $f (x)$ 在区间 $I$ 上具有 $T$ 性质.
性质1：对任意 $x \in I$ ，有 $f (x) \in I$ ；
性质2：对任意 $x \in I$ ，有 $f (x) \notin I$ .

(1)、分别判断下列两函数在区间 $[0, 3]$ 是否具有 $T$ 性质；
① $y = 3 - \frac{1}{2} x$ ；② $y = x + \frac{1}{x}$ ；

(2)、若函数 $f (x) = - x^{2} + 2 x$ 在区间 $[0, m]$ （ $m > 0$ ）具有 $T$ 性质，求 $m$ 的取值范围

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20、已知函数 $y = f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，且当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $R$ 上的单调性，并用定义证明；

(3)、若对任意实数 $m \in [- 1 ， 1]$ ， $f (m) + f (m^{2} - 2^{t}) < 0$ 恒成立，求实数 $t$ 的取值范围.

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