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相关试卷

1、已知四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $E$ ， $F$ 分别为线段 $B C$ ， $P A$ 的中点， $G$ 是线段 $P D$ 上的一点， $P A = A D = 2$ .若异面直线 $C F$ 与 $E G$ 所成角的余弦值为 $\frac{4 \sqrt{41}}{41}$ ，则三棱锥 $P - E F G$ 的体积为.

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 2$ ， $a_{n + 1} - \frac{1}{2} a_{n} = \frac{3}{2 n} a_{n}$ ，则 $a_{5} =$ .

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3、已知有甲、乙两个盒子，甲盒中有3个红球，2个白球，乙盒中有2个红球，4个白球，这些球除颜色外，形状大小都相同.现从甲、乙两个盒子中各摸取一球，则摸取的两个球恰好一红一白的概率为.

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4、已知 $A_{1} (- 4, 0)$ ， $A_{2} (4, 0)$ ，点 $P$ 满足直线 $P A_{1}$ 与直线 $P A_{2}$ 的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ ，记点 $P$ 的轨迹为 $C$ ， $F_{1}$ ， $F_{2}$ 为曲线 $C$ 的左、右焦点，若 $l$ 经过 $F_{2}$ 与 $C$ 交于 $A$ ， $B$ 两点， $△ A F_{1} F_{2}$ ， $△ B F_{1} F_{2}$ 的内切圆分别与 $l$ 相切于 $S_{1}$ ， $S_{2}$ ，半径分别为 $r_{1}$ ， $r_{2}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $C$ 的方程为 $\frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ B、 $|P F_{1}| + |P F_{2}| = 8$ C、 $|A S_{1}| = |B S_{2}| = 2$ D、 $r_{1} r_{2} = |S_{1} F_{2}| |S_{2} F_{2}|$

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5、设公比 $q > 1$ 的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $a_{3} + a_{4} = 4$ ， $a_{1} a_{6} = 3$ ，则（）

A、 $q = 3$ B、 $\frac{S_{4}}{S_{3}} = \frac{40}{13}$ C、 $a_{9} + a_{10} + a_{11} + a_{12} = 360$ D、若 $a_{m} a_{n} = 1$ ，则 $m + n = 6$

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6、已知 $A (- 2, 3, 1)$ ， $B (0, - 1, 4)$ ， $C (1, 3, - 5)$ ，下列说法正确的是（）

A、 $|\vec{A B} + \vec{A C}| = 5 \sqrt{2}$ B、与 $\vec{B C}$ 平行的一个单位向量是 $(\frac{\sqrt{2}}{14}, \frac{2 \sqrt{2}}{7}, - \frac{9 \sqrt{2}}{14})$ C、 $\vec{A B} ⊥ (3 \vec{A B} - 2 \vec{B C})$ D、平面 $A B C$ 的一个法向量是 $(8, 7, 4)$

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7、双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{3} - y^{2} = 1$ 的右焦点为 $F$ ，设 $P (\frac{3}{2}, 1)$ ，过 $F$ 且斜率存在的一条直线与双曲线交于 $A$ ， $B$ 两点.记直线 $P A$ ， $P B$ 的斜率依次为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，若 $k_{1} \in (0, \frac{\sqrt{3}}{3})$ ，则 $k_{2}$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2 - \sqrt{3}, - 2)$ B、 $(- 3 - \sqrt{3}, - 3)$ C、 $(- 4 - \frac{\sqrt{3}}{3}, - 4)$ D、 $(- 5 - \frac{\sqrt{3}}{3}, - 5)$

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8、如图，正四面体 $P - A B C$ 的棱长为4， $P O ⊥$ 平面 $A B C$ ， $O$ 为垂足， $\vec{P D} = \frac{1}{4} \vec{P O}$ ，延长 $C O$ 交 $A B$ 于点 $E$ ，则 $\vec{C E} \cdot (\vec{A D} + \vec{P C}) =$ （）

A、12 B、 $- 12$ C、16 D、 $- 16$

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9、 $\forall x \in R$ ，用 $m (x)$ 表示 $f (x)$ ， $g (x)$ 中的最小者，记为 $m (x) = min \{f (x), g (x)\}$ .记 $m (x)$ 的最大值为 $m {(x)}_{max}$ ， $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如： $[2.1] = 2$ ， $[- 0.1] = - 1$ ，若 $f (x) = 2 - |x|$ ， $g (x) = 2^{x}$ ，则 $[m {(x)}_{max}] =$ （）

A、0 B、1 C、2 D、3

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10、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{4} + a_{7} = 28$ ， $a_{1} + a_{5} + a_{10} = 41$ ，则其前30项和 $S_{30} =$ （）

A、585 B、957 C、1020 D、1085

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11、已知圆 $O_{1}$ ： ${(x - 4)}^{2} + {(y + 3)}^{2} = 1$ ，圆 $O_{2}$ ： ${(x + 2)}^{2} + {(y - 5)}^{2} = 144$ ，则这两个圆的位置关系为（）

A、外离 B、外切 C、相交 D、内含

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12、若点 $P (- 3, 4)$ 在直线 $k x - y + b = 0$ 上的垂足为 $(1, 2)$ ，则 $k + 2 b =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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13、设复数 $z = 6 + a i (a \in R)$ ，且 $|z| = 10$ ，则 $a =$ （）

A、4 B、8 C、 $\pm 4$ D、 $\pm 8$

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14、已知集合 $A = \{x |x + \frac{1}{x} < 0\}$ ， $B = \{x |4 - x > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 0)$ B、 $(0, 4)$ C、 $(0, + \infty)$ D、 $(4, + \infty)$

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15、已知锐角三角形 $A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且满足 $\frac{sin A}{sin C} - 1 = \frac{{sin}^{2} A - {sin}^{2} C}{{sin}^{2} B}$ ， $A \neq C$ .

(1)、求证： $B = 2 C$ ；

(2)、求 $\frac{1}{cos C} + \frac{a}{b}$ 的取值范围；

(3)、若 $a = 2$ ，求三角形 $A B C$ 面积的取值范围．

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16、已知 $f (x) = e^{x} + \frac{m}{e^{x}}$ 是偶函数.
（1）求实数 $m$ 的值；
（2）解不等式 $f (2 x) \geq f (x + 1)$ ；
（3）记 $g (x) = \ln {(3 - a) [f (x) - e^{- x}] + 1} - \ln 3 a - 2 x$ ，若 $g (x) \leq 0$ 对任意的 $x \in [0, + \infty)$ 成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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17、已知函数 $f (x) = 2 s i n (ω x + \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 在区间 $(- \frac{π}{4}, \frac{π}{3})$ 上恰有一个最大值点和一个最小值点．

(1)、求实数 $ω$ 的取值范围；

(2)、如果求 $ω$ 在（1）的范围内取最小整数．令 $g (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) + \cos (ω x + \frac{π}{6}) + \sin (ω x + \frac{π}{6}) \cos (ω x + \frac{π}{6})$ ．求 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{5 π}{36}]$ 上的值域．

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18、某企业生产某款空调预计全年需投入固定成本 $260$ 万元，生产 $x$ 千台空调，需另投入资金 $R$ 万元，且 $R = \{\begin{cases} 10 x^{2} + a x, 0 \leq x < 40 \\ \frac{901 x^{2} - 9450 x + 10000}{x}, x \geq 40 \end{cases}$ ，经测算，当生产 $10$ 千台空调时需另投入的资金为 $4000$ 万元．已知每台空调的售价为 $0.9$ 万元，且当年生产的空调能全部销售完．

(1)、求该企业生产并销售该款空调所获年利润 $W$ （单位：万元）关于年产量 $x$ （单位：千台）的函数关系式．

(2)、当年产量为多少时，该企业所获年利润最大？最大年利润为多少？（注：利润 $=$ 销售额 $-$ 成本）

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19、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 3 x - 4 \leq 0\}$ ，集合 $B = \{x |2 m - 1 \leq x \leq m + 1\}$ ．

(1)、若 $m = - 1$ ，求 $∁_{R} (A \cup B)$ ；

(2)、若 $x \in B$ 是 $x \in A$ 的充分不必要条件，求 $m$ 的取值范围．

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20、 $\vec{a}, \vec{b}$ 均为单位向量，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，向量 $\vec{c}$ 满足 $|\vec{c} - \vec{a} - \vec{b}| = 1$ ，则 $|\vec{c}|$ 的取值范围是．

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