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相关试卷

1、在 ${(2 x + \frac{3}{\sqrt[3]{x}})}^{n}$ 的展开式中，第4项的二项式系数与第3项的二项式系数的比为 $2 : 1$ ．

(1)、求n的值；

(2)、求展开式中含 $x^{4}$ 的项的二项式系数．

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2、 $4$ 个人进行篮球训练，互相传球接球，要求每个人接球后马上传给别人，开始由甲发球，并作为第一次传球，第五次传球后，球又回到甲手中，不同的传球方法数为.

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3、若函数 $f (x) = \frac{3}{x} + \ln x$ 在区间 $(m, m + 1)$ 上是单调减函数，则实数 $m$ 的取值范围是．

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4、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 2, S_{20} - S_{15} = 8$ ，则 $S_{10} =$ ．

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5、将数字（ $1, 2, 3$ ）､字母（ $a, b, c$ ）和符号（★，❤，☼）放入到下面的九宫格中，每个格子只能放一个数字､字母或符号，每个数字､字母或符号都必须使用，且只能用一次．则每行每列都有数字､字母和符号的排法有（）种

A、648 B、1048 C、1296 D、2592

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式分别为 $a_{n} = 3^{n}, b_{n} = n$ ，在 $b_{m}$ 与 $b_{m + 1}$ 之间插入数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $m$ 项，构成新数列 $\{c_{n}\}$ ，即 $b_{1}, a_{1}, b_{2}, a_{1}, a_{2}, b_{3}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, b_{4}, a_{1}, a_{2}, a_{3}, a_{4}, b_{5}, \dots$ ，记数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则 $\sum_{i = 1}^{S_{6}} c_{i} =$ （）

A、128 B、558 C、884 D、4944

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7、已知函数 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数， $f (1) = \frac{1}{e}$ ，对任意实数x都有 $f (x) - f^{'} (x) > 0$ ，则不等式 $f (x) < e^{x - 2}$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(1, + \infty)$ C、 $(1, e)$ D、 $(e, + \infty)$

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8、某学校人工智能社团从包含甲、乙的6名成员中选出4人，分别负责数据采集、模型训练、算法优化、成果展示四项AI实践任务，每项任务安排1人. 其中甲、乙两名同学不负责模型训练，则不同的安排方案种数为（）

A、120 B、180 C、240 D、320

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9、函数 $y = \frac{1}{2} x^{2} - 4 ln x$ 的单调递减区间是（）

A、 $(0, 2)$ B、 $(- \infty, - 2)$ C、 $(- 2, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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10、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{2} + a_{5} = 5$ ， $a_{3} + 2 a_{4} = 8$ ，则 $S_{7} =$ （）

A、15 B、21 C、28 D、36

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11、若函数 $f (x) = 2^{x} + cos 3 x$ ，则（）

A、 $f^{'} (x) = \frac{1}{x ln 2} + 3 sin 3 x$ B、 $f^{'} (x) = 2^{x} ln 2 + sin 3 x$ C、 $f^{'} (x) = \frac{1}{x ln 2} - 3 sin 3 x$ D、 $f^{'} (x) = 2^{x} ln 2 - 3 sin 3 x$

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12、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = n (n - 1)$ ，则110是该数列的第（）项

A、10 B、11 C、12 D、13

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13、进位制是人们为了计数和计算方便而约定的计数方式，通常“满十进一，就是十进制；满三进一，就是三进制；满二进一，就是二进制；…；满几进一，就是几进制”.记十进制下的自然数 $m$ 在三进制下的表示为 $a_{n} a_{n - 1} \dots a_{1} a_{0 (3)}$ ，则 $m = \sum_{i = 0}^{n} a_{i} \cdot 3^{i}$ ，其中 $a_{l} \in {0, 1, 2}, a_{n} \neq 0$ ，例如十进制数 $19 = 2 \times 3^{2} + 0 \times 3^{1} + 3^{0}$ ，所以19在三进制下可写为 $201_{(3)}$ .

(1)、设正整数 $m$ 在三进制下的各位数字之和 $S (m) = a_{0} + a_{1} + a_{2} + a_{3} + \dots + a_{n}$ ；
（i）将满足 $S (m) = 3$ 的正整数 $m$ 从小到大排成一列，写出该列数的前四个数；
（ii）证明： $S (3 m + 2) = S (9 m + 4)$ ；

(2)、已知正整数 $m \leq 80$ ，设正项数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，且 $4 T_{n}^{2} - b_{n}^{2} + 2 m \cdot b_{n} - m^{2} = 0$ ， $n \in N^{*}$ ，证明： $\sum_{i = 1}^{\infty} ([b_{i} + \frac{1}{3}] + [b_{i} + \frac{2}{3}]) = m$ （其中[x]表示不大于 $x$ 的最大整数）.

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14、已知反比例函数 $y = \frac{1}{x}$ 的图象 $T_{0}$ 是双曲线，两条坐标轴是其两条渐近线，将曲线 $T_{0}$ 绕原点顺时针旋转 $\frac{π}{4}$ ，得到曲线 $T$ ，设曲线 $T$ 的左顶点为 $A$ .

(1)、求 $A$ 的坐标及曲线 $T$ 的标准方程；

(2)、若B，C为曲线 $T$ 右支上不同两点， $D$ 为 $△ A B C$ 的垂心， $E$ 为 $D$ 关于原点的对称点，证明：
（i）点 $D$ 在曲线 $T$ 上；
（ii）A，B，C，E四点共圆.

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15、设a为非负实数，函数 $f (x) = \tan x - a \sin x - 2 x, x \in (0, \frac{π}{2})$ .

(1)、当 $a = 0$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、若 $f (x) + b \geq 0$ 恒成立，求 $a + b$ 的最小值.

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16、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = A D = 1$ ， $B C = C D = \sqrt{3}, A C = 2$ .

(1)、求平面 $P B C$ 与平面 $A B C D$ 所成角的余弦值；

(2)、已知 $E$ ， $F$ 分别为线段 $P B$ ， $P C$ 上的动点，是否存在这样的点 $E$ ， $F$ ，使得 $A$ ， $E$ ， $F$ ， $D$ 四点共面、且该平面与平面 $P B C$ 垂直？若存在，请确定点 $E$ ， $F$ 的位置；若不存在，请说明理由.

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17、为探索“五育融合”育人项目，某市在中小学全面开展志愿服务实践课程，并建立了学生志愿服务日参与情况的常态化统计机制．下表是课程开设后前5个月的数据，其中 $x$ 表示月份编号， $y$ 表示该月份日平均参与志愿服务的学生人数（单位：万人）.
月份编号 $x$
1
2
3
4
5
平均参与人数 $y$ （单位：万人）
0.5
0.7
1
1.3
1.5

(1)、已知 $y$ 与 $x$ 之间线性相关，求 $y$ 关于 $x$ 的经验回归方程，并预测第6个月的日平均参与志愿服务的学生人数；

(2)、假设第6个月（按30天计）的日参与人数 $Y$ （单位：万人）服从正态分布 $N (μ, {0.02}^{2})$ ，并视（1）所求第6个月的日平均参与人数的预测值为 $μ$ 的值，预测该月份日参与人数超过1.75万人的天数是否不少于25天.
附：①对于一组数据 $(u_{i}, v_{i}) (i = 1, 2, 3, \dots, n)$ ，其回归直线 $\hat{v} = \hat{β} u + \hat{α}$ 的斜率
$\hat{β} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (u_{i} - \bar{u}) (v_{i} - \bar{v})}{\sum_{i = 1}^{n} {(u_{i} - \bar{u})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} u_{i} v_{i} - n \bar{u} \cdot \bar{v}}{\sum_{i = 1}^{n} u_{i}^{2} - n {(\bar{u})}^{2}}, \hat{α} = \bar{v} - \hat{β} \bar{u}$ .②若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (| X - μ | \leq σ) \approx 0.6827$

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18、为响应“缤纷寒假，探索实践”活动，某同学计划去2个展馆类景点和4个公园类景点打卡，已知其每日随机选择一个景点打卡（不重复打卡），设 $X$ 为打卡完某一类所有景点需要的天数，则 $X = 3$ 的概率为， $X$ 的期望 $E (X) =$ .

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19、写出一个同时具有下列性质①②③的函数 $f (x)$ ：.
① $f (x_{1} x_{2}) = f (x_{1}) f (x_{2})$ ；②任意 $x \in R$ ，都有 $f^{'} (x) \geq 0$ ；③ $f^{'} (x)$ 是偶函数.

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20、已知抛物线 $C : y^{2} = 4 x$ 的焦点为 $F$ ，点 $M$ 在 $C$ 上.若 $| M F | = 2$ ，则 $M$ 到 $y$ 轴的距离为.

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月份编号 $x$	1	2	3	4	5
平均参与人数 $y$ （单位：万人）	0.5	0.7	1	1.3	1.5