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相关试卷

1、已知圆 $C : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = 16$ ， P是圆C上动点，Q为圆C与x轴负半轴交点，E是 $Q P$ 中点．

(1)、求点E的轨迹方程；

(2)、过点 $M (1, 0)$ 的直线与点E的轨迹交于A，B两点（A在x轴上方），问在x轴正半轴上是否存在定点N，使得x轴平分 $∠ A N B$ ？若存在，请求出点N的坐标；若不存在，请说明理由．

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2、如图1，在边长为2的菱形ABCD中， $∠ B A D = 60^{°}, D E ⊥ A B$ 于点 $E$ ，将 $△ A D E$ 沿DE折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} D ⊥ B E$ ，如图2．

(1)、求多面体 $A_{1} - B C D$ 的体积；

(2)、求二面角 $E - A_{1} D - B$ 的余弦值；

(3)、在线段BD上是否存在点 $P$ ，使平面 $A_{1} E P ⊥$ 平面 $A_{1} B P$ ？若存在，求出 $\frac{B P}{B D}$ 的值；若不存请说明理由．

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3、已知两点 $P (2, - 5), Q (- 4, 3)$ ，直线 $l : 2 x - y - 4 = 0$ ．

(1)、若直线 $l_{1}$ 经过点P，且 $l_{1} ⊥ l$ ，求直线 $l_{1}$ 的方程；

(2)、若圆C的圆心在直线l上，且P，Q两点在圆C上，求圆C的方程．

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4、已知矩形 $A B C D$ ， $A B = 20$ ， $B C = 15$ ，沿对角线 $A C$ 将 $△ A B C$ 折起，使得 $B D = \sqrt{481}$ ，则 $B D$ 与平面 $A B C$ 所成角的正弦值是

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5、点 $P (- 1, 2)$ 到直线 $l$ ： $2 x + y - 5 = 0$ 的距离为.

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6、如图，点 $M$ 是棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上的一个动点（包含边界），则下列结论正确的是（）

A、当 $C M ⊥ A D_{1}$ 时，点 $M$ 一定在线段 $A_{1} D$ 上 B、当 $M$ 为 $A_{1} D$ 的中点时，三棱锥 $M - A B D$ 的外接球的表面积为 $2 π$ C、当点 $M$ 在棱 $D D_{1}$ 上运动时， $| M A | + |M B_{1}|$ 的最小值为 $\sqrt{3} + 1$ D、线段 $A D_{1}$ 上存在点 $M$ ，使异面直线 $M B_{1}$ 与 $C D$ 所成角的正切值为 $\frac{3}{4}$

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7、下列结论正确的是（）

A、若直线 $l$ ： $a x + b y = 1$ 与圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{4}$ 相交，则点 $(a, b)$ 在圆 $O$ 的外部 B、直线 $k x - y - 3 k + 1 = 0$ 被圆 ${(x - 2)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 所截得的最长弦长为 $2 \sqrt{2}$ C、若圆 $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 上有4个不同的点到直线 $x - y - 2 = 0$ 的距离为1，则有 $r > \sqrt{2} + 1$ D、若过点 $P (1, \sqrt{3})$ 作圆 $O$ ： $x^{2} + y^{2} = r^{2}$ 的切线只有一条，则切线方程为 $x + \sqrt{3} y - 4 = 0$

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8、已知直线 $l$ ： $a x + (2 a - 3) y - 3 = 0$ 与 $n$ ： $(a + 2) x + a y - 6 = 0$ ，则下列选项正确的是（）

A、当 $a = 2$ 时， $l // n$ B、当 $a = \frac{1}{3}$ 时， $l ⊥ n$ C、若 $l // n$ ，则 $l$ ， $n$ 间的距离为 $\frac{\sqrt{10}}{2}$ D、原点到 $l$ 的距离的最大值为 $\sqrt{5}$

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9、已知在边长为 $a$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为 $A B, B C$ 上的动点，且 $A E = B F$ .当 $B_{1} - B E F$ 的体积取最大值时，平面 $B_{1} E F$ 与平面 $B E F$ 的夹角的正切值为（）

A、 $2$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ D、 $2 \sqrt{2}$

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10、过点 $P (1, 2)$ ，且在两坐标轴上截距的绝对值相等的直线有（）

A、4条 B、2条 C、3条 D、1条

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11、已知椭圆 $E$ 的两个焦点为 $F_{1} (- 1, 0)$ 和 $F_{2} (1, 0)$ ，点 $Q$ 为椭圆 $E$ 的上顶点， $△ Q F_{1} F_{2}$ 为等腰直角三角形．

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、已知点 $P$ 为椭圆 $E$ 上一动点，求点 $P$ 到直线 $l : 3 x + 4 y - 12 = 0$ 距离的最值；

(3)、分别过 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 作平行直线 $m, n$ ，若直线 $m$ 与曲线 $E$ 交于 $A, B$ 两点，直线 $n$ 与曲线 $E$ 交于 $C, D$ 两点，其中点 $A, D$ 在 $x$ 轴上方，求四边形 $A F_{1} F_{2} D$ 的面积的取值范围．

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12、已知过定点 $T (4, 2)$ 的直线 $l$ 被圆 $O : x^{2} + y^{2} = 16$ 截得的弦长为 $4 \sqrt{3}$ ．

(1)、求直线 $l$ 的方程．

(2)、线段 $A B$ 的端点 $B$ 的坐标是 $(6, 8)$ ，端点 $A$ 在圆 $O$ 上运动， $M$ 是线段 $A B$ 的中点，记点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ．
（i）求曲线 $C$ 方程；
（ii）已知点 $P$ 为直线 $x + y - 2 = 0$ 上一动点，过点 $P$ 作曲线 $C$ 的两条切线，切点分别为 $E$ 、 $F$ ，判断直线 $E F$ 是否过定点?求出该定点，并说明理由；

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13、在如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 是正方形，四边形 $A D P Q$ 是梯形， $P D > A Q$ ， $P D / / Q A$ ， $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ ，且 $A D = 2 A Q = 2$ ， $P D = 2$ ．

(1)、求证： $Q B / /$ 平面 $P D C$ ；

(2)、求平面 $P B C$ 与平面 $P Q B$ 夹角的余弦值．

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14、文明城市是反映城市整体文明水平的综合性荣誉称号，作为普通市民，既是文明城市的最大得利者，更是文明城市的主要创造者，长沙市为提高市民对文明城市创建的认识，举办了“创建文明城市”知识竞赛，从所有答卷中随机抽取100份作为样本，将样本的成绩（满分100分，成绩均为不低于40分的整数）分成六段： $[40, 50), [50, 60), \dots, [90, 100]$ 得到如图所示的频率分布直方图．

(1)、求频率分布直方图中 $a$ 的值；

(2)、求样本成绩的平均数和众数；

(3)、用分层抽样的方法在分数落在 $[60, 80)$ 内的答卷中随机抽取一个容量为5的样本，现将该样本看成一个总体，再从中任取2份，求至多有1份答卷的分数在 $[70, 80)$ 内的概率．

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15、已知椭圆 $E : \frac{x^{2}}{16} + \frac{y^{2}}{12} = 1$ 的左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，上顶点为 $A$ ，过 $F_{1}$ 且垂直于 $A F_{2}$ 的直线与 $E$ 交于 $B$ 、 $C$ 两点，则 $△ A B C$ 的周长为．

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16、已知 $M, N$ 是相互独立事件，且 $P (M) = 0.4, P (N) = 0.3$ ，则 $P (M \cup N) =$ ．

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17、已知 $x^{2} + y^{2} = 4$ ，则（）

A、 $\frac{2 x + y}{x - 1} \in (- \infty, 2] \cup [\frac{10}{3}, + \infty)$ B、 $x^{2} + y^{2} - 6 y + 10$ 的最大值为26 C、 $|3 x + 4 y - 12|$ 的最小值是 $\frac{2}{5}$ D、 $2 \sqrt{13 - 6 y} - \sqrt{20 - 8 x}$ 的最大值是 $2 \sqrt{10}$

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18、下列说法正确的是（）

A、若直线 $2 x + (m + 1) y + 4 = 0$ 与直线 $m x + 3 y - 2 = 0$ 平行，则 $m = - 3$ B、 $\forall a \in (0, 1)$ ，都有原点 $O$ 在圆 ${(x - a)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 2 a$ 外 C、一条光线从点 $A (- 2, 3)$ 射出，经 $x$ 轴反射后，与圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 1$ 相切，则反射后光线所在的直线方程为 $4 x - 3 y - 1 = 0$ D、圆 $x^{2} + y^{2} + 2 x + 8 y - 8 = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} - 4 x - 4 y - 2 = 0$ 的公切线恰有2条

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19、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $\sqrt{2}$ ，空间中的点 $M$ 满足： $\vec{A_{1} M} = λ \vec{A_{1} B} + μ \vec{A_{1} D_{1}}$ ，其中 $λ \in R, μ \in R$ ，且 $\frac{M A}{M B} = \sqrt{2}$ ，则点 $M$ 的轨迹的长度为（）

A、 $6 π$ B、 $3 π$ C、 $2 \sqrt{3} π$ D、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$

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20、“ $- 2 \leq b < 2$ ”是“直线 $y = x + b$ 与曲线 $y = \sqrt{4 - x^{2}}$ 恰有1个公共点”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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