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相关试卷

1、设 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 是椭圆 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点， $P$ 为直线 $x = \frac{a^{2}}{c}$ 上一点，若 $△ F_{2} P F_{1}$ 是底角为 $30^{\circ}$ 的等腰三角形，则椭圆 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ C、 $\frac{3}{4}$ D、 $\frac{4}{5}$

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2、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和， $S_{n} = 2^{n} - 1$ ，则 $a_{4} =$ （）

A、 $2$ B、 $4$ C、 $6$ D、 $8$

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3、已知点 $A (2, 0)$ 与 $B (0, 4)$ 关于直线 $a x + y + b = 0$ 对称，则 $a + b =$ （）

A、 $- 4$ B、 $- 2$ C、0 D、3

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4、已知 $\vec{a} = (2 cos x, \frac{\sqrt{3}}{2})$ ， $\vec{b} = (sin (x - \frac{π}{3}), 1)$ ，设 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(1)、 $x \in [\frac{π}{12}, \frac{π}{2}]$ ，求函数 $f (x)$ 的值域.

(2)、若 $x_{0} \in [\frac{5 π}{12}, \frac{2 π}{3}]$ ，且 $f (\frac{x_{0}}{2}) = \frac{4}{5}$ ，求 $tan (2 x_{0} - \frac{5 π}{12})$ 的值.

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5、已知直线 $l_{1}$ ： $a x - (a - 4) y + 2 = 0$ ，直线 $l_{2}$ ： $2 x + a y - 1 = 0$ .

(1)、若 $l_{1} ∥ l_{2}$ ，求实数 $a$ 的值；

(2)、若 $l_{1} ⊥ l_{2}$ ，求实数 $a$ 的值.

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6、四棱锥 $P - A B C D$ 的底面是边长为1的正方形，如图所示，点 $E$ 是棱 $P D$ 上一点， $P E = \frac{3}{4} P D$ ，若 $\vec{P F} = λ \vec{P C}$ 且满足 $B F / /$ 平面 $A C E$ ，则 $λ =$ .

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7、在四面体ABCD中， $A D = B C = B D = 2$ ， $A D ⊥$ 面BCD，底面三角形BCD为直角三角形， $∠ C B D = 90 °$ .若该四面体的四个顶点都在球O的表面上，M，N分别是AB和BC的中点，过M、N两点作球O的截面，则面积的最小值为.

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8、如图，点 $P$ 是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上一个动点，则（）

A、当 $P$ 在平面 $B C C_{1} B_{1}$ 上运动时，四棱锥 $P - A A_{1} D_{1} D$ 的体积不变 B、当 $P$ 在线段 $A C$ 上运动时， $D_{1} P$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的取值范围是 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$ C、若 $F$ 是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，当 $P$ 在底面 $A B C D$ 上运动，且满足 $P F ∥$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时， $P F$ 长度的最小值是 $\sqrt{5}$ D、使直线 $A P$ 与平面 $A B C D$ 所成的角为 $45 °$ 的点P的轨迹长度为 $π + 4 \sqrt{2}$

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9、 $△ A B C$ 所在平面内一点 $O$ 满足 $3 \vec{O A} + 2 \vec{O B} + 4 \vec{O C} = \vec{0}$ ，则下列选项正确的是（）

A、 $\vec{A O} = \frac{1}{9} \vec{A B} + \frac{2}{9} \vec{A C}$ B、延长 $A O$ 交 $B C$ 于点 $M$ ，则 $B M = 2 C M$ C、若 $B C = 3$ ，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = \vec{O A} \cdot \vec{O C}$ ，则 $\vec{O B} \cdot \vec{B C} = - 6$ D、若 $|\vec{O A}| = |\vec{O B}| = |\vec{O C}| = 1$ ，则 $\vec{O A} \cdot \vec{B C} = - \frac{9}{8}$

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10、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，下列四个命题中，正确的命题是（）

A、若 $A = 30 °$ ， $b = 4$ ， $a = 3$ ，则 $△ A B C$ 有两解 B、若 $(a^{2} + b^{2}) sin (A - B) = (a^{2} - b^{2}) sin (A + B)$ ，则 $A B C$ 是等腰三角形 C、若 $D$ 在线段 $A B$ 上，且 $A D = 5$ ， $B D = 3$ ， $C B = 2 C D$ ， $cos ∠ C D B = - \frac{\sqrt{5}}{5}$ ，则 $△ A B C$ 的面积为8 D、若 $A B = \sqrt{7}$ ， $B C = 2 \sqrt{3}$ ， $cos ∠ B A C = \frac{1}{7}$ ，动点 $D$ 在 $△ A B C$ 所在平面内且 $∠ B D C = \frac{2 π}{3}$ ，则动点 $D$ 的轨迹的长度为 $\frac{8 π}{3}$ .

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11、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $4, M$ 为棱 $D C$ 的中点， $N$ 为侧面 $B C_{1}$ 的中心，过点 $M$ 的平面 $α$ 垂直于 $D N$ ，则平面 $α$ 截正方体 $A C_{1}$ 所得的截面面积为（）

A、 $4 (\sqrt{5} + \sqrt{2})$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $5 \sqrt{3}$ D、 $4 \sqrt{6}$

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12、在锐角 $△ A B C$ 中， $∠ A = 2 ∠ B$ ，则 $\frac{b + c}{2 b}$ 的范围是（）

A、 $(1, \frac{3}{2})$ B、 $(1, \frac{4}{3})$ C、 $(\frac{4}{3}, \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, 2)$

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13、已知函数 $f (x) = sin 2 x - \sqrt{3} cos 2 x$ 在 $[α, \frac{π}{3}]$ 与 $[α + \frac{π}{3}, \frac{π}{3}]$ 上的值域均为 $[t, \sqrt{3}]$ ，则 $α$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{π}{2}, - \frac{5 π}{12}]$ B、 $[- \frac{π}{2}, - \frac{π}{3}]$ C、 $[- \frac{5 π}{12}, - \frac{π}{6}]$ D、 $[- \frac{5 π}{6}, - \frac{π}{2}]$

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14、《易经》是阐述天地世间关于万象变化的古老经典，如图所示的是《易经》中记载的几何图形——八卦图.图中正八边形代表八卦，中间的圆代表阴阳太极图，其余八块面积相等的图形代表八卦田，已知正八边形 $A B C D E F G H$ 的边长为 $4$ ，点 $P$ 是正八边形 $A B C D E F G H$ 的内部（包含边界）任一点，则 $\vec{A P} \cdot \vec{E F}$ 的取值范围是（）

A、 $[- 8 \sqrt{2}, 16 + 8 \sqrt{2}]$ B、 $[- 16 - 8 \sqrt{2}, 8 \sqrt{2}]$ C、 $[- 16 - 8 \sqrt{2}, 16 + 8 \sqrt{2}]$ D、 $[- 8 \sqrt{2}, 8 \sqrt{2}]$

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15、已知 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 为空间的一个基底，则下列各组向量中能构成空间的一个基底的是（）

A、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{c} + \vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{c}$ B、 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{a} - \vec{c}$ C、 $2 \vec{a} + \vec{b}$ ， $2 \vec{c} + \vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \vec{b}$ ， $\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}$ ， $\vec{c}$

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16、第24届冬季奥林匹克运动会，即2022年北京冬奥会于2022年2月4日开幕.冬奥会吉祥物“冰墩墩”早在2019年9月就正式亮相，到如今已是“一墩难求”，并衍生出很多不同品类的吉祥物手办.某企业承接了“冰墩墩”玩具手办的生产，已知生产此玩具手办的固定成本为200万元.每生产x万盒，需投入成本h（x）万元，当产量小于或等于50万盒时 $h (x) = 180 x + 100$ ；当产量大于50万盒时 $h (x) = x^{2} + 60 x + 3500$ ，若每盒玩具手办售价200元，通过市场分析，该企业生产的玩具手办可以全部销售完.（利润=销售总价-成本总价，销售总价=销售单价×销售量，成本总价=固定成本+生产中投入成本）

(1)、求“冰墩墩”玩具手办销售利润y（万元）关于产量x（万盒）的函数关系式；

(2)、当产量为多少万盒时，该企业在生产中所获得利润最大，最大利润为多少万元.

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17、计算下列各值：

(1)、 ${(2 \frac{1}{4})}^{\frac{1}{2}} - {(- 2)}^{0} - {(\frac{27}{8})}^{- \frac{2}{3}} + {(\frac{3}{2})}^{- 2}$ ；

(2)、 $(\log_{4} 3 + \log_{8} 3) \times (\log_{3} 2 + \log_{9} 2) - \log_{2} \sqrt[4]{32}$ .

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18、已知函数 $f (x) = 2023^{x} - 2023^{- x} + x^{2023}$ ，对任意的 $k \in [- 3, 3]$ ， $f (k x - 2) + f (x) < 0$ 恒成立，则 $x$ 的取值范围为．

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19、已知命题：“ $\forall x \in R, a x^{2} - a x - 2 < 0$ ”为真命题，则 $a$ 的取值范围是．

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20、若函数 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{x} + a$ 在区间 $(1, 2)$ 上存在零点，则常数a的取值范围为．

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