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相关试卷

1、已知集合 $A = \{x |- 4 \leq x \leq 3\}$ ， B＝{x| $a - 3$ ≤x≤a+5}．

(1)、当a＝2时，求 $A \cup B$ ， $ (∁_{R} A) \cap B$ ；

(2)、若 $ (∁_{R} A) \cup B$ ＝R，求a的取值范围．

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2、若不等式 $| x | < a$ 的一个充分条件为 $- 3 < x < 0$ ，则实数a的取值范围是．

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3、若函数 $y = f (2 x - 1)$ 的定义域为 $[\frac{1}{2}, \frac{3}{2}]$ ，则函数 $y = f (x + 1)$ 的定义域为．

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4、已知 $f (x) = \{\begin{matrix} x + 2, x \leq - 1 \\ x^{2}, - 1 < x \leq 2 \\ 2 x, x > 2 \end{matrix}$ ，若 $f (x) = 0$ ，则 $x =$ ．

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5、“高斯函数”为：对于实数 $x$ ，符号 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，则 $y = [x]$ 称为高斯函数，例如 $[π] = 3$ ， $[- 1.08] = - 2$ ，定义函数 $f (x) = x - [x]$ ，则下列选项中正确的是（）．

A、函数 $f (x)$ 的最大值为 $1$ B、函数 $f (x)$ 的最小值为 $0$ C、函数 $y = f (x)$ 的图象与直线 $y = \frac{1}{2}$ 有无数个交点 D、 $f (x + 1) = f (x)$

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6、下列命题为真命题的是（）

A、函数 $f (x) = x + \frac{1}{x} (x \neq 0)$ 的最小值为2 B、设正实数 $x$ ， $y$ 满足 $x + y = 1$ ，则 $\frac{4 y}{x} + \frac{1}{y}$ 有最小值为5 C、函数 $f (x) = 3 x + \frac{4}{x} (x < 0)$ 的最大值为 $- 4 \sqrt{3}$ D、函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 3}{\sqrt{x^{2} + 2}} (x \in R)$ 的最小值为2．

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7、下列各组函数中，是同一函数的是（）

A、 $f (x) = \sqrt{- 2 x^{2}}$ 与 $g (x) = x \sqrt{- 2 x}$ B、 $f (x) = x^{0}$ 与 $g (x) = \frac{1}{x^{0}}$ C、 $f (x) = x$ 与 $g (x) = \sqrt{x^{2}}$ D、 $f (x) = x^{2} - 2 x$ 与 $g (t) = t^{2} - 2 t$

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8、已知 $a + 2 b = 1$ ，且 $a > 0, b > 0$ ，则 $\frac{1}{a} + \frac{2 a}{b}$ 的最小值为（）

A、3 B、4 C、5 D、6

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9、若函数 $f (x) = \frac{x}{\sqrt{m x^{2} + m x + 1}}$ 的定义域为R ，则实数m的取值范围是（）．

A、 $[0, 4)$ B、 $(0, 4)$ C、 $[4, + \infty)$ D、 $[0, 4]$

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10、不等式 $x^{2} + a x - 2 < 0$ 的解集为 $(- 1, 2)$ ，则实数 $a$ 的值是（）

A、-1 B、1 C、3 D、-3

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11、已知集合 $A = \{(x, y) |x + y = 2\}$ ， $B = \{(x, y) |x - 2 y = - 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{0, 2\}$ B、 $(0, 2)$ C、 $\emptyset$ D、 $\{(0, 2)\}$

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12、函数 $f (x) = \sqrt{x - 1} + \frac{1}{\sqrt{2 - x}}$ 的定义域为（）

A、 $(1, + \infty)$ B、 $[1, 2)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[1, 2) \cup (2, + \infty)$

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13、如图所示，函数 $y = f (x) (x \in [- 4, 4])$ 的单调递减区间为（）

A、 $[- 4, 4]$ B、 $[- 4, - 3]$ 和 $[1, 4]$ C、 $[- 3, 1]$ D、 $[- 3, 4]$

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14、已知命题 $p : \forall x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 > 0$ ，则 $\neg p$ 为（）

A、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \leq 0$ B、 $\exists x \leq 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 \leq 0$ C、 $\forall x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 < 0$ D、 $\exists x > 1$ ， $x^{2} + 2 x - 3 > 0$

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15、已知幂函数 $y = f (x)$ 的图象过点 $(2, \sqrt{2})$ ，那么该幂函数的解析式为．

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16、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为正方形， $O$ 是 $A D$ 中点， $P O ⊥$ 平面 $A B C D, P O = \sqrt{3}, A B = 2$ ，平面 $P A B \cap$ 平面 $P C D = l$ ．

(1)、求证： $l / / A B$ ；

(2)、如图， $M \in l$ 且 $P M = 1$ ，求点 $M$ 到平面 $P B C$ 的距离；

(3)、设四棱锥 $P - A B C D$ 的外接球球心为 $Q$ ，点 $M \in l$ ，求直线 $Q M$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值的最大值．

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17、某企业为了推动技术革新，计划升级某电子产品，该电子产品核心系统的某个部件 $G$ 由2个电子元件组成．如图所示，部件 $G$ 是由元件 $A$ 与元件 $B$ 组成的串联电路，已知元件 $A$ ， $B$ 正常工作的概率都为 $\frac{2}{3}$ ，且元件 $A, B$ 工作是相互独立的．

(1)、求部件 $G$ 正常工作的概率；

(2)、为了促进产业革新，该企业计划在核心系统中新增两个另一产地的电子元件，使得部件 $G$ 正常工作的概率增大．已知新增元件正常工作的概率为 $p$ ，且四个元件工作是相互独立的．现设计以下两种方案：
方案一：新增两个元件都和元件 $A$ 并联后，再与 $B$ 串联；
方案二：新增两个元件，其中一个和元件 $A$ 并联，另一个和元件 $B$ 并联，再将两者串联．则该公司应选择哪一个方案，可以使部件 $G$ 正常工作的概率达到最大？

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18、为增强市民的节能环保意识，某市面向全市征召义务宣传志愿者．从符合条件的500名志愿者中随机抽取100名志愿者，其年龄频率分布直方图如图所示，其中年龄的分组区间是：第1组 $[20, 25)$ 、第2组 $[25, 30)$ 、第3组 $[30, 35)$ 、第4组 $[35, 40)$ 、第5组 $[40, 45]$ ．

(1)、求图中 $x$ 的值并根据频率分布直方图估计这500名志愿者中年龄在 $[35, 40)$ 的人数；

(2)、估计抽出的100名志愿者年龄的众数、中位数；

(3)、若在抽出的第2组、第4组和第5组志愿者中，采用按比例分配分层抽样的方法抽取6名志愿者参加中心广场的宣传活动，再从这6名中采用简单随机抽样方法选取2名志愿者担任主要负责人．求抽取的2名志愿者中恰好来自同一组的概率．

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19、 $A B = A D = 1, A A_{1} = 2, ∠ B A D = \frac{π}{2}, ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = \frac{π}{3}$ ．

(1)、用向量 $\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A A_{1}}$ 表示向量 $\vec{B D_{1}}$ ，并求 $|\vec{B D_{1}}|$ ；

(2)、求 $\cos ⟨{\vec{B D}}_{1}, \vec{A C}⟩$ ．

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20、已知点 $A (1, 0, 0)$ ， $B (0, 1, 0)$ ， $C (0, 3, 2)$ ，则点C到直线 $A B$ 的距离为.

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