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相关试卷

1、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D,$ $A D ⊥ A B, B C / / A D,$ $A B = B C = 2,$ $A D = P A = 4$ .

(1)、证明： $C D ⊥$ 平面PAC.

(2)、在线段BC上是否存在一点 $E$ ，使点 $E$ 到平面PCD的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ ？若存在，求出 $\frac{C E}{B C}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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2、蜂巢的精密结构是通过优胜劣汰的进化自然形成的．若不计蜂巢壁的厚度，蜂巢的横截面可以看成正六边形网格图，如图所示，图中7个正六边形的边长都为1， $O, M$ 是其中一个正六边形的顶点， $N$ 为图中7个正六边形内一点（包含边界），则 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的取值范围是．

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3、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，点 $A$ 在 $C$ 的右支上， $B$ 为 $A$ 关于 $y$ 轴的对称点，若直线 $A F, B F$ 的斜率分别为 $\sqrt{3}$ ， $- \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $C$ 的离心率为.

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4、若 ${(\sqrt{x} - \frac{2}{x})}^{n}$ 的展开式的二项式系数和为32，则其展开式的第四项系数为.

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5、已知定义在复数集C上的函数 $f (x) = \frac{1}{x^{2} + 2 x + 2}, x \in C, g (n) = f (1) + f (2) + \dots + f (n)$ ， $h (n) = f (i) + f (3 i) + f (5 i) + \dots + f ((2 n - 1) i)$ ，其中 $n \in N^{*}, i$ 为虚数单位，记 $h (n)$ 的模为 $| h (n) |$ ，则（）

A、 $\forall n \in N^{*}, g (n) < 1$ B、 $\exists n \in N^{*}, g (n) < h (n)$ C、 $h (n)$ 的实部的最大值为 $\frac{1}{4}$ D、 $\exists λ > 0, \forall n \in N^{*}, g (n) < λ | h (n) |^{2}$

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6、已知函数 $f (x) = 2 cos (3 x - \frac{π}{3})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $f (\frac{2 π}{3} + x) = f (x)$ B、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调 C、若 $f (x_{1}) f (x_{2}) = 4 (x_{1} \neq x_{2})$ ，则 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{2 π}{3}$ D、若 $f (x_{1}) - f (x_{2}) = 4$ ，则 $|x_{1} - x_{2}|$ 的最小值为 $\frac{2 π}{3}$

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7、 $S_{n}, T_{n}$ 分别是等差数列 $\{a_{n}\}, \{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，则（）

A、 $\{2 a_{n} + 3 b_{n}\}$ 是等差数列 B、若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n - 3}{n + 1}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{5}} = \frac{5}{2}$ C、若 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{2 n - 3}{n + 1}$ ，则 $\frac{a_{5}}{b_{4}} = \frac{15}{8}$ D、若 $S_{3} = 10, S_{6} = 40$ ，则 $S_{9} = 50$

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8、已知 $a = 1 - {cos}^{2} \frac{1}{10}$ ， $b = sin \frac{1}{100}$ ， $c = tan \frac{1}{100}$ ，则（　　）

A、 $a < b < c$ B、 $b < a < c$ C、 $b < c < a$ D、 $c < b < a$

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9、已知 $F$ 是抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点， $A, B$ 是 $C$ 上不同的两点，且都在第一象限，若 $A F ⊥ x$ 轴， $|B F| = 5 |A F|$ ， $|A B| = \sqrt{5}$ ，则 $p =$ （）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、2 D、4

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10、已知 $△ A B C$ 是等边三角形，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{B C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{a}$ 向量在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $\frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$ D、 $- \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$

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11、已知向量 $\vec{a} = (m + 1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, m)$ .若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $m$ 的值为（）

A、1 B、 $- 2$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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12、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ $(a > b > 0)$ 经过点 $(1, \frac{3}{2})$ ，且离心率为 $\frac{1}{2}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、已知 $M (2, 0)$ ， $N (- 2, 0)$ ，过椭圆 $C$ 的右焦点且斜率不为0的直线与 $C$ 交于点 $A$ ， $B$ .
（ⅰ）若四边形 $A M B N$ 面积为 $\frac{16 \sqrt{3}}{5}$ ，求直线 $A B$ 的方程；
（ⅱ）若直线 $A N$ ， $B M$ 的倾斜角分别为 $α$ ， $β$ ，且 $\sin (α + β) = 4 \cos α \cos β$ ，求直线 $A N$ 与直线 $B M$ 的交点 $Q$ 到直线 $A B$ 的距离.

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13、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A C ⊥$ 平面 $P D B$ ，底面 $A B C D$ 是正方形， $A C$ 与 $B D$ 交于点 $O, P O$ 与 $B D$ 不垂直， $A B = 2, △ P C B$ 的面积是 $△ P O B$ 面积的2倍．

(1)、证明： $P D ⊥ A C$ ．

(2)、设 $P D ⊥ D C$ ．
（i）求 $P D$ ：
（ii）若点 $M \in$ 平面 $P A D$ ，且点 $M \in$ 平面 $P B C$ ，求平面 $D C M$ 与平面 $A B M$ 夹角余弦值的最小值．

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14、如图，在等边 $△ D E F$ 中， $A, B, C$ 分别为边 $D E, E F, D F$ 上的点（不含端点），记 $a, b, c$ 分别为 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边，且 $a cos B + b sin \frac{A}{2} = c$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $b = 2 \sqrt{3}$ ， $c = \sqrt{3}$ ，设 $∠ D C A = α$ .
（i）请用含 $α$ 的式子表示 $A D$ 和AE；
（ii）求 $△ D E F$ 面积的最大值.

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15、已知函数 $f (x) = \ln x + a x^{2} + (a + 2) x$ ， $a \in R$ .
（1）讨论 $f (x)$ 的单调性；
（2）当 $a < 0$ 时，若关于 $x$ 的不等式 $f (x) \leq - \frac{2}{a} + b - 1$ 恒成立，求实数 $b$ 的取值范围.

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16、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} ＝ 3 ， a_{n ＋ 1} - 2 a_{n} ＝ 2^{n} (n \in N^{*})$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = \frac{a_{n}}{2^{n}}$ .

(1)、证明数列 $\{b_{n}\}$ 是等差数列，并求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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17、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A A_{1} = 2$ ，则在正三棱柱内可放入的最大球的体积 $V_{1}$ 与正三棱柱外接球的体积 $V_{2}$ 之比 $\frac{V_{1}}{V_{2}} =$ .

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18、已知复数z满足 $z (1 - 2 i) = |3 + 4 i|$ （其中i为虚数单位），则复数z的虚部为.

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19、已知双曲线 $C$ ： $\frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{5} = 1$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ， $A$ 、 $B$ 、 $P$ 是 $C$ 上的三个互不相同的动点，且 $A$ 与 $B$ 关于原点 $O$ 对称，则下列结论正确的有（）

A、若 $|P F_{1}| = 6$ ，则有 $|P F_{2}| = 10$ 或 $|P F_{2}| = 2$ B、若 $△ P F_{1} F_{2}$ 的周长为20，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为 $10 \sqrt{2}$ C、 $\vec{F_{2} A} \cdot \vec{F_{2} B}$ 的最大值为5 D、设 $P A$ ， $P B$ 的斜率分别为 $k_{1}$ 、 $k_{2}$ ，则 $k_{1}^{2} + k_{2}^{2}$ 的最小值为 $\frac{5}{2}$

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20、已知 $f (x)$ 是R上的以2为周期的奇函数，且当 $1 < x < 2$ 时， $f (x) = ln \frac{3 - x}{x - 1}$ ，则（）

A、 $f （ - \frac{7}{2} ） = - \ln 3$ B、曲线 $y = f (x)$ 的对称中心为 $(2 k, 0), k \in Z$ C、当 $- 1 < x < 1$ 时， $f (x) = ln \frac{1 - x}{1 + x}$ D、当 $a > - 2$ 时，函数 $y = f (x) - a (x - 2)$ 在区间 $(1, 3)$ 上仅有三个零点

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