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相关试卷

1、“ $x^{2} = 1$ ”是“ $x = - 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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2、（1）设取大函数 $\max {a, b} = \frac{a + b + |a - b|}{2}$ ，若 $f (x) = \max \{x^{2} - 1, |x|\}$ ，则 $f (\sqrt{2}) =$ _________；
（2）设 $n$ 为正整数， $α = (x_{1}, x_{2}, \dots, x_{n}), β = (y_{1}, y_{2}, \dots, y_{n})$ ，记 $M (α, β) = \frac{1}{2} [(x_{1} + y_{1} - |x_{1} - y_{1}|) + (x_{2} + y_{2} - |x_{2} - y_{2}|) + \dots + (x_{n} + y_{n} - |x_{n} - y_{n}|)] .$
①当 $n = 2$ 时，若 $α = (1, 0), β = (1, 1)$ ，求 $M (α, β)$ 的值；
②当 $n = 4$ 时，设集合 $P = \{α ∣ α = (t_{1}, t_{2}, t_{3}, t_{4}), t_{k} \in \{0, 1\}, k = 1, 2, 3, 4\}$ ，设Q是P的子集，且满足：对于Q中的任意元素 $α, β$ ，当 $α, β$ 相同时， $M (α, β)$ 是奇数；当 $α, β$ 不同时， $M (α, β)$ 是偶数.求集合Q中元素个数的最大值.

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3、求下列各式的最值

(1)、求 $\sqrt{x (1 - 4 x)}$ 的最大值；

(2)、当 $0 < x < 1$ 时，求 $\frac{1}{1 - x} + \frac{1}{x}$ 的最小值；

(3)、已知 $2 a + b = 1 (a, b > 0)$ ，求 $\frac{2 b}{a} + \frac{1 + b}{b}$ 的最小值.

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4、已知 $x, y, z \in R$ ，且满足 $2 x + y + \sqrt{5} z = 2$ ，求 $x^{2} + y^{2} + z^{2}$ 的最小值为.

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5、已知函数 $f (x) = 3 x + 3 + \sqrt{x - 1}$ ，则 $f (x)$ 的值域为.

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6、设函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2} + 1, x \leq 1 \\ f (x - 4), x > 1 \end{matrix}$ ，则 $f (3)$ 等于.

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7、已知二次函数 $f (x) = x^{2} + a x + b$ 在 $(0, 1)$ 上有两个不同的零点，则（）

A、 $a^{2} > 4 b$ B、 $a + b < - 1$ C、 $2 a + b < 0$ D、 $b^{2} + (a + 1) b < \frac{1}{16}$

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8、关于 $x$ 的不等式 $2 a x^{2} - (2 a + 3) x + 3 > 0$ 的解集可能为（）

A、 $\emptyset$ B、 $\{x | x < 1\}$ C、 $\{x | x > \frac{3}{2 a} 或 x < 1\}$ D、 $\{x | \frac{3}{2 a} < x < 1\}$

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9、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b > 0$ ，则 $a c^{2} > b c^{2}$ B、若 $a > b > 0$ ，则 $a^{2} > b^{2}$ C、若 $a > b > c > 0$ ，则 $\frac{b}{a} < \frac{b + c}{a + c}$ D、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} > \frac{1}{b}$

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10、已知关于 $x$ 的不等式 $3 a x^{2} + 2 b x + c > 0$ 的解集为 $\{x |- \frac{1}{3} < x < \frac{1}{2}\}$ ，则不等式 $c x^{2} + 2 b x + 3 a > 0$ 的解集为（）

A、 $\{x |- \frac{1}{2} < x < \frac{1}{3}\}$ B、 ${x ∣ x < - \frac{1}{3}$ 或 $x > \frac{1}{2}\}$ C、 ${x ∣ x < - 3$ 或 $x > 2}$ D、 ${x ∣ - 3 < x < 2}$

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11、若不等式 $2 k x^{2} + k x - \frac{3}{8} < 0$ 对一切实数 $x$ 都成立，则实数 $k$ 的取值范围是（）

A、 $- 3 < k < 0$ B、 $- 3 \leq k \leq 0$ C、 $- 3 < k \leq 0$ D、 $k < - 3$ 或 $k \geq 0$

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12、已知集合 $A = {x ∣ a \leq x \leq 3}, B = \{x ∣ x^{2} - 2 x - 3 \leq 0\}$ ，则“ $a \leq - 2$ ”是“ $A \cap B = B$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、下列各组函数中，表示同一个函数的是（）

A、 $y = \frac{x^{2} - x}{x}, y = x - 1$ B、 $h (t) = 130 - 5 t^{2}, f (x) = 130 - 5 x^{2}$ C、 $y = \sqrt{x^{2}} - 1, y = x - 1$ D、 $f (x) = \frac{|x|}{x}, g (x) = \{\begin{cases} 1, x \geq 0 \\ - 1, x < 0 \end{cases}$

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14、若整数数列 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{k} (k \in N_{+})$ 满足对任意的 $i \in \{0, 1, \dots, k\}, a_{i}$ 的值恰好为 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{k}$ 中数字 $i$ 出现的次数（数字不拆分统计，如10不计入0，1的出现次数），则我们称该数列是“自洽”的.例如，当 $k = 4$ 时，有如下数列是“自洽”的： $a_{0} = 2, a_{1} = 1, a_{2} = 2, a_{3} = 0, a_{4} = 0$ 这表示，在 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{4}$ 中，0和2出现了2次，1出现了1次，3和4出现了0次.现已知一个 $n + 1$ 项数列 $a_{0}, a_{1}, \dots, a_{n}$ 是“自洽”的.

(1)、求证： $a_{0} + a_{1} + \dots + a_{n} = n + 1$ ；

(2)、当 $n = 3$ 时，直接写出所有满足条件的数列（无需证明）；

(3)、当 $n > 5$ 时，求该数列的通项公式.

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15、已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的焦距为4，焦点到渐近线的距离为 $\sqrt{3}, A, B$ 是双曲线 $C$ 上关于原点 $O$ 对称的两点，且点 $A$ 在第一象限，点 $T$ 的坐标为 $(3, 0)$ .

(1)、求双曲线 $C$ 的方程；

(2)、若 $∠ A T B = 90^{\circ}$ ，求 $△ A T B$ 的面积；

(3)、记直线 $A T, B T$ 与双曲线 $C$ 的另一个交点分别为 $P, Q$ ，直线 $A B, P Q$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，是否存在实数 $λ$ ，使得 $k_{2} = λ k_{1}$ 恒成立？若存在，求出 $λ$ 的值；若不存在，请说明理由.

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16、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C, P A = A B = 2, C$ 在以 $A B$ 为直径的圆周上运动，作 $A E ⊥ P B$ 于 $E, A F ⊥ P C$ 于 $F$ ，连接 $E F, F B$ .

(1)、求证： $A F ⊥ P B$ ；

(2)、求证：平面 $A E F$ 与平面 $A B C$ 所成夹角的大小与 $∠ A P B$ 相等；

(3)、若 $A C = \sqrt{2}$ ，求直线 $P C$ 与平面 $A F B$ 所成角的大小.

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17、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c, \sqrt{2} a sin C - a cos C + b - c = 0$ .

(1)、求 $cos A$ ；

(2)、若 $sin B = \frac{\sqrt{6}}{3}, △ A B C$ 的最长边长度为4，求最短边的长度.

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18、已知函数 $f (x) = \frac{x - 1}{e^{x}}, g (x) = 1 - \frac{1}{x}$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、当 $x > 1$ 时，判断并证明 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的大小关系.

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19、已知正 $n$ 边形 $A_{1} A_{2} \dots A_{n} (n \leq 15)$ 内接于单位圆 $O$ ，任取两个不同顶点 $A_{i}, A_{j}$ ，满足 $|{\vec{O A}}_{i} + {\vec{O A}}_{j}| \geq \sqrt{3}$ 的概率为 $\frac{2}{7}$ ，则 $n$ 的值为.

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} x^{2} + 2 x - k, x \leq \frac{1}{2} \\ |ln x|, x > \frac{1}{2} \end{cases}$ 的最小值为0，则实数 $k$ 的取值范围是.

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