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相关试卷

1、已知定义在 $(0 ， + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足 $f^{'} (x) + 2 f (x) = \frac{\sqrt{x}}{e^{x}}$ ， $2 f (\frac{1}{2}) = \frac{1}{\sqrt{2 e}}$ ，若对任意正数 $a$ ， $b$ 都有 $f ({(\frac{1}{2})}^{x} - \frac{3}{2}) < \frac{1}{4 b^{2} e^{2}} + \frac{1}{64 a^{2}} + \frac{a b}{4}$ ，则 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- 2, - 1)$ B、 $(- \infty, - 1)$ C、 $(- 1, \frac{1}{2})$ D、 $(0 ， \frac{1}{2})$

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2、若函数 $f (x)$ 的图象上存在两个点A，B关于原点对称，则点对 $[A, B]$ 称为 $y = f (x)$ 的“友情点对”，点对 $[A, B]$ 与 $[B, A]$ 看作同一个“友情点对”，若函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a, x \leq 0 \\ \frac{1}{3} x^{3} - 3 x^{2} + 5 x - 2, x > 0 \end{array}$ ，恰好有两个“友情点对”，则实数a的取值范围为（）

A、 $[2, \frac{31}{3}) \cup \{- \frac{1}{3}\}$ B、 $(- \frac{31}{3}, - 2] \cup \{\frac{1}{3}\}$ C、 $[2, \frac{31}{3})$ D、 $(- \frac{31}{3}, - 2]$

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3、在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $P A = A B = 4, E, F, H$ 分别是棱 $P B, B C, P D$ 的中点，则过 $E, F, H$ 的平面截四棱锥 $P - A B C D$ 所得截面面积为（）

A、 $2 \sqrt{6}$ B、 $4 \sqrt{6}$ C、 $5 \sqrt{6}$ D、 $2 \sqrt{3} + 4 \sqrt{6}$

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4、已知 $(x_{1}, y_{1})$ 、 $(x_{2}, y_{2})$ 是函数图象上任意两点，如果对于函数自变量取值范围内的 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ ，都有 $|y_{1} - y_{2}| < |x_{1} - x_{2}|$ 成立，那么就称该函数是自变量取值范围上的“平缓函数”，则以下函数是“平缓函数”的是（）

A、 $y = 2 x + 2$ ， x取任意实数 B、 $y = \frac{1}{x}, - 1 < x < 0$ C、 $y = - x^{2} + 6 x - 8, 0 < x < 2$ D、 $y = - x^{2} + 6 x - 8, 3 < x < \frac{7}{2}$

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5、已知曲线 $C_{1} : y = \sin x$ 的图像， $C_{2} : y = \cos (2 x - \frac{π}{3})$ ，则下面结论正确的是（）

A、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ B、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ C、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$ D、把 $C_{1}$ 上各点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，得到曲线 $C_{2}$

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6、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右顶点分别为 $A$ ， $B$ ，其离心率为 $\frac{1}{2}$ ，且 $C$ 上的点到其中一个焦点的距离的最小值为1，过右焦点的直线 $l$ 交椭圆于 $M$ ， $N$ 两点（均不与点 $A$ ， $B$ 重合），直线 $M B$ 交 $x = 4$ 于点 $P$ .

(1)、求椭圆 $C$ 的标准方程；

(2)、证明： $A$ ， $N$ ， $P$ 三点共线；

(3)、求 $△ A M N$ 面积的最大值.

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 是正项等比数列， $a_{1} = 2$ ， $S_{3} = 12$ ， $b_{1} = a_{2} - 1$ ， $a_{9}$ 是 $a_{2}$ 和 $b_{2}^{2}$ 的等比中项.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ .和 $\{b_{n}\}$ 的通项公式.

(2)、求 $\{\frac{a_{n} - 1}{b_{n}}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

(3)、设 $c_{n} = \frac{b_{n} - 1}{b_{n + 1} - 1}$ ，求证： $c_{1} + c_{2} + c_{3} + \cdot \cdot \cdot + c_{n} > \frac{n}{3} - \frac{1}{6} + \frac{1}{2} \cdot \frac{1}{3^{n + 1}}$ .

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8、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $P D ⊥ B C$ ，且 $A D = 2$ ， $P D = 3$ ，点 $E$ ， $G$ 分别在 $P A$ ， $P C$ 上，且 $\vec{P E} = \frac{3}{4} \vec{P A}$ ， $\vec{P G} = \vec{G C}$ .

(1)、证明： $P D ⊥$ 平面 $A B C D$ .

(2)、证明： $A P / /$ 平面 $G D B$ .

(3)、求直线 $B D$ 与平面 $D E G$ 夹角的正弦值.

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9、已知圆 $C$ 的圆心在 $x - y = 0$ 上，点 $A (- 3, 3)$ ， $B (- 1, 5)$ 在圆 $C$ 上.

(1)、求圆 $C$ 的标准方程；

(2)、过点 $N (4, 3)$ 的直线 $l$ 与圆 $C$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，且 $|P Q| = 2 \sqrt{11}$ ，求直线 $l$ 的方程.

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10、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项和， $a_{2} = 5$ ， $S_{4} = 24$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = \frac{1}{(a_{n} - 1) (a_{n + 1} - 1)}$ ，数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，求证： $T_{n} < \frac{1}{4}$ .

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11、抛物线 $C : x^{2} = 4 y$ 的焦点为 $F$ ，过点 $F$ 的直线 $l$ 交抛物线 $C$ 于 $M$ ， $N$ 两点（点 $M$ 在 $y$ 轴的左侧），若 $2 \vec{M F} = \vec{F N}$ ，则 $M N$ 的斜率为.

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12、若双曲线 $x^{2} - 2 y^{2} = 1$ 的弦被点 $(3, 1)$ 平分，则此弦所在直线的方程为.

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13、在空间四边形 $O A B C$ 中，已知空间内一点 $P$ 满足 $\vec{O P} = \frac{1}{3} \vec{O A} + \frac{1}{5} \vec{O B} + λ \vec{O C} (λ \in R)$ ，若 $\vec{P A}$ ， $\vec{P B}$ ， $\vec{P C}$ 共面，则 $λ =$ .

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14、已知圆 $O : x^{2} + y^{2} = 4$ ，直线 $l : k x - y + 4 - 4 k = 0$ 恒过定点 $M$ ，则下列结论正确的是（）

A、若直线 $l$ 与圆 $O$ 相切，则 $k = \frac{1}{3}$ 或 $k = 3$ B、若直线 $M A$ ， $M B$ 为圆 $O$ 的两条切线，且 $A$ ， $B$ 为切点，则直线 $A B$ 的方程为 $x + y = 1$ C、若直线 $l$ 与圆 $O$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，则 $\vec{O P} \cdot \vec{O Q}$ 的最小值为 $- 4$ D、若直线 $l$ 与圆 $O$ 相交于 $P$ ， $Q$ 两点，则当 $S_{△ O P Q}$ 取最大值时， $k = \frac{8 \pm \sqrt{15}}{7}$

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \{\begin{cases} 4 n - 2, n 为奇数 \\ {(- 3)}^{n}, n 为偶数 \end{cases}$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则（）

A、 $a_{6} = 729$ B、 $a_{4} > a_{5}$ C、 $S_{6} < S_{5}$ D、若 $b_{n} = a_{2 n}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 的前100项和为 $- \frac{9}{8} + \frac{9^{101}}{8}$

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16、已知空间向量 $\vec{a} = (1, 2, 1)$ ， $\vec{b} = (3, - 2, 1)$ ， $\vec{c} = (- 6, 4, - 2)$ ，则（）

A、 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ B、 $|\vec{a}| = \sqrt{6}$ C、 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{c} = 28$ D、 $\{\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}\}$ 能构成空间的一个基底

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17、已知公差为 $d (d \neq 0)$ 的等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 2$ ， $S_{12} = 3 (a_{1} + a_{4} + a_{6} + a_{k})$ ，且 $S_{n} \leq S_{k}$ ，则 $d$ 的取值范围是（）

A、 $- \frac{2}{15} \leq d \leq \frac{1}{14}$ B、 $- \frac{1}{7} \leq d \leq - \frac{1}{15}$ C、 $- \frac{1}{7} \leq d \leq - \frac{2}{15}$ D、 $- \frac{2}{15} \leq d \leq - \frac{1}{8}$

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18、已知 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $C : \frac{x^{2}}{4} - y^{2} = 1$ 的左、右焦点，点 $P$ 在 $C$ 上， $∠ F_{1} P F_{2} = 30 °$ ，则 $△ P F_{1} F_{2}$ 的面积为（）

A、 $2 - \sqrt{3}$ B、 $2 + \sqrt{3}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$

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19、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，若 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A D} = \vec{b}$ ， $\vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ， $E$ 为线段 $B C_{1}$ 上一点，且 $B E = \frac{1}{3} B C_{1}$ ，则 $\vec{D_{1} E} =$ （）

A、 $\vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{3} \vec{c}$ C、 $\vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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20、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 2$ ， $S_{6} = 8$ ，则 $a_{7} + a_{8} + a_{9} =$ （）

A、40 B、32 C、24 D、18

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