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相关试卷

1、已知抛物线 $y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 与过点 $(4, 0)$ 的直线交于A，B两点，且满足 $O A ⊥ O B$ ，则抛物线的方程为（）

A、 $y^{2} = 2 x$ B、 $y^{2} = 4 x$ C、 $y^{2} = 6 x$ D、 $y^{2} = 8 x$

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2、春节期间，某家庭准备了5个不同的马年新春红包，全部装入3个不同的红包袋中，每个红包袋至少装1个红包，则不同的装法种数是（）

A、90 B、150 C、240 D、300

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3、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 3^{x} + 1, x \leq 1 \\ \log_{\frac{1}{2}} (x - 1), x > 1 \end{array}$ ，若 $f (x) = - 3$ ，则 $f (x - 8) =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、4

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4、 $x, y$ 均为整数是 $x y$ 为整数的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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5、已知集合 $A = \{x| (x + 1) (x - 2) < 0\}$ ，集合 $B = \{x| |x - 1| \leq 1\}$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $(- 1, 2)$ B、 $(- 1, 2]$ C、 $[0, 2)$ D、 $(0, 2]$

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6、在三棱柱 $O A B - O_{1} A_{1} B_{1}$ 中， $P$ ， $Q$ 为 $A A_{1}$ 的三等分点，侧面 $O B B_{1} O_{1}$ 为正方形， $O A ⊥ O B$ ， $B P ⊥ O O_{1}$ .

(1)、证明：平面 $O B B_{1} O_{1} ⊥$ 平面 $O A A_{1} O_{1}$ ；

(2)、证明： $P O ⊥$ 平面 $O B B_{1} O_{1}$ ；

(3)、正方形 $O B B_{1} O_{1}$ 边长为 $3$ ， $O A = \sqrt{2}$ ，求直线 $O_{1} Q$ 与平面 $O A B$ 所成角的正弦值.

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7、已知平面向量 $\vec{a} = (3, 4)$ ， $\vec{b} = (9, x)$ ， $\vec{c} = (4, y)$ ，且 $\vec{a} / / \vec{b}$ ， $\vec{a} ⊥ \vec{c}$

(1)、求 $\vec{b}$ 在 $\vec{c}$ 方向上的投影向量；

(2)、求 $\vec{m} = 2 \vec{a} - \vec{b}$ 与 $\vec{n} = \vec{a} + \vec{c}$ 的夹角.

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8、已知 $f (x) = a x^{2} + b x + c (a, b, c \in R)$ ，且 $f (x) < 0$ 的解集为 $(0, 2)$ ．
（1）当 $f (1) = - 1$ ，求函数 $f (x)$ 的解析式；
（2）若关于 $x$ 的不等式 $2^{f (x)} - \frac{1}{4} > 0$ 对一切实数恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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9、已知函数 $f (x) = a ln x (a > 0)$ ，若函数 $g (x) = |f (|x|)| - 2025$ ，则 $g (x)$ 的所有零点之积为；方程 $|f (x)| = x$ 有三个不同的解，则实数 $a$ 的范围为.

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10、已知二面角 $α - l - β$ 为直二面角， $A \in α$ ， $B \in β$ ， $A \notin l$ ， $B \notin l$ ，则 $A B$ 与 $α$ ， $β$ 所成的角分别为 $\frac{π}{6}$ ， $\frac{π}{4}$ ， $A B$ 与 $l$ 所成的角为.

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11、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{3}) + \cos (ω x + \frac{π}{2})$ （ $ω > 0$ ），若 $y = f (x)$ 在 $x \in (0, 2 π)$ 部分的图象与直线 $y = - \frac{1}{2}$ 恰好产生了三个交点，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{13}{12}, \frac{7}{4}]$ B、 $(\frac{7}{6}, \frac{5}{3}]$ C、 $(\frac{5}{4}, \frac{19}{12}]$ D、 $(\frac{4}{3}, \frac{3}{2}]$

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12、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2^{n} - 11$ ， $S_{n}$ 为其前n项和，则 $S_{n}$ 的最小值为（）

A、 $- 9$ B、 $- 7$ C、 $- 3$ D、 $- 19$

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13、一组从小到大排列的数据： $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $6$ ， $8$ ， $x$ ， $18$ ， $22$ ， $23 .$ 若它们的 $70$ 百分位数是中位数的两倍，则 $x$ 的值为（）

A、 $10$ B、 $11$ C、 $12$ D、 $14$

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14、已知圆台上底面直径为2，下底面直径为4，母线长为3，则该圆台的体积为（）

A、 $\frac{14 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{14 \sqrt{5}}{3} π$ C、 $\frac{28 \sqrt{2}}{3} π$ D、 $\frac{28 \sqrt{5}}{3} π$

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15、设 $a, b \in R$ ， $i$ 是虚数单位，则“复数 $z = a + \frac{b}{i}$ 为纯虚数”是“ $a b = 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、既不充分也不必要条件 D、充要条件

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16、已知全集为 $U$ ，若 $B \cap (∁_{U} A) = \emptyset$ ，则 $A \cup B =$ （）

A、 $A$ B、 $B$ C、 $∁_{U} A$ D、 $∁_{U} B$

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17、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x} - a x + a ln x$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，求曲线在点 $(1, e)$ 处的切线方程；

(2)、当 $a \leq e$ 时，讨论函数 $f (x)$ 的单调性；

(3)、若 $f (x)$ 有两个极小值点 $x_{1}$ ， $x_{2} (x_{1} < x_{2})$ ，且对任意满足条件的 $x_{1}, x_{2}$ ，都有 $2 x_{1} + x_{2} \geq m$ 恒成立，求符合条件的整数m的最大值．

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18、已知椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{4} = 1 (a > 2)$ ， $F_{1}$ 、 $F_{2}$ 分别为它的左、右焦点，离心率为 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若点 $A$ 是椭圆 $C$ 上任意一点，求 $△ A F_{1} F_{2}$ 的内切圆半径 $r$ 的最大值；

(3)、过点 $F_{2}$ 分别作直线 $l_{1}$ 与椭圆交于 $M$ 、 $N$ 两点，作直线 $l_{2}$ 与椭圆交于 $P$ 、 $Q$ 两点，其中点 $M$ 、 $P$ 位于第一象限，直线 $l$ 过点 $F_{2}$ 且与 $x$ 轴垂直，直线 $M Q$ 、 $N P$ 与直线 $l$ 分别交于点 $C$ 、 $D$ ，证明：点 $F_{2}$ 为 $C D$ 中点．

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19、已知 $△ A B C$ 内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，且满足 $a = 2$ ， $b (\sqrt{3} - cos A) = 2 cos B$ ，面积 $S = \frac{\sqrt{3}}{8} (b^{2} + c^{2})$ ，动点 $D, E$ 在边 $B C$ 上， $D, E$ 不重合且 $∠ D A E = 60 °$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、求 $A D + A E$ 的最小值．

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20、已知三棱锥P-ABC中， $∠ A B C = 90 °$ ， $A B = B C = 2$ ， D为AC中点，M为BD中点，平面 $P B D ⊥$ 平面ABC，点P到平面ABC的距离为2．

(1)、证明： $A C ⊥ P M$ ；

(2)、若 $P M = 2$ ，求平面APB与平面CPB夹角的余弦值．

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