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相关试卷

1、若集合 $A = \{- 1, 0, 1, 2, 3, 4\}, B = \{y | y = x^{2} - 1, x \in A\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 2\}$ B、 $\{0, 1, 3\}$ C、 $\{- 1, 0, 3\}$ D、 $\{0, 1, 2\}$

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2、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $A D_{1} = \sqrt{2}$ ， $B C = C C_{1} = 1$ ， $C C_{1} ⊥ C D$ ， $∠ A D C = 120 °$ ， $E$ 为 $C D$ 中点， $F$ 在线段 $B C$ 上（包含端点），则下列说法正确的是（）

A、存在点 $F$ ，使得 $A_{1} F / /$ 平面 $A D_{1} E$ B、存在点 $F$ ，使得平面 $A D_{1} E ⊥$ 平面 $D_{1} E F$ C、不存在点 $F$ ，使得 $|D_{1} F| + |E F| = \sqrt{10}$ D、不存在点 $F$ ，使得四棱锥 $F - C D D_{1} C_{1}$ 有内切球

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3、对于一个给定的数列 $\{a_{n}\}$ ，令 $b_{n} = a_{n} + a_{n + 1}$ ，则数列 $\{b_{n}\}$ 称为数列 $\{a_{n}\}$ 的一阶和数列，再令 $c_{n} = b_{n} + b_{n + 1}$ ，则数列 $\{c_{n}\}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的二阶和数列，以此类推，可得数列 $\{a_{n}\}$ 的 $p$ 阶和数列．

(1)、若 $\{a_{n}\}$ 的二阶和数列是等比数列，且 $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = 1$ ， $a_{3} = 0$ ， $a_{4} = 3$ ，求 $a_{7}$ ；

(2)、若 $a_{n} = 2 n$ ，求 $\{a_{n}\}$ 的二阶和数列的前 $n$ 项和；

(3)、若 $\{a_{n}\}$ 是首项为1的等差数列， $\{b_{n}\}$ 是 $\{a_{n}\}$ 的一阶和数列，且 $3 a_{k - 1} \leq 2 b_{k - 1} (k \geq 2)$ ， $a_{1} + a_{2} + \dots + a_{k} = 1000$ ，求正整数 $k$ 的最大值，以及 $k$ 取最大值时 $\{a_{n}\}$ 的公差．

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4、已知函数 $f (x) = (x - 1) e^{x} - \frac{1}{2} x^{2} + 1$ ， $g (x) = \sin x - a x$ ，其中 $a \in R$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = g (x)$ 在点 $(π, g (π))$ 处切线的方程；

(2)、求函数 $f (x)$ 的零点；

(3)、用 $max \{m, n\}$ 表示 $m$ 、 $n$ 的最大值，记 $F (x) = max \{f (x), g (x)\}$ ．问：是否存在实数 $a$ ，使得对任意 $x \in R$ ， $F (x) \geq 0$ 恒成立？若存在，求 $a$ 的取值范围；若不存在，请说明理由．

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5、已知点 $A (- 2, 0), B (2, 0)$ 皆为曲线C上点，P为曲线C上异于A，B的任意一点，且满足直线PA的斜率与直线PB的斜率之积为 $- \frac{3}{4}$ .

(1)、求曲线C的方程；

(2)、若曲线 $C$ 的右焦点为 $F$ ，过 $M (4, 0)$ 的直线 $l$ 与曲线 $C$ 交于 $D, E$ ，求证：直线 $F D$ 与直线 $F E$ 斜率之和为定值.

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6、在春节联欢晚会上进行了机器人团体舞蹈表演，某机构随机抽取了100名观众进行问卷调查，得到了如下数据：
喜欢
不喜欢
男性
40
10
女性
20
30

(1)、依据 $α = 0.001$ 的独立性检验，试分析对机器人表演节目的喜欢是否与性别有关联？

(2)、从这100名样本观众中任选1名，设事件 $A =$ “选到的观众是男性”，事件 $B =$ “选到的观众喜欢机器人团体舞蹈表演节目”，比较 $P (B |A)$ 和 $P (B |\bar{A})$ 的大小，并解释其意义.
$χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ， $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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7、已知曲线 $y = x^{3} - x + 2$ 的切线与曲线 $y = ln (x + 1) - a$ 也相切，若该切线过原点，则 $a =$ ．

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8、已知 $A (2 ， 0)$ ， $B (10 ， 0)$ ，若直线 $t x - 4 y + 2 = 0$ 上存在点P，使得 $\vec{P A} \cdot \vec{P B} = 0$ ，则 $t$ 的取值范围为.

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9、已知实数 $a > 1$ ，且满足 ${log}_{a} (2 a) + {log}_{2 a} a = \frac{5}{2}$ ，则 $a =$ ．

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10、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ， $f (f (x + y)) = f (x) + f (y)$ ， $f (1) = 1$ ，则（）

A、 $f (0) = 0$ B、 $f (x)$ 的图象关于点 $(0, 0)$ 对称 C、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{1}{2}$ 对称 D、 $f (2025) = 2025$

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11、样本数据 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, x_{4}, x_{5}, x_{6}$ 的平均数是 $\bar{x}$ ，方差是 $s^{2}$ ，极差为 $R$ ，则下列判断正确的是（）

A、若 $\bar{x} = 1$ ，则 $a + b x_{1}, a + b x_{2}, a + b x_{3}, a + b x_{4}, a + b x_{5}, a + b x_{6}$ 的平均数为 $a + b$ B、若 $s^{2} = 0$ ，则 $a + b x_{1}, a + b x_{2}, a + b x_{3}, a + b x_{4}, a + b x_{5}, a + b x_{6}$ 的方差为0 C、若 $x_{1}, 2 x_{2}, 3 x_{3}, 4 x_{4}, 5 x_{5}, 6 x_{6}$ 的极差是 $R^{'}$ ，则 $R^{'} > R$ D、若 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4} < x_{5} < x_{6}$ ，则这组数据的第75百分位数是 $\frac{x_{4} + x_{5}}{2}$

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12、依次抛掷一枚质地均匀的骰子两次， $A_{1}$ 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为2”， $A_{2}$ 表示事件“第一次抛掷骰子的点数为奇数”， $A_{3}$ 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为6”， $A_{4}$ 表示事件“两次抛掷骰子的点数之和为7”，则（）

A、 $A_{3}$ 与 $A_{4}$ 为对立事件 B、 $A_{1}$ 与 $A_{3}$ 为相互独立事件 C、 $A_{2}$ 与 $A_{4}$ 为相互独立事件 D、 $A_{2}$ 与 $A_{4}$ 为互斥事件

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13、已知 $f (x) = e^{x - 1} + 4 x - 4$ ，若正实数 $a$ 满足 $f (\log_{a} \frac{3}{4}) < 1$ ，则 $a$ 的取值范围为（）

A、 $a > \frac{3}{4}$ B、 $0 < a < \frac{3}{4}$ 或 $a > \frac{4}{3}$ C、 $0 < a < \frac{3}{4}$ 或 $a > 1$ D、 $a > 1$

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14、底面半径为3的圆锥被平行底面的平面所截，截去一个底面半径为1、高为2的圆锥，所得圆台的侧面积为（）

A、 $8 \sqrt{5} π$ B、 $9 \sqrt{5} π$ C、 $3 \sqrt{5} π$ D、 $16 π$

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15、已知 $\{a_{n}\}$ 是公差不为0的等差数列，其前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则“ $\forall n \in N^{*}$ ， $S_{n} \geq S_{9}$ ”是“ $a_{9} \leq 0$ ”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、已知复数 $z$ 满足 $z i = 2 - i$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、1 B、2 C、3 D、 $\sqrt{5}$

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17、若集合 $M = {x ∣ - 3 < x < 1}$ ， $N = \{x |\frac{1}{x + 2} \geq 1\}$ ，则 $M \cap N$ 等于（）

A、 ${x ∣ - 1 < x < 2}$ B、 ${x ∣ - 2 < x \leq - 1}$ C、 ${x ∣ - 3 < x < - 2}$ D、 ${x ∣ - 1 \leq x < 1}$

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18、在中国古代数学著作《九章算术》中，鳖臑是指四个面都是直角三角形的四面体.如图，在直角 $△ A B C$ 中，AD为斜边BC上的高， $A B = 6$ ， $A C = 8$ ，现将 $△ A B D$ 沿AD翻折成 $△ A' B D$ ，使得四面体AB＇CD为一个鳖臑，则该鳖臑外接球的表面积为.

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19、若数列 $\{a_{n}\}$ 满足：对任意的正整数 $n$ ，都存在正整数 $k$ ，使得 $|a_{n + 1}| = |a_{n} + k|$ 成立，则称数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $k$ 阶归化数列”.设 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和.

(1)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为“2阶归化数列”，且满足 $a_{1} = 2$ ，证明： $S_{n} \leq n^{2} + n$ ，且等号在 $a_{n} = 2 n (n \geq 1)$ 时取到.

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为“16阶归化数列”，且满足 $a_{1} = 8, S_{2024} = - 16192$ ，求 $a_{2024}$ 的所有可能取值.

(3)、若正项数列 $\{a_{n}\}$ 为“ $k$ 阶归化数列”，且满足 $a_{1} = \sqrt{2 k}$ .证明：对于任意的 $n > 1$ ，均有 $a_{n} > \sqrt{2 n k}$ .

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20、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的实轴长为2，且过点 $(2, - 3), F$ 为其右焦点．

(1)、求双曲线 $E$ 的标准方程．

(2)、直线 $l$ 经过点 $A (5, 0)$ ，倾斜角为 $45^{\circ}$ ，与 $E$ 交于 $C, D$ 两点（ $C$ 点在 $A, D$ 两点之间），若 $\vec{A C} = λ \vec{A D}, λ \in R$ ，求 $λ$ 的值．

(3)、已知点 $T (- 1, 0)$ ，过点 $F$ 作直线 $m$ 与 $E$ 交于 $M, N$ 两点，记直线 $T M, T N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，试问： $k_{1} \cdot k_{2}$ 是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．

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	喜欢	不喜欢
男性	40	10
女性	20	30

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828