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相关试卷

1、已知集合 $A = {x \in Z ∣ - 1 < x < 3}, B = \{x ∣ 1 \leq x \leq 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{1, 2\}$ B、 $\{0, 1, 2, 3, 4\}$ C、 ${x ∣ 1 \leq x < 3}$ D、 ${x ∣ - 1 < x \leq 4}$

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2、某地准备在山谷中建一座桥梁，桥址位置的竖直截面图如图所示：谷底 $O$ 在水平线 $M N$ 上，桥 $A B$ 与 $M N$ 平行， $O O^{'}$ 为铅垂线( $O^{'}$ 在 $A B$ 上).经测算，若以 $M N$ 为 $x$ 轴， $O O^{'}$ 为 $y$ 轴建立平面直角坐标系，则左侧曲线 $A O$ 上的任一点在抛物线 $y = \frac{1}{40} x^{2}$ 上，而右侧曲线 $O B$ 上的任一点在以 $B$ 为顶点的抛物线 $y = - \frac{1}{10} x^{2} + 8 x$ 上.

(1)、求桥 $A B$ 的长度；

(2)、计划在谷底两侧建造平行于 $O O^{'}$ 的桥墩 $C D$ 和 $E F$ ，且 $C E$ 为 $80$ 米，其中 $C$ ， $E$ 在 $A B$ 上（不包括端点）.若桥墩 $C D$ 每米的造价为 $m$ （万元），桥墩 $E F$ 每米的造价为 $\frac{3}{2} m$ （万元），则当 $O^{'} E$ 为多少米时，两个桥墩的总造价 $S$ 最低？

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3、
如图，在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 45 °$ ，点 $D$ 在 $B C$ 边上， $A D = \sqrt{2}, ∠ A D B = 60 °$ .
（1）求 $A B$ 的长度；
（2）若 $C D = 2 \sqrt{2}$ ，求 $A C$ 的长度.

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4、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且满足 $a^{2} + c^{2} - b^{2} = a c$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $b = 1$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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5、已知函数 $f (x) = 2 \cos (2 ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在 $[0, π]$ 上有且仅有2个零点，则 $ω$ 的取值范围为．

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6、已知 $\sin 2 α = \cos (\frac{π}{2} + α)$ ， $α \in (\frac{π}{2}, π)$ ，则 $\tan α$ 的值为.

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7、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (0 < ω < 3, 0 < φ < π)$ ， $x = - \frac{π}{4}$ 为 $f (x)$ 的零点，且 $f (x)$ 在 $[\frac{π}{6}, \frac{π}{3}]$ 上单调递减，则下列结论正确的是（）

A、 $φ = \frac{π}{4} ω$ B、若 $f (\frac{π}{6}) + f (\frac{π}{3}) = 0$ ，则 $f (\frac{π}{4}) = 0$ C、 $f (x + \frac{π}{4})$ 是偶函数 D、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{6}{5}, \frac{18}{7}]$

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8、下列结论正确的是（）

A、“ $x^{2} + y^{2} = 0$ ”是“ $x y = 0$ ”的充分不必要条件 B、命题“ $\exists x \in [- 2, 1]$ ， $x^{2} + x - m \leq 0$ 成立”的否定是“ $\forall x \in [- 2, 1]$ ， $x^{2} + x - m \geq 0$ ” C、 $y = \sqrt{x^{2} + 3} + \frac{1}{\sqrt{x^{2} + 3}}$ 最小值2 D、若 $a > 0, b > 0$ ，且 $a + 4 b = 2$ ，则 $a b \leq \frac{1}{4}$

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9、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 1 - a x, x < a, \\ x^{2} - 3 x + 2, x \geq a . \end{array}$ 若 $f (x)$ 存在最小值，则实数a的取值范围为（）

A、 $[- \frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}]$ B、 $[0, \frac{\sqrt{5}}{2}]$ C、 $[- \frac{\sqrt{5}}{2}, \frac{\sqrt{5}}{2}] \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$ D、 $[0, \frac{\sqrt{5}}{2}] \cup (\frac{3}{2}, + \infty)$

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10、已知 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < π)$ ，其部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式为（）

A、 $f (x) = 3 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$ B、 $f (x) = 3 \sin (\frac{1}{2} x - \frac{5π}{6})$ C、 $f (x) = 3 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{5π}{6})$ D、 $f (x) = 3 \sin (\frac{1}{2} x - \frac{π}{6})$

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11、为了得到函数 $y = 2 \cos (2 x - \frac{π}{6})$ 的图象，可将 $y = 2 \cos 2 x$ 的图象（）

A、向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 B、向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位 C、向左平移 $\frac{π}{12}$ 个单位 D、向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位

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12、若角 $α$ 的终边经过点 $P (- 3, 4)$ ，则 $\sin α - \tan α$ 的值是（）

A、 $- \frac{11}{15}$ B、 $- \frac{29}{15}$ C、 $- \frac{8}{15}$ D、 $\frac{32}{15}$

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13、函数 $y = (m - 1) x^{m^{2} - m}$ 为幂函数，则该函数为（）

A、增函数 B、减函数 C、奇函数 D、偶函数

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14、曲线 $y = ln x$ 在点 $(1, 0)$ 处的切线方程为.

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15、已知定点 $A (3, 1)$ 和直线 $l : x + y = 0$ ，动圆 $C$ 和直线 $l$ 相切，且过点 $A$ 作圆 $C$ 的切线，切线长等于动圆 $C$ 的半径．

(1)、求圆 $C$ 的圆心的轨迹方程．

(2)、当圆 $C$ 的面积最小时，求圆 $C$ 的方程．

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16、在 $Rt Δ A B C$ 中， $∠ C = 90^{\circ}$ ， $B C = 3$ ， $A C = 6$ ， $D, E$ 分别是 $A C, A B$ 上的点，满足 $D E / / B C$ 且 $D E$ 经过 $△ A B C$ 的重心，将 $△ A D E$ 沿 $D E$ 折起到 $△ A_{1} D E$ 的位置，使 $A_{1} C ⊥ C D$ ， $M$ 是 $A_{1} D$ 的中点，如图所示．

(1)、求证： $A_{1} C ⊥$ 平面 $B C D E$ ；

(2)、在线段 $A_{1} C$ 上是否存在点 $N$ ，使平面 $C B M$ 与平面 $B M N$ 的夹角的余弦值为 $\frac{\sqrt{3}}{4}$ ，若存在，求出 $C N$ 的长度；若不存在，请说明理由．

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17、如图所示，四棱锥 $P - A B C D$ 的底面 $A B C D$ 是矩形， $P B ⊥$ 底面 $A B C D$ ， $A B = B C = 3$ ， $B P = 3$ ， $C F = \frac{1}{3} C P$ ， $D E = \frac{1}{3} D A$ ．

(1)、证明： $E F / /$ 平面 $A B P$ ；

(2)、求直线 $P C$ 与平面 $A D F$ 所成角的余弦值．

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18、我校近几年加大了对学生强基考试的培训，为了选择培训的对象，今年我校进行一次数学考试，从参加考试的同学中，选取50名同学将其成绩（百分制，均为整数）分成六组：第1组 $[40, 50)$ ，第2组 $[50, 60)$ ，第3组 $[60, 70)$ ，第4组 $[70, 80)$ ，第5组 $[80, 90)$ ，第6组 $[90, 100]$ ，得到频率分布直方图（如图），观察图形中的信息，回答下列问题：

(1)、利用组中值估计本次考试成绩的平均数；

(2)、已知学生成绩评定等级有优秀、良好、一般三个等级，其中成绩不小于90分时为优秀等级，若从第5组和第6组两组学生中，随机抽取2人，求所抽取的2人中至少1人成绩优秀的概率．

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19、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为三个内角 $A, B, C$ 的对边，且 $b^{2} - \frac{2 \sqrt{3}}{3} b c \sin A + c^{2} = a^{2}$

(1)、求角A的大小；

(2)、若 $b = 2$ ， $c = 3$ ，求 $a$ 和 $\sin (2 B)$ 的值．

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20、在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 、 $F$ 分别是梭 $B C$ 、 $C C_{1}$ 的中点， $P$ 是侧面 $A D D_{1} A_{1}$ 上的动点，且 $P C_{1} //$ 平面 $A E F$ ，则点 $P$ 的轨迹长为，点 $P$ 到直线 $A F$ 的距离的最小值为.

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