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相关试卷

1、设函数 $f (x) = \ln (x + m) - m x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 在 $(1 - m, f (1 - m))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) \leq 0$ 恒成立，求证：m的最大值与最小值之差大于 $\frac{1}{2}$ .

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2、设 $F_{1}$ ， $F_{2}$ 分别为双曲线 $\frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点，过 $F_{2}$ 的直线交双曲线于A，B两点，且 $\vec{A F_{2}} = 3 \vec{F_{2} B}$ .

(1)、求 $A F_{2}$ 的长（用a，b表示）；

(2)、若双曲线的离心率 $e > 2$ ，求证： $∠ F_{1} A F_{2} < \frac{π}{6}$ .

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3、在一次联考中，经统计发现，甲乙两个学校的考生人数都为1000人，数学均分都为94，标准差都为12，并且根据统计密度曲线发现，甲学校的数学分数服从正态分布，乙学校的数学分数不服从正态分布.

(1)、甲学校为关注基础薄弱学生的教学，准备从70分及以下的学生中抽取10人进行访问，学生小A考分为68分，求他被抽到的概率大约为多少；

(2)、根据统计发现学校乙得分不低于130分的学生有25人，得分不高于58分的有1人，试说明乙学校教学的特点；
参考数据：若 $X ~ N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq X \leq μ + σ) \approx 0.68$ ， $P (μ - 2 σ \leq X \leq μ + 2 σ) \approx 0.95$ ， $P (μ - 3 σ \leq X \leq μ + 3 σ) \approx 0.99$ .

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4、 $[x]$ 表示不超过x的最大整数，设 $M = {(1 - \sqrt{3})}^{15}$ ， $N = {(1 + \sqrt{3})}^{15}$ ，则 $[{(1 - \sqrt{3})}^{15}] =$ ； $[{(1 + \sqrt{3})}^{15}] =$ （用M，N表示）.

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5、已知：当 $n$ 无穷大时， ${(1 + \frac{1}{n})}^{n}$ 的值为 $e$ ，记为 $\lim_{n \to + \infty} {(1 + \frac{1}{n})}^{n} = e$ .运用上述结论，可得 $\lim_{x \to 0} \frac{\ln (1 + 2 x)}{x} (x > 0) =$ .

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6、若函数 $f (x) = \sin x - 3 \cos x$ 在 $x = x_{0}$ 处取得最大值，则 $\tan x_{0} =$ .

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7、设点P为正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的上底面 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 上一点，下列说法正确的有（）

A、存在点P，使得 $A C_{1}$ 与平面 $P B D$ 所成角为 $\frac{π}{2}$ B、存在点P，使得点A， $C_{1}$ 分别到平面 $P B D$ 的距离之和等于 $A C_{1}$ C、存在点P，使得点A， $C_{1}$ 分别到平面 $P B D$ 的距离之和等于 $\frac{1}{2} A C_{1}$ D、存在点P，使得 $A C_{1}$ 与平面 $P B D$ 所成角为 $\frac{π}{10}$

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8、已知点M是抛物线 $C : y^{2} = 8 x$ 与圆 $E : {(x - 2)}^{2} + y^{2} = r^{2} (r > 0)$ 的交点，点F为抛物线C的焦点，则下列结论正确的有（）

A、 $|M F|$ 的最小值为2 B、圆E与抛物线C至少有两条公切线 C、若圆E与抛物线C的准线相切，则 $M F ⊥ x$ 轴 D、若圆E与抛物线C的准线交于P，Q两点，且 $M P ⊥ P Q$ ，则 $r = 8$

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9、关于函数 $f (x) = a x^{3} + b x^{2} + c x + d (a \neq 0)$ ，下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x)$ 可能没有零点 B、函数 $f (x)$ 可能有一个零点 C、函数 $f (x)$ 一定是中心对称图形 D、函数 $f (x)$ 可能是轴对称图形

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10、设 $a = 10^{11^{12}}$ ， $b = 11^{12^{11}}$ ， $c = 12^{10^{11}}$ ，则（）

A、 $a > c > b$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $a > b > c$

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11、将100名学生随机分为10个小组，每组10名学生，则学生甲乙在同一组的概率为（）

A、 $\frac{1}{10}$ B、 $\frac{1}{11}$ C、 $\frac{1}{100}$ D、 $\frac{1}{110}$

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12、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 2} = 2 a_{n + 1} + 3 a_{n}$ ，则下列 $a_{1}$ ， $a_{2}$ 的值能使数列 $\{a_{n}\}$ 为周期数列的是（）

A、 $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = 1$ B、 $a_{1} = - 1$ ， $a_{2} = 1$ C、 $a_{1} = 0$ ， $a_{2} = 2$ D、 $a_{1} = - 2$ ， $a_{2} = 0$

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13、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $\vec{a} \cdot \vec{b} = {\vec{b}}^{2}$ ， $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为（）

A、 $\frac{π}{4}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{6}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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14、若 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (A |B) = \frac{1}{3}$ ， $P (B |A) = \frac{2}{5}$ ，则 $P (A + B) =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{11}{15}$ C、 $\frac{13}{15}$ D、 $\frac{3}{5}$

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15、函数 $f (x) = \sin^{2} x - 2 \cos^{2} x$ 的最小正周期为（）

A、 $\frac{π}{2}$ B、 $π$ C、 $\frac{3 π}{2}$ D、 $2 π$

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16、已知z为复数，则 $|z^{2}| = 1$ 是 $| z |^{2} = 1$ 的（）条件

A、充分不必要 B、必要不充分 C、充要 D、既不充分又不必要

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17、已知集合 $M = \{(x, y) |y = 1 - \frac{x}{2}\}$ ， $N = \{(x, y) |\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1\}$ ，则 $M \cap N$ 的元素个数为（）

A、0 B、1 C、2 D、无数

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18、在2024年法国巴黎奥运会上，中国乒乓球队包揽了乒乓球项目全部5枚金牌，国球运动再掀热潮.现有甲、乙两名运动员进行乒乓球比赛（五局三胜制），其中每局中甲获胜的概率为 $\frac{2}{3}$ ，乙获胜的概率为 $\frac{1}{3}$ ，每局比赛都是相互独立的.

(1)、求比赛只需打三局的概率；

(2)、已知甲在前两局比赛中获胜，求甲最终获胜的概率.

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19、已知双曲线C的中心为坐标原点， $F_{1}, F_{2}$ 是 $C$ 的两个焦点，其中左焦点为 $(- 2 \sqrt{5}, 0)$ ，离心率为 $\sqrt{5}$ .

(1)、求 $C$ 的方程；

(2)、双曲线 $C$ 上存在一点 $P$ ，使得 $∠ F_{1} P F_{2} = 120^{°}$ ，求三角形 $P F_{1} F_{2}$ 的面积；

(3)、记 $C$ 的左、右顶点分别为 $A_{1}, A_{2}$ ，过点 $(- 4, 0)$ 的直线与 $C$ 的左支交于M，N两点， $M$ 在第二象限，直线 $M A_{1}$ 与 $N A_{2}$ 交于点 $P$ .证明：点 $P$ 在定直线上.

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20、已知 $0 < x_{1} < x_{2} < x_{3} < 4 π$ ，函数 $f (x) = \sin x$ 在点 $(x_{i}, \sin x_{i}) (i = 1, 2, 3)$ 处的切线均经过坐标原点，则（）

A、 $\frac{\tan x_{1}}{x_{1}} < \frac{\tan x_{3}}{x_{3}}$ B、 $\frac{\tan x_{1}}{x_{1}} > \frac{\tan x_{3}}{x_{3}}$ C、 $x_{1} + x_{3} < 2 x_{2}$ D、 $x_{1} + x_{3} > 2 x_{2}$

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