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相关试卷

1、已知海面上 $A, B$ 两点处置有距离为 $2 \sqrt{2}$ 海里的两个灯塔，游船在 $P$ 点时，与 $A, B$ 两点处灯塔的距离均为2海里.游船航行一段距离后，从两灯塔间穿过并抵达 $Q$ 点，此时在 $B$ 点处灯塔测得 $∠ A B Q = \frac{π}{6}$ .

(1)、若 $P, Q$ 两点的距离为 $\frac{\sqrt{6} + \sqrt{2}}{2}$ 海里，求 $B Q$ 的长度；

(2)、求 $P, Q$ 两点距离的取值范围.

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2、已知将函数 $f (x) = sin (2 x + φ) (|φ| < \frac{π}{2})$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后所得函数的图象关于 $y$ 轴对称.

(1)、求 $φ$ ；

(2)、求 $f (x)$ 的相位及其最小正周期；

(3)、当 $x \in (\frac{π}{12}, \frac{11 π}{24})$ 时，求使得不等式 $f (x) > |c o s (2 x + φ)|$ 恒成立的对应 $x$ 的取值范围.

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3、已知复数 $z = \sqrt{3} a + a i$ ， $w = x i$ （ $a$ ， $x \in R$ 且 $a$ ， $x \neq 0$ ），且 $|z - \bar{z}| = |z - w|$ .

(1)、求 $\frac{x}{a}$ 的值；

(2)、证明： $|w| = |\bar{z}|$ ；

(3)、设 $z$ ， $w$ 在复平面上对应的向量分别为 $\vec{O Z}$ ， $\vec{O W}$ ，若 $\vec{O Z} \cdot \vec{O W} = 12$ ，求 $a$ 的值.

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4、已知函数 $f (x) = ln (x^{2} - 2 x)$ .

(1)、求 $f (x)$ 的定义域；

(2)、证明：曲线 $y = f (x)$ 关于直线 $x = 1$ 对称；

(3)、若 $f (2 a + 1) > f (a + 4)$ ，求 $a$ 的取值范围.

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5、已知 $△ A B C$ 中， $\sqrt{3} sin A + cos A = 2$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、证明： $sin B sin C \leq \frac{3}{4}$ .

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6、菱形 $A B C D$ 中， $A B = 6, ∠ B A D = 60^{\circ}, \vec{C E} = 2 \vec{E B}, \vec{C F} = 2 \vec{F D}$ ，点 $M$ 在线段 $E F$ 上，且 $\vec{A M} = x \vec{A B} + \frac{1}{2} \vec{A D}$ ，则 $x + |\vec{A M}| =$ .

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7、已知函数 $f (x) = 3^{|a x - 1|} (a \neq 0)$ ，则 $f (x)$ 的图象经过定点； $f (x)$ 的值域为.

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8、在 $△ A B C$ 中， $∠ A B C = 120^{\circ}, B A = 2, B C = 1$ ，则 $A C =$ .

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9、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $4 A = 2 B = C$ ，则（）

A、 $b = 2 a cos A$ B、 $\frac{2}{sin B} = \frac{1}{sin A} - \frac{1}{sin C}$ C、 $a c = b^{2} - a^{2}$ D、 $\frac{b}{a} = \frac{c}{a} - \frac{a}{c}$

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10、设复数 $z$ 满足 $z + 1 = 3 |z| + |z| i$ ，则（）

A、 $|z| = \frac{1}{3}$ B、 $z - \bar{z} = - \frac{2}{3} i$ C、 $z \cdot \bar{z} = \frac{1}{9}$ D、 $\frac{z}{\bar{z}} = - 1 + i$

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11、已知向量 $\vec{a} = (1, p), \vec{b} = (- 1, q)$ ，则（）

A、 $p q = 1$ 是 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ 的充要条件 B、 $p q > 1$ 是 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角的必要不充分条件 C、 $\vec{a}$ $∥$ $\vec{b}$ 是 $p + q = 0$ 的充要条件 D、 $< \vec{a}, \vec{b} > = \frac{π}{3}$ 是 ${(p + q)}^{2} = 3 {(p q - 1)}^{2}$ 的充要条件

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12、如图，四边形 $A B C D$ 的斜二测画法的直观图为直角梯形 $A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ ，其中 $A^{'} B^{'} ∥ D^{'} C^{'}$ ， $∠ B^{'} C^{'} D^{'} = \frac{π}{2}$ ， $B^{'} D^{'} = \sqrt{5}$ ， $cos ∠ A^{'} D^{'} B^{'} = - \frac{\sqrt{10}}{10}$ 则四边形 $A B C D$ 的周长为（）

A、 $5 + 4 \sqrt{3}$ B、 $8 + 2 \sqrt{3}$ C、 $8 + 2 \sqrt{2}$ D、 $5 + 4 \sqrt{2}$

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13、已知平面上四个点 $A (- 1, 2)$ ， $B (1, 1)$ ， $C (2, 1)$ ， $D (3, 4)$ ，则向量 $\vec{A B}$ 在向量 $\vec{C D}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{1}{10}, - \frac{3}{10})$ B、 $(\frac{1}{10}, - \frac{3}{10})$ C、 $(- \frac{\sqrt{10}}{10}, - \frac{3 \sqrt{10}}{10})$ D、 $(- \frac{2}{5}, \frac{1}{5})$

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14、已知 $z = 1 + 2 i$ 是实系数一元二次方程 $m x^{2} + n x + 1 = 0$ 的一个复数根，则 $3 m + n =$ （）

A、 $\frac{4}{5}$ B、 $\frac{1}{5}$ C、 $\frac{3}{5}$ D、 $- \frac{2}{5}$

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15、在 $△ A B C$ 中， $\vec{A M} = 4 \vec{M C}$ ，记 $\vec{B M} = \vec{a}, \vec{B C} = \vec{b}$ ，则 $\vec{B A} =$ （）

A、 $4 \vec{a} - 3 \vec{b}$ B、 $3 \vec{b} - 4 \vec{a}$ C、 $5 \vec{a} - 4 \vec{b}$ D、 $4 \vec{b} - 5 \vec{a}$

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16、在复平面内， $z = \frac{3 i}{1 - 2 i}$ 所对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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17、设 $△ A B C$ 外接圆的半径为 $R$ ，若 $A B = 2 R$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、锐角三角形 B、直角三角形 C、钝角三角形 D、不确定

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18、下列命题中为真命题的是（）

A、圆柱的侧面展开图是一个正方形 B、用一个平面去截圆锥，圆锥底面和截面之间的部分为圆台 C、有两个面互相平行，其余各面都是四边形的多面体是棱柱 D、球体是旋转体的一种类型

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19、已知集合 $A = {x ∣ |x - 2| < 2}$ ，则 $A \cap Z =$ （）

A、 $\emptyset$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{2, 3\}$ D、 $\{1, 2, 3\}$

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20、对于定义在区间 $[m, n]$ 的函数 $f (x)$ ，定义： $G_{f} (x) = min \{f (t) ∣ m \leq t \leq x\} (x \in [m, n])$ ， $H_{f} (x) = max \{f (t) ∣ m \leq t \leq x\} (x \in [m, n])$ ，其中， $min \{f (x) ∣ x \in D\}$ 表示函数 $f (x)$ 在 $D$ 上的最小值， $max \{f (x) ∣ x \in D\}$ 表示函数 $f (x)$ 在 $D$ 上的最大值.

(1)、若 $f (x) = sin x$ ， $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，试写出 $G_{f} (x)$ 、 $H_{f} (x)$ 的表达式；

(2)、设 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ，函数 $f (x) = - a^{2 x} + (a + 5) \cdot a^{x} + 1$ ， $x \in [\frac{1}{2}, 1]$ ，如果 $H_{f} (x)$ 与 $f (x)$ 恰好为同一函数，求 $a$ 的取值范围；

(3)、若存在最小正整数 $k$ ，使得 $H_{f} (x) - G_{f} (x) \leq k (x - m)$ 对任意的 $x \in [m, n]$ 成立，则称函数 $f (x)$ 为 $[m, n]$ 上的“ $k$ 阶收缩函数”，已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{2}$ ， $x \in [- 1, 4]$ ，试判断 $f (x)$ 是否为 $[- 1, 4]$ 上的“ $k$ 阶收缩函数”，如果是，求出对应的 $k$ ，如果不是，请说明理由.

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