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相关试卷

1、对 $\forall x \in R$ ， $[x]$ 表示不超过x的最大整数，我们把 $f (x) = [x]$ ， $x \in R$ 称为取整函数，以下关于“取整函数”的性质叙述错误的是（　　）

A、 $\exists x \in R$ ， $[4 x] = 4 [x] + 2$ B、 $\forall x \in R$ ， $[x] + [x + \frac{1}{2}] = [2 x]$ C、 $\forall x, y \in R$ ， $[x + y] \leq [x] + [y]$ D、 $\forall x, y \in R$ ， $[x] = [y]$ ，则 $|x - y| < 1$

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2、“ $x > 1$ ”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的（）

A、必要不充分条件 B、充分不必要条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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3、某物流公司为了提高运输效率，计划在机场附近建造新的仓储中心.已知仓储中心建造费用 $C$ （单位：万元）与仓储中心到机场的距离 $s$ （单位km）之间满足的关系为 $C = \frac{800}{s} + 2 s + 2000$ ，则当 $C$ 最小时， $s$ 的值为（）

A、2080 B、20 C、 $20 \sqrt{2}$ D、400

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4、已知集合 $A = \{x |m x^{2} - 2 x + 3 = 0, m \in R\}$ ，若 $A$ 中恰有2个元素，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{3})$ B、 $\{0\}$ C、 $(- \infty, 0) \cup (0, \frac{1}{3}]$ D、 $(- \infty, \frac{1}{3})$

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5、下列命题中正确的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $a c > b c$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - c > b - d$ C、若 $a b > 0$ ， $a > b$ ，则 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ D、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $\frac{a}{c} < \frac{b}{d}$

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6、下列图象中，表示定义域和值域均为 $[0, 1]$ 的函数是（）

A、 B、 C、 D、

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7、已知集合 $A = {x ∣ - 2 \leq x < 2}, B = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1, 0\}$ B、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$ C、 $\{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ D、 ${x ∣ - 2 \leq x < 2}$

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8、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，E，F分别为棱 $D D_{1}$ ， $C_{1} D_{1}$ 的中点.

(1)、求 $B_{1} F$ $//$ 平面 $A_{1} B E$ ；

(2)、求直线BE与平面 $A B B_{1} A_{1}$ 所成角的正弦值.

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9、中国共产党第二十届中央委员会第三次全体会议，于2024年7月15日至18日在北京举行.全会提出，中国式现代化是物质文明和精神文明相协调的现代化.必须增强文化自信，发展社会主义先进文化，弘扬革命文化，传承中华优秀传统文化，加快适应信息技术迅猛发展新形势，培育形成规模宏大的优秀文化人才队伍，激发全民族文化创新创造活力.为此，某学校举办了“传承中华优秀传统文化”宣传活动，学校从全体学生中抽取了100人对该宣传活动的了解情况进行问卷调查，统计结果如下：

男
女
合计
了解

20

不了解
20

40
合计

(1)、将列联表补充完整；

(2)、根据 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为该校学生对该宣传活动的了解情况与性别有关联？

(3)、若把上表中的频率视作概率，现从了解该活动的学生中随机抽取3人参加传统文化知识竞赛.记抽取的3人中女生人数为 $X$ ，求随机变量 $X$ 的分布列和数学期望.
附： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$
$P (χ^{2} \geq k_{0})$
0.100
0.050
0.010
0.001
$k_{0}$
2.706
3.841
6.635
10.828

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10、已知 $F_{1} ､ F_{2}$ 分别是双曲线 $C : x^{2} - y^{2} = 2$ 的左右焦点，点 $Q$ 是圆 $A : {(x - 2)}^{2} + {(y - 3)}^{2} = \frac{1}{2}$ 上的动点，下列说法正确的是（）

A、三角形 $A F_{1} F_{2}$ 的周长是12 B、若双曲线 $E$ 与双曲线 $C$ 有相同的渐近线，且双曲线 $E$ 的焦距为8，则双曲线 $E$ 为 $x^{2} - y^{2} = 8$ C、若 $|Q F_{1}| + |Q F_{2}| = 8$ ，则 $Q$ 的位置不唯一 D、若 $P$ 是双曲线左支上一动点，则 $|P F_{2}| + |P Q|$ 的最小值是 $5 + \frac{3}{2} \sqrt{2}$

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11、若直线 $l$ 是曲线 $y = e^{x - 1}$ 与 $y = e^{x} - 1$ 的公切线，则直线 $l$ 的方程为（）

A、 $y = x - 1$ B、 $y = x$ C、 $y = x + 1$ D、 $y = e x$

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12、若存在常数k，b使得函数 $F (x)$ 与 $G (x)$ 在给定区间上的任意实数 $x$ 都有 $F (x) \geq k x + b \geq G (x)$ ，则称 $y = k x + b$ 是 $y = F (x)$ 与 $y = G (x)$ 的隔离直线函数．已知函数 $f (x) = x^{2} - x + 1, g (x) = \frac{1}{2} (x - \frac{1}{x}) + 1$ ．

(1)、证明：函数 $y = g (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上单调递增．

(2)、当 $x > 0$ 时， $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 是否存在隔离直线函数？若存在，请求出隔离直线函数解析式；若不存在，请说明理由．

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13、已知函数 $f (x) = \frac{a}{2^{x} - 1} + 1$ 为奇函数，其中 $a$ 为常数．

(1)、求 $f (x)$ 的解析式和定义域；

(2)、若不等式 $f (x^{2} + 2 x + 2) > f (2)$ 成立，求实数 $x$ 的取值范围．

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14、已知函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，且当 $x \leq 0$ 时， $f (x) = x^{2} + 2 x$ ．

(1)、求出当 $x > 0$ 时， $f (x)$ 的解析式；

(2)、如图，请补出函数 $f (x)$ 的完整图象，根据图象直接写出函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(3)、结合函数图象，求当 $x \in [- 3, 1]$ 时，函数 $f (x)$ 的值域．

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15、集合 $A = \{x |- 6 x^{2} - x + 2 > 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} - 5 x + 6 \geq 0\}$ ．
（1）求 $A \cup B$ ， $(∁_{R} A) \cap B$ ；
（2）若集合 $C = \{x |2 m < x < 1 - m\}$ ， $C \subseteq B$ ，求 $m$ 的取值范围．

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16、已知 $f (x) = (x^{2} + 2 x) (x^{2} + a x + b)$ ，若对一切实数 $x$ ，均有 $f (x) = f (2 - x)$ ，则 $f (3) =$ .

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17、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 1 - |x - 2|, 1 \leq x \leq 3 \\ \frac{1}{2} f (x - 2), x > 3 \end{array}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (6) = \frac{1}{4}$ B、关于 $x$ 的方程 $2^{n} f (x) = 1 (n \in N^{*})$ 有 $2 n + 3$ 个不同的解 C、 $f (x)$ 在 $[2 n, 2 n + 1] (n \in N^{*})$ 上单调递减 D、当 $x \in [1, + \infty)$ 时， $x f (x) \leq 2$ 恒成立.

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18、若 $a > b > 0$ 且 $c \neq 0$ ，则下列不等式正确的是（）

A、 $a^{3} > b^{3}$ B、 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b}$ C、 $\frac{a}{b} < \frac{a + c}{b + c}$ D、 $a c^{2} > b c^{2}$

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19、定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x)$ 满足：对 $\forall x_{1}, x_{2} \in (0, + \infty)$ ，且 $x_{1} \neq x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ 成立，且 $f (3) = 6$ ，则不等式 $\frac{f (x)}{x} > 2$ 的解集为（）

A、 $(3, + \infty)$ B、 $(0, 3)$ C、 $(0, 2)$ D、 $(2, + \infty)$

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20、已知 $a > 0, b > 0$ ，且 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b} = 1$ ，则 $\frac{2}{a - 1} + \frac{1}{b - 2}$ 的最小值为（）

A、 $2$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ D、 $1 + \frac{3 \sqrt{2}}{4}$

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$P (χ^{2} \geq k_{0})$	0.100	0.050	0.010	0.001
$k_{0}$	2.706	3.841	6.635	10.828

	男	女	合计
了解		20
不了解	20		40
合计