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相关试卷

1、已知空间向量 $\vec{a} = (- 2, - 1, 1)$ ， $\vec{b} = (3, 4, 5)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $(2 \vec{a} + \vec{b}) ∥ \vec{a}$ B、 $5 |\vec{a}| = \sqrt{3} |\vec{b}|$ C、 $\vec{a} ⊥ (5 \vec{a} + 6 \vec{b})$ D、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $(- \frac{3}{10}, - \frac{2}{5}, - \frac{1}{2})$

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2、已知 $A 、 B$ 是圆 $C_{1} : x^{2} + y^{2} = 3$ 上的动点，且 $A B = 2 \sqrt{2}$ ． $P$ 是圆 $C_{2} : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 的动点，则 $|\vec{P A} + \vec{P B}|$ 的取值范围是（）

A、 $[8, 12]$ B、 $[6, 10]$ C、 $[10, 14]$ D、 $[6, 14]$

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3、已知点 $P$ 在抛物线 $M : y^{2} = 8 x$ 上，过点 $P$ 作圆 $C : {(x - 4)}^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，若切线长为 $2 \sqrt{6}$ ，则点 $P$ 到 $M$ 的准线的距离为（）

A、5 B、6 C、7 D、 $4 \sqrt{2}$

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4、直线 $a x + b y - 1 = 0 (a > 0, b > 0)$ 等分圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 4$ 的周长，则 $\frac{1}{a} + \frac{2}{b}$ 的最小值为（）

A、9 B、4 C、6 D、18

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5、若 $(z - 1) (i + 1) = 2$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $3$ B、 $2$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $\sqrt{3}$

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6、过点 $P (1, 1)$ ，且在 $y$ 轴上的截距为 $2$ 的直线方程为（）

A、 $2 x + y - 2 = 0$ B、 $2 x - y + 4 = 0$ C、 $x + y - 2 = 0$ D、 $x - y + 2 = 0$

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7、多元导数在微积分学中有重要的应用.设 $y$ 是由 $a$ ， $b$ ， $c$ …等多个自变量唯一确定的因变量，则当 $a$ 变化为 $a + Δ a$ 时， $y$ 变化为 $y + Δ y$ ，记 $\lim_{Δ a \to 0} \frac{Δ y}{Δ a}$ 为 $y$ 对 $a$ 的导数，其符号为 $\frac{d y}{d a}$ .和一般导数一样，若在 $(a_{1}, a_{2})$ 上，已知 $\frac{d y}{d a} > 0$ ，则 $y$ 随着 $a$ 的增大而增大；反之，已知 $\frac{d y}{d a} < 0$ ，则 $y$ 随着 $a$ 的增大而减小.多元导数除满足一般分式的运算性质外，还具有下列性质：①可加性： $\frac{d (y_{1} + y_{2})}{d a} = \frac{d y_{1}}{d a} + \frac{d y_{2}}{d a}$ ；②乘法法则： $\frac{d (y_{1} y_{2})}{d a} = y_{2} \frac{d y_{1}}{d a} + y_{1} \frac{d y_{2}}{d a}$ ；③除法法则： $\frac{d (\frac{y_{1}}{y_{2}})}{d a} = \frac{(y_{2} \frac{d y_{1}}{d a} - y_{1} \frac{d y_{2}}{d a})}{y_{2}^{2}}$ ；④复合法则： $\frac{d y_{2}}{d a} = \frac{d y_{2}}{d y_{1}} \cdot \frac{d y_{1}}{d a}$ .记 $y = e^{x} + \frac{1}{e} x^{2} \ln x - \frac{1}{2 e} x^{2} - e x - a$ .（ $e = 2.7182818 \dots$ 为自然对数的底数），

(1)、写出 $\frac{d y}{d x}$ 和 $\frac{d y}{d a}$ 的表达式；

(2)、已知方程 $y = 0$ 有两实根 $x_{1}, x_{2}$ ， $x_{1} < x_{2}$ .
①求出 $a$ 的取值范围；
②证明 $\frac{d (x_{1} + x_{2})}{d a} > 0$ ，并写出 $x_{1} + x_{2}$ 随 $a$ 的变化趋势.

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8、已知椭圆 $C$ 的标准方程 $\frac{x^{2}}{2} + y^{2} = 1$ ，其左右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ．

(1)、过点 $H (- 2, 0)$ 的直线交椭圆 $C$ 于 $A, B$ 两点，若 $A F_{1} ⊥ B F_{1}$ ，求直线 $A B$ 的方程；

(2)、直线 $l_{1}, l_{2}$ 过右焦点 $F_{2}$ ，且它们的斜率乘积为 $- \frac{1}{2}$ ，设 $l_{1}, l_{2}$ 分别与椭圆交于点 $C, D$ 和 $E, F$ ．若 $M, N$ 分别是线段 $C D$ 和 $E F$ 的中点，证直线 $M N$ 过定点，并求 $△ O M N$ 面积的最大值．

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9、一个半径为2米的水轮如图所示，水轮圆心O距离水面1米．已知水轮按逆时针作匀速转动，每6秒转一圈，如果当水轮上点P从水中浮现时（图中点 $P_{0}$ ）开始计算时间．

(1)、以过点O且平行于水轮所在平面与水面的交线L的直线为x轴，以过点O且与水面垂直的直线为y轴，建立如图所示的直角坐标系，试将点P距离水面的高度h（单位：米）表示为时间t（单位：秒）的函数；

(2)、在水轮转动的任意一圈内，有多长时间点P距离水面的高度不低于2米？

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10、已知函数 $f (x) = x e^{x} - x$ .

(1)、求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(0, f (0))$ 处的切线方程；

(2)、求 $f (x)$ 的单调区间；

(3)、设 $t > 0$ ，若 $f (e^{s}) \geq f (s^{\frac{1}{t}})$ 对于 $s \in (0, + \infty)$ 恒成立，求 $t$ 的最小值．

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11、已知向量 $\vec{a} = (\sqrt{3} \sin x, \cos x)$ ， $\vec{b} = (\cos x, - \cos x)$ ，函数 $f (x) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \frac{3}{2}$ ．

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的最小正周期；

(2)、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，∠ACB的角平分线交AB于点D，若 $f (C)$ 恰好为函数 $f (x)$ 的最大值，且此时 $C D = f (C)$ ，求3a＋4b的最小值．

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12、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ， $D$ 是 $A C$ 边上的一点，且满足 $C D = 2 A D$ ，若 $c = 3, B D = \sqrt{19}$ ， $\frac{b}{2 c - a} = \frac{\cos B}{\cos A}$ ．

(1)、求 $B$ ；

(2)、求三角形 $A B C$ 的面积．

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13、设函数 $f (x) = (x + a) ln (x + b)$ ，若 $f (x) \geq 0$ 恒成立，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为.

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14、现有7张卡片，分别写上数字1，2，2，3，4，5，6．从这7张卡片中随机抽取3张，记所抽取卡片上数字的最小值为 $ξ$ ，则 $P (ξ = 2) =$ ．

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15、已知sin α＝ $\frac{\sqrt{5}}{5}$ ， sin(α－β)＝－ $\frac{\sqrt{10}}{10}$ ， α，β均为锐角，则β＝.

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16、设 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的可导函数，其导数为 $g (x)$ ，若 $f (3 x + 1)$ 是奇函数，且对于任意的 $x \in R$ ， $f (4 - x) = f (x)$ ，则对于任意的 $k \in Z$ ，下列说法正确的是（）

A、 $4 k$ 都是 $g (x)$ 的周期 B、曲线 $y = g (x)$ 关于点 $(2 k, 0)$ 对称 C、曲线 $y = g (x)$ 关于直线 $x = 2 k + 1$ 对称 D、 $g (x + 4 k)$ 都是偶函数

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17、已知函数 $f (x) = a^{x}$ 和 $g (x) = {log}_{a} x (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ ，若两函数图象相交，则其交点的个数可能是（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列， $\{b_{n}\}$ 是等比数列，则下列说法中正确的是（）

A、将数列 $\{a_{n}\}$ 的前m项去掉，其余各项依次构成的数列是等差数列 B、数列 $a_{1} + a_{2} + a_{3}$ ， $a_{4} + a_{5} + a_{6}$ ， $a_{7} + a_{8} + a_{9}$ ， …，是等差数列 C、将数列 $\{b_{n}\}$ 的前m项去掉，其余各项依次构成的数列不是等比数列 D、数列 $b_{1} b_{2}$ ， $b_{2} b_{3}$ ， $b_{3} b_{4}$ ， $b_{4} b_{5}$ ， …，是等比数列

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19、已知函数f(x)＝a^x＋e^x－(1＋ln a)x( $a > 0$ ， a≠1)，对任意x₁ ， x₂∈[0，1]，不等式|f(x₁)－f(x₂)|≤aln a＋e－4恒成立，则a的取值范围为（）

A、 $[\frac{1}{2}, e]$ B、[2，e] C、[e，＋∞) D、(e，＋∞)

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20、在 $△ A B C$ 中， $D$ 为边 $B C$ 上一点， $∠ D A C = \frac{2 π}{3}, A D = 4, A B = 2 B D$ ，且 $△ A D C$ 的面积为 $4 \sqrt{3}$ ，则 $sin ∠ A B D =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{15} - \sqrt{3}}{8}$ B、 $\frac{\sqrt{15} + \sqrt{3}}{8}$ C、 $\frac{\sqrt{5} - \sqrt{3}}{4}$ D、 $\frac{\sqrt{5} + \sqrt{3}}{4}$

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