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1、如图，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，以顶点 $A$ 为顶点的三条棱的长均为2，且两两所成角均为60°，则 $| \overset{⃑}{A C_{1}} | =$ .

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2、正四面体 $A - B C D$ 的棱长为2，设 $\vec{A B} = \vec{a}$ ， $\vec{A C} = \vec{b}$ ， $\vec{A D} = \vec{c}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b} + \vec{c}) =$ .

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3、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $M$ 在线段 $B C_{1}$ 上运动，则下列说法正确的是（）

A、几何体 $A_{1} B C_{1} - A C D_{1}$ 的外接球半径 $r = \sqrt{2}$ B、 $A_{1} M //$ 平面 $A C D_{1}$ C、异面直线 $C D$ 与 $A_{1} M$ 所成角的正弦值的取值范围为 $[\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2}]$ D、面 $A_{1} D M$ 与底面 $A B C D$ 所成角正弦值的取值范围为 $[\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{6}}{2}]$

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4、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1，点 $E ､ O$ 分别是 $A_{1} B_{1} ､ A_{1} C_{1}$ 的中点， $P$ 满足 $\overset{⃑}{A P} = \frac{3}{4} \overset{⃑}{A B} + \frac{1}{2} \overset{⃑}{A D} + \frac{2}{3} \overset{⃑}{A A_{1}}$ ，则下列说法正确的是（）

A、点 $A$ 到直线 $B E$ 的距离是 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ B、点 $O$ 到平面 $A B C_{1} D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、平面 $A_{1} B D$ 与平面 $B_{1} C D_{1}$ 间的距离为 $\frac{2 \sqrt{3}}{3}$ D、点 $P$ 到直线 $A B$ 的距离为 $\frac{25}{36}$

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5、下列说法正确的有（）

A、若 $A$ ， $B$ 为对立事件，则 $P (A) + P (B) = 1$ B、若 $A$ ， $B$ 为互斥事件，则 $P (A \cup B) = P (A) + P (B)$ C、若 $P (A) = P (B)$ ，则 $A$ ， $B$ 相互独立 D、对于任意事件 $A$ ， $B$ ，有 $P (A B) = P (A) P (B)$

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6、已知 $A (2, 1, 3)$ ， $B (2, - 2, 6)$ ， $C (3, 6, 6)$ ，则 $\vec{A C}$ 在 $\vec{A B}$ 上的投影向量为（）

A、 $(0, - 1, 1)$ B、 $(0, - \sqrt{2}, \sqrt{2})$ C、 $(0, \sqrt{2}, - \sqrt{2})$ D、 $(0, 1, - 1)$

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7、如图，在空间四边形 $O A B C$ 中， $\vec{O A} = \vec{a}$ ， $\vec{O B} = \vec{b}$ ， $\vec{O C} = \vec{c}$ ，且 $O M = 2 M A$ ， $B N = N C$ ，则 $\vec{M N}$ 等于（）

A、 $\frac{2}{3} \vec{a} + \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} - \frac{1}{2} \vec{c}$ C、 $- \frac{2}{3} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{2}{3} \vec{b} + \frac{1}{2} \vec{c}$

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8、关于空间向量，以下说法不正确的是（）

A、若两个不同平面α，β的法向量分别是 $\vec{u} ， \vec{ν}$ ，且 $\vec{n} = (1 ， 2 ， - 2) ， \vec{ν} = (2 ， 1 ， 2)$ ，则 $α ⊥ β$ B、若直线l的方向向量为 $\vec{e} = (1 ， 0 ， 3)$ ，平面α的法向量为 $\vec{n} = (- 2 ， 0 ， \frac{2}{3})$ ，则直线l//α C、若对空间中任意一点O，有 $\vec{O P} = \frac{1}{4} \vec{O A} + \frac{1}{4} \vec{O B} + \frac{1}{2} \vec{O C}$ ，则P，A，B，C四点共面 D、两个非零向量与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则这两个向量共线

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9、在空间直角坐标系下，点 $P (- 1, 5, 2)$ 关于 $y O z$ 平面的对称点的坐标为（）

A、 $(- 1, 5, 2)$ B、 $(1, 5, - 2)$ C、 $(1, 5, 2)$ D、 $(- 1, - 5, - 2)$

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10、已知直线 $l : \sqrt{3} x + y + 3 = 0$ ，下列结论正确的是（）

A、直线 $l$ 的倾斜角为 $\frac{π}{3}$ B、直线 $l$ 的法向量为 $(\sqrt{3}, - 1)$ C、直线 $l$ 的方向向量为 $(1, \sqrt{3})$ D、直线 $l$ 的斜率为 $- \sqrt{3}$

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11、如图中的图象所表示的函数的解析式为（）

A、 $y = \frac{5}{2} - \frac{5}{2} |x - 1| (0 \leq x \leq 2)$ B、 $y = \frac{5}{2} |x - 1| (0 \leq x \leq 2)$ C、 $y = \frac{5}{2} - |x - 1| (0 \leq x \leq 2)$ D、 $y = 1 - |x - 1| (0 \leq x \leq 2)$

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12、如图所示，平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = A D = 1, A A_{1} = 2, ∠ B A D = \frac{π}{2}, ∠ B A A_{1} = ∠ D A A_{1} = \frac{π}{3}$ ．

(1)、用向量 $\vec{A B}, \vec{A D}, \vec{A A_{1}}$ 表示向量 $\vec{B D_{1}}$ ，并求 $|\vec{B D_{1}}|$ ；

(2)、求 $\cos ⟨\vec{B D_{1}}, \vec{A C}⟩$ ．

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13、如图，在三棱锥 $O - A B C$ 中，设 $\vec{O A} = \vec{a}, \vec{O B} = \vec{b}, \vec{O C} = \vec{c}$ ，若 $\vec{A N} = \vec{N B}$ ， $2 \vec{B M} = 5 \vec{M C}$ ，则 $\vec{M N} =$ （）

A、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{6} \vec{b} - \frac{2}{3} \vec{c}$ B、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{6} \vec{b} + \frac{2}{3} \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{3}{14} \vec{b} - \frac{5}{7} \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{5}{14} \vec{b} - \frac{3}{7} \vec{c}$

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14、已知全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x ∣ - 1 \leq x \leq 4\}, B = {x ∣ x < 1$ 或 $x > 5}$ .

(1)、求 $A \cup B, (∁_{U} A) \cap B$ ；

(2)、求 $A \cap (∁_{U} B)$ .

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15、函数 $f (x) = a^{x + 1} - 2 (a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 过定点 $(m ， n)$ ，则 $m + n =$ ________

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16、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x + 2, x \leq - 1 \\ x^{2}, - 1 < x < 2 \end{array}$ ，则下列关于函数 $f (x)$ 的结论错误的是（）

A、 $f (f (- 1)) = 1$ B、若 $f (x) = 3$ ，则 $x$ 的值是 $\sqrt{3}$ C、 $f (x) < 1$ 的解集为 $(- \infty, 1)$ D、 $f (x)$ 的值域为 $(- \infty, 4)$

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17、已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ， $A A_{1} = 6$ .

(1)、求异面直线 $B D$ 与 $C A_{1}$ 所成角的余弦值；

(2)、求二面角 $A - A_{1} C - D_{1}$ 的余弦值；

(3)、在线段 $C C_{1}$ 上是否存在点 $P$ ，使得平面 $A_{1} C D_{1} ⊥$ 平面 $P B D$ ，若存在，求出 $\frac{C P}{P C_{1}}$ 的值；若不存在，请说明理由.

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形且 $A D = 2 A B = 2$ ，侧面 $P A D ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且侧面 $P A D$ 是正三角形， $E$ 、 $F$ 分别是 $A D$ ， $P B$ 的中点.

(1)、求证： $A F / /$ 平面 $P C E$ ；

(2)、求直线 $C F$ 与平面 $P C E$ 所成角的余弦值.

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19、某中学为了组建一支业余足球队，在高一年级随机选取50名男生测量身高，发现被测男生的身高全部在 $160 c m$ 到 $184 c m$ 之间，将测量结果按如下方式分成六组：第1组 $[160, 164)$ ，第2组 $[164, 168)$ ， …，第6组 $[180, 184]$ ，如图是按上述分组得到的频率分布直方图，以频率近似概率.
（1）若学校要从中选1名男生担任足球队长，求被选取的男生恰好在第5组或第6组的概率；
（2）试估计该校高一年级全体男生身高的平均数（同一组中的数据用该组区间的中点值代表）与中位数；
（3）现在从第5与第6组男生中选取两名同学担任守门员，求选取的两人中最多有1名男生来自第5组的概率.

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20、如图，在底面 $A B C D$ 为菱形的平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M ， N$ 分别在棱 $A A_{1} ， C C_{1}$ 上，且 $A_{1} M = \frac{1}{3} A A_{1} ， C N = \frac{1}{3} C C_{1}$ ，且 $∠ A_{1} A D = ∠ A_{1} A B = ∠ D A B = 60^{\circ}$ ．

(1)、用向量 $\vec{A A_{1}} ， \vec{A D} ， \vec{A B}$ 表示向量 $\vec{M N}$ ；

(2)、求证： $D ， M ， B_{1} ， N$ 共面；

(3)、当 $\frac{A A_{1}}{A B}$ 为何值时， $A C_{1} ⊥ A_{1} B$ ．

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