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相关试卷

1、在如图所示的试验装置中，两个正方形框架 $A B C D$ ， $A D E F$ 的边长都是1，且它们所在平面互相垂直，活动弹子 $M, N$ 分别在正方形对角线 $A E$ 和 $B D$ 上移动，且 $E M$ 和 $D N$ 的长度保持相等，记 $E M = D N = a (0 < a < \sqrt{2})$ ，活动弹子 $Q$ 在 $E F$ 上移动.

(1)、求证：直线 $M N / /$ 平面 $C D E$ ；

(2)、a为何值时， $M N$ 的长最小?

(3)、 $Q$ 为 $E F$ 上的点，求 $E B$ 与平面 $Q C D$ 所成角的正弦值的最大值.

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2、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $\sqrt{3} a \sin C = c (\cos A + 1), a = 5 \sqrt{3}$ ， $△ A B C$ 外接圆的半径为R．

(1)、求 $△ A B C$ 外接圆的面积；

(2)、圆 $M$ 经过 $P (0, 4)$ ，且与圆 ${(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = R^{2}$ 关于直线 $x - y - 1 = 0$ 对称，圆 $M$ 被直线 $P Q$ 截得弦长为8，求直线 $P Q$ 的方程．

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3、设直线l的方程为 $(a + 1) x + y - 5 - 2 a = 0 (a \in R)$

(1)、求证：无论a为何值，直线l必过一定点P；

(2)、若直线l分别与x轴正半轴，y轴正半轴交于A，B，当 $△ A O B$ 面积最小时，求 $△ A O B$ 的周长；

(3)、当直线l在两坐标轴上的截距均为整数且斜率为正值时，求直线l的方程.

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4、已知点 $P (- 2, 0, 2), Q (- 1, 1, 2), R (- 3, 0, 4)$ ，设 $\vec{a} = \vec{P Q}, \vec{b} = \vec{P R}, \vec{c} = \vec{Q R}$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量（用坐标表示）；

(2)、求 $cos 〈 \vec{a} + \vec{c}, \vec{c} - 2 \vec{b} 〉$ ．

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5、已知P为 $| x | + | y | = m$ 上的点，过点P作圆O： $x^{2} + y^{2} = 1$ 的切线，切点为M、N，若使得 $∠ M P N = 60 °$ 的点P有8个，则m的取值范围是.

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6、设直线 $l$ 经过点 $P_{0} (x_{0}, y_{0}), \vec{v} = (m, n)$ 是它的一个方向向量， $P (x, y)$ 是直线 $l$ 上任意一点，则向量 $\vec{P_{0} P}$ 与 $\vec{v}$ 共线，根据向量共线的充要条件，存在唯一的实数 $t$ ，使 $\vec{P_{0} P} = t \vec{v}$ ，即 $(x - x_{0}, y - y_{0}) = t (m, n)$ ，所以 $\{\begin{array}{l} x = x_{0} + m t \\ y = y_{0} + n t \end{array}$ ，我们把上式称为直线的参数方程．若直线的参数方程为 $\{\begin{matrix} x = - 1 + t s i n 30^{\circ} \\ y = 3 + t c o s 30^{\circ} \end{matrix}$ （ $t$ 为参数），则其倾斜角为．

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7、已知空间向量 $\vec{a} = (2, - 1, 3)$ ， $\vec{b} = (- 1, 4, - 2)$ ， $\vec{c} = (λ, 5, 5)$ 共面，则实数 $λ$ 的值为．

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8、设 $O x, O y, O z$ 是空间中两两夹角均为 $θ (θ \in (0, \frac{π}{2}])$ 的三条数轴， $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}, \vec{e_{3}}$ 分别是与 $x, y, z$ 轴正方向同向的单位向量，若 $\vec{O P} = x \vec{e_{1}} + y \vec{e_{2}} + z \vec{e_{3}} (x, y, z \in R)$ ，则把有序数对 ${(x, y, z)}_{θ}$ 叫作向量 $\vec{O P}$ 在坐标系 $O x y z$ 中的坐标，则下列结论正确的是（）

A、若向量 $\vec{a} = {(- 1, 3, - 7)}_{θ}$ ，向量 $\vec{b} = {(3, - 2, 4)}_{θ}$ ，则 $\vec{a} + \vec{b} = {(2, 1, - 3)}_{θ}$ B、若向量 $\vec{a} = {(2, 6, - 3)}_{\frac{π}{2}}$ ，向量 $\vec{b} = {(3, - 1, 0)}_{\frac{π}{2}}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} = 0$ C、若 $|5 \vec{e_{1}} - λ \vec{e_{2}}|$ 的最小值为 $\frac{5}{2} (λ \in R)$ ，则 $θ = \frac{π}{6}$ D、若向量 $\vec{O A} = {(1, 0, 0)}_{\frac{π}{3}}$ ，向量 $\vec{O B} = {(0, 1, 0)}_{\frac{π}{3}}$ ，向量 $\vec{O C} = {(0, 0, 1)}_{\frac{π}{3}}$ ，则二面角 $O - A B - C$ 的余弦值为 $\frac{1}{3}$

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9、古希腊数学家阿波罗尼斯与欧几里得、阿基米德齐名，他发现：“平面内到两个定点A，B的距离之比为定值m（ $m > 0$ 且 $m \neq 1$ ）的点的轨迹是圆”．人们将这个圆以他的名字命名为阿波罗尼斯圆，简称阿氏圆．在平面直角坐标系xOy中， $A (- 2, 0)$ ， $B (4, 0)$ ，点P满足 $\frac{|P A|}{|P B|} = \frac{1}{2}$ ．设点P的轨迹为C，则下列结论正确的是（）

A、轨迹C的方程为 ${(x + 4)}^{2} + y^{2} = 16$ B、轨迹C与圆M： ${(x - 2)}^{2} + {(y - 8)}^{2} = 36$ 有两条公切线 C、轨迹C与圆O： $x^{2} + y^{2} = 2$ 的公共弦所在直线方程为 $x = - \frac{1}{4}$ D、当A，B，P三点不共线时，射线PO是∠APB的平分线

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10、下面四个结论中正确的是（）

A、若对空间中任一点 $O$ ，有 $\vec{O P} = \frac{1}{6} \vec{O A} + \frac{1}{2} \vec{O B} + \frac{1}{3} \vec{O C}$ ，则 $P, A, B, C$ 四点共面 B、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} > 0$ ，则向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 的夹角是锐角 C、点 $P (- 1, 2, 3)$ 关于 $x O y$ 平面对称的点的坐标是 $(- 1, 2, - 3)$ D、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{a} - 2 \vec{b}| = 4$ ，且 $(\vec{b} + 2 \vec{a}) \cdot \vec{b} = 0$ ，则 $|\vec{b}| = 2$

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11、《九章算术》中，将四个面都为直角三角形的四面体称为鳖臑．在如图所示的鳖臑 $A - B C D$ 中， $A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $∠ B D C = 90 °$ ， $B D = 2 A B = 2 C D = 2$ ， E是BC的中点，H是 $△ A B D$ 内的动点（含边界），且 $E H / /$ 平面 $A C D$ ，则 $\vec{C A} \cdot \vec{E H}$ 的取值范围是（）

A、 $[0, 3]$ B、 $[\frac{1}{2}, 3]$ C、 $[\frac{1}{2}, \frac{11}{2}]$ D、 $[3, \frac{11}{2}]$

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12、已知不同两点 $A (x_{1}, y_{1})$ ， $B (x_{2}, y_{2})$ 在曲线 $y = \sqrt{- {(x - 2)}^{2} + 1}$ 上，且满足 $\frac{y_{1} + 1}{x_{1}} = \frac{y_{2} + 1}{x_{2}}$ ，则直线AB斜率的取值范围是（）

A、 $(\frac{4}{3}, + \infty)$ B、 $[1, \frac{4}{3})$ C、 $[1, \frac{4}{3}]$ D、 $(0, \frac{4}{3})$

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13、如图，在棱长为3的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点 $E$ 是棱 $C D$ 上的一点，且 $D E = 2 E C$ ，则点 $B_{1}$ 到平面 $A E C_{1}$ 的距离为（）

A、 $\frac{6 \sqrt{14}}{7}$ B、 $\frac{3 \sqrt{14}}{7}$ C、 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ D、 $\frac{\sqrt{7}}{7}$

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14、将一枚骰子先后抛掷两次，若先后出现的点数分别记为a，b，则直线 $a x + b y + 2 \sqrt{5} = 0$ 到原点的距离不超过1的概率是（）

A、 $\frac{11}{36}$ B、 $\frac{5}{12}$ C、 $\frac{25}{36}$ D、 $\frac{7}{12}$

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15、如图，在正三棱锥 $P - A B C$ 中，点 $G$ 为 $△ A B C$ 的重心，点 $M$ 是线段 $P G$ 上的一点，且 $P M = 3 M G$ ，记 $\vec{P A} = \vec{a}, \vec{P B} = \vec{b}, \vec{P C} = \vec{c}$ ，则 $\vec{A M} =$ （）

A、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ B、 $- \frac{3}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ C、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{4} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$ D、 $- \frac{1}{4} \vec{a} + \frac{1}{3} \vec{b} + \frac{1}{4} \vec{c}$

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16、已知 $\overset{⃑}{a}$ 为平面α的法向量， A，B是直线 $b$ 上的两点，则 $\overset{⃑}{a}$ · $\overset{⃑}{A B}$ =0是直线b∥α的（）条件

A、必要不充分 B、充分不必要 C、充要 D、既不充分又不必要

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17、设 $x \in R$ ，向量 $\vec{a} = (x, 1, 1), \vec{b} = (1, - 2, 1)$ ，且 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $|\vec{a} + \vec{b}| =$ （）

A、 $2 \sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{3}$ C、 $4$ D、 $3$

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $△ P A D$ 是以 $A D$ 为斜边的等腰直角三角形， $B C // A D$ ， $C D ⊥ A D$ ， $A D = 2 D C = 2 C B = 2$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、证明： $C E //$ 平面 $P A B$ ；

(2)、若 $∠ P A B = 60 °$ ，求平面 $P A B$ 与平面 $P B C$ 的夹角的余弦值.

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19、某工厂引进了一条生产线，为了解产品的质量情况，现从生产线上随机抽取100件产品，测量其技术参数，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)、由频率分布直方图，估计样本技术参数的平均数和75%分位数（精确到0.1）；

(2)、现从技术参数位于区间 $[40 ， 50)$ ， $[50 ， 60)$ ， $[60 ， 70)$ 的三组中，采用分层抽样的方法抽取6件产品，再从这6件产品中任选3件产品，记事件 $A =$ “这3件产品中技术参数位于区间 $[40 ， 50)$ 内的产品至多1件”，事件 $B =$ “这3件产品中技术参数位于区间 $[50 ， 60)$ 内的产品至少1件”，求事件 $A \cap B$ 的概率.

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20、如图，在几何体 $A B C D E F$ 中，平面 $C D E F ⊥$ 平面 $A B C D, ∠ E A D = 60^{\circ}$ .四边形 $C D E F$ 为矩形.在四边形 $A B C D$ 中， $A D ∥ B C, A D ⊥ A B, A B = B C = 2 A D$ .

(1)、点 $G$ 在线段 $B E$ 上，且 $\overset{⃑}{B G} = μ \overset{⃑}{B E}$ ，是否存在实数 $μ$ ，使得 $A G / / D F$ ？若存在，求出 $μ$ 的值；若不存在，请说明理由.

(2)、若 $P$ 为线段 $D F$ 的中点，求直线 $B P$ 与平面 $A B E$ 所成角的正弦值.

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