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相关试卷

1、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，且 $\sqrt{3} a sin C - c cos A - c = 0$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $a = 4$ ，则 $△ A B C$ 面积为 $2 \sqrt{3}$ ，求 $b$ 、 $c$ 的值．

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2、若存在实数m，使得对于任意的 $x \in [\begin{array}{l} a, b \end{array}]$ ，不等式 $m^{2} + \sin x \cos x \leq 2 \sin (x - \frac{π}{4}) \cdot m$ 恒成立，则 $b - a$ 取得最大值时， $|\sin \frac{a + b}{2}| =$ ．

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3、已知 $△ A B C$ 的外心为 $O$ ，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a : b : c = 5 : 6 : 5$ .若 $\vec{B A} \cdot \vec{B C} = 7$ ，则 $\vec{B O} \cdot \vec{B A} =$ .

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4、已知函数 $f (x) = x^{3} + 2 sin x$ ，若 $m > 0$ ， $n > 0$ ，且 $f (2 m) + f (n - 1) = f (0)$ ，则 $\frac{1}{m} + \frac{2}{n}$ 的最小值是．

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5、已知函数 $f (x)$ 及其导函数 $f^{'} (x)$ 的定义域均为 $R$ ，若 $f (3 x + 1)$ 是偶函数，且 $f (2 + x) -$ $f (2 - x) = x$ ，令 $g (x) = f^{'} (x)$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $y = \frac{1}{2} x - f (x + 2)$ 是奇函数 B、 $g (1) = 0$ C、函数 $g (x)$ 的图象关于点 $(3, 1)$ 对称 D、 $\sum_{i = 1}^{26} g (i) = \frac{325}{2}$

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6、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，则下列结论正确的是（）

A、若 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，且 $S_{n} = 2 n^{2} + 4 n + k$ ，则 $k = 0$ B、若 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，且 $S_{n} = 3^{2 n + 1} + k$ ，则 $k = - 3$ C、若 $S_{n} = 3 n^{2} - 5 n + 2$ ，则 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 D、若 $\{a_{n}\}$ 是公比大于1的等比数列，则 $S_{2 n} > 2 S_{n}$

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7、已知函数 $f (x) = |\sin 2 x|$ ， $g (x) = \cos^{2} 2 x$ ，则（）

A、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的值域相同 B、 $f (x)$ 与 $g (x)$ 的最小正周期相同 C、曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 有相同的对称轴 D、曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 有相同的对称中心

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8、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数，当 $x < 0$ 时， $f (x) = e^{x} (x + 2)$ ，则下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 有两个零点 B、当 $x > 0$ 时， $f (x) = - e^{x} (- x + 2)$ C、 $f (x) > 0$ 的解集是 $(- 2, 0) \cup (2, + \infty)$ D、 $x_{1}, x_{2} \in R$ 都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| < \frac{1}{e^{3}}$

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9、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，其中 $a_{1} = 1$ ，且 $S_{n + 1} - 2 S_{n} = 2 n + 1$ ，则 $\frac{S_{7}}{a_{5}} =$ （）

A、 $\frac{369}{46}$ B、 $\frac{361}{46}$ C、 $\frac{367}{46}$ D、 $\frac{365}{46}$

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10、已知单位向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $(\vec{a} + \vec{b}) ∥ (\vec{a} - \vec{b})$ B、 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量为 $(\vec{a} \cdot \vec{b}) \vec{b}$ C、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ ，则 $θ = \frac{2 π}{3}$ D、若 $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot \vec{a} = (\vec{a} - \vec{b}) \cdot \vec{a}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{b}$

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11、已知 $\sin α \sin (α + \frac{π}{6}) = \cos α \sin (\frac{π}{3} - α)$ ，则 $\tan (2 α + \frac{π}{4})$ =（）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ C、 $2 - \sqrt{3}$ D、 $- 2 - \sqrt{3}$

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12、设 $a$ ， $b$ 都是不等于1的正数，则“ ${log}_{a} 4 > {log}_{b} 4 > 1$ ”是“ $4^{a} < 4^{b}$ ”的（）

A、充要条件 B、充分不必要条件 C、必要不充分条件 D、既不充分也不必要条件

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13、在复平面内，复数 $z = (3 + i) (1 - i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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14、已知集合 $A = {- 1, 0, 1, 2, 3}$ ， $B = \{x | x^{3} - 2 x < 4\}$ ，则 $A \cap B$ 的真子集的个数为（）

A、8 B、7 C、16 D、15

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15、已知 $A (- 3,0)$ ， $B (3,0)$ 及两直线 $l_{1}$ ： $x - y + 1 = 0$ ， $l_{2}$ ： $x - y - 1 = 0$ ，作直线 $l_{3}$ 垂直于 $l_{1}$ ， $l_{2}$ ，且垂足分别为C、D，则 $| C D | =$ ， $| A C | + | C D | + | D B |$ 的最小值为

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16、已知正三棱锥的高为 $h$ ，且各顶点都在同一球面上. 若该球的体积为 $\frac{32}{3} π$ ，则三棱锥体积的最大值是（）

A、 $\frac{32 \sqrt{3}}{27}$ B、 $\frac{64 \sqrt{3}}{27}$ C、 $\frac{128 \sqrt{3}}{27}$ D、 $\frac{256 \sqrt{3}}{27}$

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17、已知定义：函数 $f (x)$ 的导函数为 $f^{'} (x)$ ，我们称函数 $f^{'} (x)$ 的导函数 $f^{″} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的二阶导函数，如果一个连续函数 $f (x)$ 在区间I上的二阶导函数 $f^{″} (x) \geq 0$ ，则称 $f (x)$ 为I上的凹函数；二阶导函数 $f^{″} (x) \leq 0$ ，则称 $f (x)$ 为I上的凸函数.若 $f (x)$ 是区间I上的凹函数，则对任意的 $x_{1}, x_{2}, \dots$ $x_{n} \in I$ ，有不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \leq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ 恒成立（当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ 时等号成立）.若 $f (x)$ 是区间I上的凸函数，则对任意的 $x_{1}, x_{2}, \dots x_{n} \in I$ ，有不等式 $f (\frac{x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n}}{n}) \geq \frac{f (x_{1}) + f (x_{2}) + \dots + f (x_{n})}{n}$ 恒成立（当且仅当 $x_{1} = x_{2} = \dots = x_{n}$ 时等号成立）.已知函数 $f (x) = \frac{x}{1 + x}$ ， $x \in (0, \frac{π}{2}]$ .

(1)、试判断 $f (x)$ 在 $(0, \frac{π}{2}]$ 为凹函数还是凸函数?

(2)、设 $x_{1}, x_{2}$ ， $\dots$ ， $x_{n} > 0$ ， $n \geq 2$ ，且 $x_{1} + x_{2} + \dots + x_{n} = 1$ ，求 $W = \frac{x_{1}}{1 + x_{1}} + \frac{x_{2}}{1 + x_{2}} + \dots + \frac{x_{n}}{1 + x_{n}}$ 的最大值；

(3)、已知 $a \in N^{*}$ ，且当 $x \in (0, \frac{π}{2}]$ ，都有 $sin x + sin (a x) - 3 (1 + x) f (x) cos x > 0$ 恒成立，求实数a的所有可能取值.

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18、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x}}{x}$ ．

(1)、当 $x > 0$ 时，求函数 $f (x)$ 的最小值；

(2)、设方程 $f (x) = \frac{x + 1}{x^{2}}$ 的所有根之和为T，且 $T \in (n, n + 1)$ ，求整数n的值；

(3)、若关于x的不等式 $f (x) \geq a x - a \ln x + e - 1$ 恒成立，求实数a的取值范围．

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19、如图所示的几何体中，四边形 $A B C D$ 为矩形， $A F ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $E F / / A B$ ， $A D = 2$ ， $A B = A F = 2 E F = 1$ ，点 $P$ 为棱 $D F$ 的中点.

(1)、求证： $B F / /$ 平面 $A P C$ ；

(2)、求平面 $A C P$ 与平面 $B C F$ 的夹角的余弦值；

(3)、求点 $F$ 到平面 $A C P$ 的距离.

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20、在 $△ A B C$ 中，角A， $B$ ， $C$ 所对的边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，且满足 $2 b - a = 2 c \cos A$ ， $△ A B C$ 的外接圆的半径为 $R = 1$ .

(1)、求角 $C$ 的值；

(2)、如果 $2 \sin A = \sin B$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、求内切圆半径 $r$ 的最大值.

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