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相关试卷

1、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前四项和为10，且 $a_{2}, a_{3}, a_{7}$ 成等比数列
（1）求数列 $\{a_{n}\}$ 通项公式
（2）设 $b_{n} = a_{n} + 2^{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$

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2、设函数 $f (x) = \sqrt{3} \sin 2 x + \cos 2 x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的最小正周期和对称轴；

(2)、 $a$ ， $b$ ， $c$ 分别为 $△ A B C$ 内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边，已知 $f (A) = 1$ ， $b = 1$ ， $△ A B C$ 的面积为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求 $△ A B C$ 的周长.

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3、若 $\tan α = 2$ ，则 $\frac{1}{\sin α \cos α} =$ .

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4、在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $A C = 6$ ， $A = \frac{π}{3}$ ， $D$ 为边 $B C$ 上一动点，则（）

A、 $B C = 2 \sqrt{7}$ B、当 $A D$ 为角 $A$ 的角平分线时， $A D = \frac{12 \sqrt{3}}{5}$ C、当 $D$ 为边 $B C$ 中点时， $A D = 3 \sqrt{2}$ D、若点 $P$ 为 $△ A B C$ 内任一点， $\vec{P A} \cdot (\vec{P B} + \vec{P C})$ 的最小值为 $- \frac{19}{4}$

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5、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, - \frac{π}{2} < φ < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ B、当 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ 时， $f (x)$ 的值域为 $[- \frac{1}{2}, \frac{1}{2}]$ C、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度可得函数 $g (x) = \sin 2 x$ 的图象 D、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，得到的函数图象关于点 $(\frac{5 π}{6}, 0)$ 对称

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6、已知 $z_{1} = 3 + 2 i, z_{2} = 4 - i$ ，则（）

A、 $z_{1} + z_{2}$ 的虚部为 $- 1$ B、 $4 z_{1} - 3 z_{2}$ 是纯虚数 C、 $z_{1} z_{2}$ 在复平面内所对应的点位于第一象限 D、 $|\frac{z_{2}}{i}| = |z_{1}| + 4$

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7、当 $- 2 \leq x \leq 2$ 时，不等式 $x^{2} - m x + 1 > 0$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, 2)$ B、 $(- \infty, - 2)$ C、 $[- 2, 2]$ D、 $(2, + \infty)$

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8、已知 $s i n (α + \frac{π}{3}) - s i n α = \frac{2}{3}$ ，则 $c o s (2 α + \frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- \frac{5}{9}$ B、 $- \frac{1}{9}$ C、 $\frac{1}{9}$ D、 $\frac{5}{9}$

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9、若一个圆台的高为 $\sqrt{3}$ ，母线与底面所成角为 $60 °$ ，上底面半径为 $1$ ，则该圆台的侧面积为（）

A、 $8 π$ B、 $3 \sqrt{3} π$ C、 $6 π$ D、 $2 \sqrt{3} π$

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10、已知向量 $\vec{a} = (1, 5 λ + 4)$ ， $\vec{b} = (2 + λ, 8)$ ，其中 $λ \geq 0$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} + \vec{b}) =$ （）

A、40 B、48 C、51 D、62

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11、已知 $p : x^{2} + 2 x - 3 < 0$ ， $q : x^{2} + x - 2 < 0$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）条件

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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12、若复数 $z$ 满足 $\frac{z + 2}{z} = 2 - i$ ，则 $z =$ （）．

A、 $- 1 - i$ B、 $- 1 + i$ C、 $1 - i$ D、 $1 + i$

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13、已知集合 $A = \{- 2, - 1, 0, 1, 2\}$ ， $B = \{x | 1 - x \geq 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, - 1\}$ B、 $\{1, 2\}$ C、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0, 1\}$

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14、已知抛物线 $E : y^{2} = 4 x$ ，直线 $l : x = m y + 3$ 交抛物线 $E$ 于 $A, B$ 两点，

(1)、若线段 $A B$ 中点 $M$ 的纵坐标为2，求直线 $l$ 的方程；

(2)、若抛物线 $E$ 上存在两点 $C, D$ 关于直线 $l$ 轴对称，求 $m$ 的取值范围.

(3)、若存在定点 $P$ ，使以 $A B$ 为直径的圆上的任意点 $Q$ ，都满足 $|P Q| : |O Q| = 2 : \sqrt{3}$ （ $O$ 为原点），求定点 $P$ 的坐标和 $m$ 的值.

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15、设 $a \in R$ ，则“ $a > 1$ ”是“ $\frac{1}{a} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、已知动点 $M (x, y)$ 到直线 $x = - 3$ 的距离比它到定点 $(2, 0)$ 的距离多1

(1)、求 $Γ$ 的方程；

(2)、若过点 $D (4, 4)$ 的直线 $l$ 与 $Γ$ 相交于A，B两点，且 $O A ⊥ O B$ ，求直线 $l$ 的方程．

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17、已知函数 $f (x) = e^{x} - a x - cos x$ ，且 $f (x)$ 在 $[0, + \infty)$ 上的最小值为0.

(1)、求实数 $a$ 的取值范围；

(2)、设函数 $y = φ (x)$ 在区间 $D$ 上的导函数为 $y = φ^{'} (x)$ ，若 $\frac{x \cdot φ^{'} (x)}{φ (x)} > 1$ 对任意实数 $x \in D$ 恒成立，则称函数 $y = φ (x)$ 在区间 $D$ 上具有性质 $S$ .
（i）求证：函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上具有性质 $S$ ；
（ii）记 $\prod_{i = 1}^{n} p (i) = p (1) p (2) ... p (n)$ ，其中 $n \in N^{*}$ ，求证： $\prod_{i = 1}^{n} i \sin \frac{1}{i} > \frac{1}{n (n + 1)}$ .

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18、如图，广东省某机器人比赛设计了一个矩形场地ABCD（含边界和内部，A为坐标原点），AD长10米，在AB边上距离A点4米的F处放一只电子狗，在距A点2米的E处放一个机器人，机器人行走速度为v，电子狗行走速度为2v，若电子狗和机器人在场地内沿直线方向同时到达场地内某点M，那么电子狗将被机器人捕获，点M叫“成功点”．

(1)、求在这个矩形场地内“成功点”M的轨迹方程；

(2)、若P为矩形场地AD边上的一点，电子狗在线段FP上总能逃脱，求|AP|的取值范围．

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19、已知直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = A C = A A_{1}$ ， $M, N$ 分别为 $B C$ 和 $B B_{1}$ 的中点， $P$ 为棱 $A_{1} C_{1}$ 上的动点， $A N ⊥ A_{1} C_{1}$ .

(1)、证明：平面 $A N P ⊥$ 平面 $A_{1} M P$ ；

(2)、设 $\vec{A_{1} P} = λ \vec{A_{1} C_{1}}$ ，是否存在实数 $λ$ ，使得平面 $A A_{1} B_{1} B$ 与平面 $P M N$ 所成的角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ?

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20、已知数列 ${a_{n}}$ 中 $a_{1} = 1$ ， $a_{n + 1} = 2 a_{n} + 3$ ， $n \in N^{*}$

(1)、证明数列 ${a_{n} + 3}$ 是等比数列；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 的通项公式为 $b_{n} = (n + 1) \cdot (a_{n} + 3)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前n项和 $S_{n}$ .

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