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相关试卷

1、我国古代数学家僧一行应用“九服晷影算法”在《大衍历》中建立了晷影长l与太阳天顶距θ（ $0 ° \leq θ \leq 80 °$ ）的对应数表，这是世界数学史上较早的正切函数表．根据三角学知识可知，晷影长l等于表高h与太阳天顶距θ正切值的乘积，即 $l = h \tan θ$ ．对同一“表高”测量两次，第一次和第二次太阳天顶距分别为 $α$ ， $β$ ，第二次的“晷影长”是“表高”的2倍，且 $\cos 2 α + \sin 2 α = - \frac{1}{5}$ ，则 $\tan (α - β)$ 的值为（）

A、 $\frac{1}{7}$ B、 $- \frac{1}{7}$ C、 $\frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{3}$

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2、设 $S_{n}$ 是等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和，若 $S_{2} = 3$ ， $a_{3} + a_{4} = 6$ ，则 $\frac{S_{10}}{S_{8}} =$ （）

A、 $\frac{15}{7}$ B、 $\frac{31}{15}$ C、2 D、 $\frac{63}{31}$

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3、寒假期间某校6名学生计划去安徽旅游，体验皖北与皖南当地的风俗与文化，现有黄山、宏村、八里河三个景区可供选择．若至少有2人前往黄山，其余两个景区都分别至少有1人前往，则不同方案的种数为（）

A、240 B、360 C、480 D、540

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4、将一组数据按照从小到大的顺序排列如下：12，15，17，a，23，25，27，31，36，37．若该组数据的35%分位数为19，则 $a =$ （）

A、19 B、20 C、21 D、22

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5、已知集合 $A = \{x |x^{2} - x - 2 \leq 0\}$ ， $B = \{x |y = \ln x\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[0, 1]$ B、 $[0, 2]$ C、 $(0, 1]$ D、 $(0, 2]$

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6、若平面向量 $\vec{a} = (n, 2)$ ， $\vec{b} = (1, m - 1)$ ，其中 $n$ ， $m \in R$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $2 \vec{a} + \vec{b} = (2, 6)$ ，则 $\vec{a} // \vec{b}$ B、若 $\vec{a} = - 2 \vec{b}$ ，则与 $\vec{b}$ 同向的单位向量为 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、若 $n = 1$ ，且 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为锐角，则实数 $m$ 的取值范围为 $(\frac{1}{2}, + \infty)$ D、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $z = 2^{n} + 4^{m}$ 的最小值为 $4$

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7、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中，若 $a_{1} + a_{2} = 5$ ， $a_{3} + a_{4} = 15$ ，则 $a_{5} + a_{6} =$ （）

A、10 B、20 C、25 D、30

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8、已知口袋中有2个白球和4个红球，现从中随机抽取两次，每次抽取1个.

(1)、若采取放回的方法连续抽取两次，求两次都取得白球的概率；

(2)、若采取不放回的方法连续抽取两次，求两次至少有一次取得白球的概率；

(3)、若采取不放回的方法连续抽取两次，求在第一次取出红球的条件下，第二次取出的是红球的概率.

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9、已知函数 $y = f (x)$ 是奇函数，对于任意的 $x \in (0, \frac{π}{2}]$ 满足 $f^{'} (x) \sin x - f (x) \cos x > 0$ （其中 $f^{'} (x)$ 是函数 $f (x)$ 的导函数），则下列不等式成立的是（）

A、 $\sqrt{3} f (- \frac{π}{6}) < f (- \frac{π}{3})$ B、 $f (\frac{π}{3}) > \sqrt{3} f (\frac{π}{6})$ C、 $f (\frac{π}{4}) > - \sqrt{2} f (- \frac{π}{6})$ D、 $\sqrt{2} f (- \frac{π}{4}) < - f (\frac{π}{2})$

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10、现要从6名学生中选4名代表班级参加学校4×100m接力赛，其中已确定甲跑第1棒或第4棒，乙和丙2人只能跑第2、3棒，丁不能跑第1棒，那么合适的选择方法种数为（）

A、56 B、60 C、84 D、120

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11、已知 $\vec{u} = (3, a, b) (a, b \in R)$ 是直线 $l$ 的方向向量， $\vec{n} = (1, 2, 3)$ 是平面 $α$ 的法向量，如果 $l ⊥ α$ ，则 $a + b =$ ．

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12、集合论在离散数学中有着非常重要的地位.对于非空集合 $A$ 和 $B$ ，定义和集 $A + B = \{a + b| a \in A, b \in B\}$ ，用符号 $d (A + B)$ 表示和集 $A + B$ 内的元素个数.

(1)、已知集合 $A = \{1, 3, 5\}$ ， $B = \{1, 2, 6\}$ ， $C = \{1, 2, 6, x\}$ ，若 $A + B = A + C$ ，求 $x$ 的值；

(2)、记集合 $A_{n} = \{1, 2, \dots, n\}$ ， $B_{n} = \{\sqrt{2}, 2 \sqrt{2}, \dots, n \sqrt{2}\}$ ， $C_{n} = A_{n} + B_{n}$ ， $a_{n}$ 为 $C_{n}$ 中所有元素之和， $n \in N^{*}$ ，求证： $\frac{1}{a_{1}} + \frac{2}{a_{2}} + \dots + \frac{n}{a_{n}} < 2 (\sqrt{2} - 1)$ ；

(3)、若 $A$ 与 $B$ 都是由 $m (m \geq 3, m \in N^{*})$ 个整数构成的集合，且 $d (A + B) = 2 m - 1$ ，证明：若按一定顺序排列，集合 $A$ 与 $B$ 中的元素是两个公差相等的等差数列.

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13、已知椭圆 $E$ 中心在原点，左焦点为 $F (- 1, 0)$ ，其四个顶点的连线围成的四边形面积为 $2 \sqrt{2}$ .

(1)、求椭圆 $E$ 的标准方程；

(2)、过椭圆 $E$ 的左焦点 $F$ 作斜率存在的两直线 $A B$ 、 $C D$ 分别交椭圆于 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 、 $D$ ，且 $A B ⊥ C D$ ，线段 $A B$ 、 $C D$ 的中点分别为 $M$ 、 $N$ .求四边形 $B C M N$ 面积的最小值.

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14、已知三位整数 $n$ 满足 ${(a + b)}^{n}$ 的展开式中有连续的三项的二项式系数成等差数列，则 $n$ 的最大值是．

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15、在三棱锥 $D - A B C$ 中，平面 $A B C ⊥$ 平面 $A B D$ ， $A B = A C = B C = B D = A D = 2$ ，则（）

A、三棱锥 $D - A B C$ 的体积为1 B、点 $C$ 到直线AD的距离为 $\frac{\sqrt{15}}{4}$ C、二面角 $B - A D - C$ 的正切值为2 D、三棱锥 $D - A B C$ 外接球的球心到平面 $A B D$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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16、已知定义在R上的偶函数 $f (x)$ ，其周期为4，当 $x \in [0, 2]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 2$ ，则（）

A、 $f (2023) = 0$ B、 $f (x)$ 的值域为 $[- 1, 2]$ C、 $f (x)$ 在 $[4, 6]$ 上单调递减 D、 $f (x)$ 在 $[- 6, 6]$ 上有8个零点

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17、设椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{y^{2}}{a_{2}^{2}} - \frac{x^{2}}{b_{2}^{2}} = 1 (a_{2} > 0, b_{2} > 0)$ 有相同的焦距，它们的离心率分别为 $e_{1}$ ， $e_{2}$ ，椭圆 $C_{1}$ 的焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ， $C_{1}$ ， $C_{2}$ 在第一象限的交点为 $P$ ，若点 $P$ 在直线 $y = x$ 上，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 90 °$ ，则 $\frac{1}{e_{1}^{2}} + \frac{1}{e_{2}^{2}}$ 的值为（）

A、2 B、3 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $\{b_{n}\}$ 为等比数列， $a_{4} = b_{4} = 4$ ，则（）

A、 $b_{3} b_{5} \geq a_{3} a_{5}$ B、 $b_{3} + b_{5} \geq a_{3} + a_{5}$ C、 $b_{3} b_{5} \leq a_{3} a_{5}$ D、 $b_{3} + b_{5} \leq a_{3} + a_{5}$

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19、如图，在▱OACB中，E是AC的中点，F是BC上的一点，且BC=3BF，若 $\vec{O C}$ =m $\vec{O E} + n \vec{O F}$ ，其中m，n∈R，则m+n的值为（　　）

A、1 B、 $\frac{3}{2}$ C、 $\frac{7}{5}$ D、 $\frac{7}{3}$

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20、设 $z = (1 + i) (1 - \frac{1}{i})$ ，则 $\bar{z} =$ （）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、 $- 2$ D、0

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