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相关试卷

1、如图，已知三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，侧棱与底面垂直，且 $A A_{1} = A B = A C = 2$ ， $A B ⊥ A C$ ， $M$ ､ $N$ 分别是 $C C_{1}$ 、 $B C$ 的中点，点 $P$ 在线段 $A_{1} B_{1}$ 上，且 $\vec{A_{1} P} = λ \vec{A_{1} B_{1}}$ .

(1)、求直线AM与直线PN所成角的大小；

(2)、当直线AM与平面PMN所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{30}}{10}$ 时，求实数 $λ$ 的值.

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2、如图，等边 $△ A B C$ 和等边 $△ D B C$ 所在的平面互相垂直，求：

(1)、直线 $B C$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值；

(2)、平面 $A B D$ 和平面 $B D C$ 的夹角的余弦值.

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3、直线l： $(λ + 3) x + (λ - 1) y - 4 λ = 0$ （其中 $λ \in R$ ）.

(1)、求直线l所经过的定点P的坐标；

(2)、若向量 $\vec{a} = (- 1, 2)$ 是直线 $l$ 的一个方向向量，求直线 $l$ 的一般式方程.

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4、古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现：一动点 $P$ 到两定点 $A 、 B$ 的距离之比等于定值 $λ （ λ > 0 且 λ \neq 1 ）$ ，则 $P$ 点的轨迹是圆，此圆被称为“阿氏圆”.在平面直角坐标系 $x O y$ 中，点 $A (6, 0)$ ，满足 $| M A | : | M O | = 2 : 1$ 的动点 $M$ 的轨迹为 $C$ ，若在直线 $l : x - a y + 6 a = 0$ 上存在点 $P$ ，在曲线 $C$ 上存在两点 $D 、 E$ ，使得 $P D ⊥ P E$ ，则实数 $a$ 的取值范围是.

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5、已知在平面直角坐标系中，点 $P$ 到两定点 $(3, 0)$ ， $(- 3, 0)$ 的距离之和为8，则点 $P$ 的轨迹方程为.

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6、已知随机事件A，B，C， $A$ 与 $B$ 相互独立， $B$ 与 $C$ 对立，且 $P (A) = 0.6$ ， $P (C) = 0.3$ ，则 $P (A B) =$ .

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7、已知圆 $C : {(x - 1)}^{2} + {(y - 2)}^{2} = 2$ 和圆外一点 $P (2, - 1)$ ，过点 $P$ 作圆 $C$ 的切线 $P A, P B$ ，其中 $A, B$ 是切点，则下列结论正确的是（）.

A、 $|P A| = 2 \sqrt{2}$ B、 $P C ⊥ A B$ C、四边形 $P A C B$ 的面积为8 D、点 $P$ 在 $△ A B C$ 外接圆的外部

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8、已知 $2 b = a + c$ ，直线 $a x + b y + c = 0$ 与圆 $x^{2} + y^{2} + 4 y - 1 = 0$ 交于 $A, B$ 两点，则 $|A B|$ 的最小值为（）

A、1 B、2 C、4 D、 $2 \sqrt{5}$

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9、阅读材料：空间直角坐标系 $O - x y z$ 中，过点 $P (x_{0}, y_{0}, z_{0})$ 且一个法向量为 $\vec{n} = (a, b, c)$ 的平面 $α$ 的方程为 $a (x - x_{0}) + b (y - y_{0}) + c (z - z_{0}) = 0$ ，阅读上面材料，解决下面问题：已知平面 $α$ 的方程为 $x - y + 2 z = 1$ ，点 $Q (3, - 1, 1)$ ，则点 $Q$ 到平面 $α$ 距离为（）

A、 $\frac{5 \sqrt{6}}{6}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ C、 $\frac{5 \sqrt{102}}{102}$ D、 $\frac{\sqrt{102}}{34}$

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10、已知一条光线从点 $(4, 0)$ 发出被直线 $x + y - 10 = 0$ 反射，若反射光线过点 $(0, 1)$ ，则反射光线所在的直线方程为（）

A、 $x - 2 y + 2 = 0$ B、 $3 x - 2 y + 2 = 0$ C、 $2 x - 3 y + 3 = 0$ D、 $2 x - y + 1 = 0$

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11、如图所示，在平行六面体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $M$ 为 $A_{1} C_{1}$ 与 $B_{1} D_{1}$ 的交点，若 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}, \vec{A A_{1}} = \vec{c}$ ，则 $\vec{B M}$ 等于（）

A、 $- \frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ B、 $- \frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ C、 $\frac{1}{2} \vec{a} - \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$ D、 $\frac{1}{2} \vec{a} + \frac{1}{2} \vec{b} + \vec{c}$

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12、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{5} + \frac{y^{2}}{m} = 1$ 的一个焦点坐标为 $(0, - 2)$ ，则实数 $m$ 的值为（）

A、 $1$ B、 $4$ C、 $7$ D、 $9$

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13、直线 $y = x + 1$ 的倾斜角为（）

A、30° B、45° C、60° D、135°

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14、已知 $\frac{π}{3}$ 是函数 $f (x) = 2 a \sin x \cos x - 2 \cos^{2} x - 1$ 的一个零点.则（）

A、 $a = \sqrt{3}$ B、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 2, 2]$ C、函数 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[k π + \frac{π}{3}, k π + \frac{5π}{6}] (k \in Z)$ D、不等式 $f (x) \geq 0$ 的解集为 $\emptyset$

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15、已知正四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D$ 中， $A B = 3, A A_{1} = 6$ ．

(1)、求证： $B D ⊥ A_{1} C$ ；

(2)、求平面 $A A_{1} C$ 与平面 $A_{1} C D_{1}$ 的夹角的余弦值；

(3)、在线段 $C C_{1}$ 上是否存在点 $P$ ，使得平面 $A_{1} C D_{1} ⊥$ 平面 $P B D$ ，若存在，求出 $\frac{C P}{P C_{1}}$ 的值；若不存在，请说明理由．

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16、如图，在棱长为 $2$ 的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E$ 为 $B B_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B C_{1} / /$ 平面 $A D_{1} E$ ；

(2)、求直线 $A A_{1}$ 与平面 $A D_{1} E$ 所成角的正弦值；

(3)、求点 $C$ 到平面 $A D_{1} E$ 的距离．

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17、从4名男生和2名女生中任选3人参加演讲比赛．

(1)、将6名学生做适当编号，把选中3人的所有可能情况列举出来；

(2)、求所选3人中恰有一名女生的概率；

(3)、求所选3人中至少有一名女生的概率

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是正方形， $P A ⊥$ 底面 $A B C D$ ， E是 $P C$ 的中点，已知 $A B = 2$ ， $P A = 2$ ．

(1)、求证： $A E ⊥ P D$ ；

(2)、求证：平面 $P B D ⊥$ 平面 $P A C$ ．

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19、一个盒子中装有大小相同的2个红球和 $n$ 个白球，从中任取2个球．
（1）若 $n = 5$ ，求取到的2个球恰好是一个红球和一个白球的概率；
（2）若取到的2个球中至少有1个红球的概率为 $\frac{3}{5}$ ，求 $n$ ．

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20、一次掷两枚均匀的骰子，得到的点数为m和n，则关于x的方程x²＋(m＋n)x＋4＝0无实数根的概率是．

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