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相关试卷

1、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{2} + a_{3} + a_{4} = 15$ 且 $S_{4} = 4 S_{2}$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、若 $b_{n} = 3^{n - 1}$ ，令 $c_{n} = a_{n} b_{n}$ ，求数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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2、已知线段 $P Q$ 的端点 $P$ 的坐标是 $(4, 3)$ ，端点 $Q$ 在圆 ${(x + 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 上运动，线段 $P Q$ 的中点为 $M$ .

(1)、求点 $M$ 的轨迹方程；

(2)、若点 $M$ 的轨迹为曲线 $C$ ，已知直线 $l$ 的方程为 $2 x - y + 1 = 0$ ，请判断直线 $l$ 与曲线 $C$ 的位置关系，并说明理由.

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3、阿波罗尼斯是古希腊著名的数学家，对圆锥曲线有深刻而系统的研究，阿波罗尼斯圆就是他的研究成果之一，指的是：已知动点M与两定点Q，P的距离之比 $\frac{|M Q|}{|M P|} = λ (λ > 0, λ \neq 1)$ ，那么点 $M$ 的轨迹就是阿波罗尼斯圆.已知动点 $M$ 的轨迹是阿波罗尼斯圆，其方程为 $x^{2} + y^{2} = 1$ ，定点 $Q$ 为 $x$ 轴上一点， $P (- \frac{1}{2}, 0)$ 且 $λ = 2$ ，若点 $B (1, 1)$ ，则 $2 |M P| + |M B|$ 的最小值为.

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4、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和公式为 $S_{n} = - 3 n^{2}$ ，则 $\{a_{n}\}$ 的通项公式 $a_{n} =$ .

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5、如图，点P是棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的表面上的一个动点，则下列结论正确的是（）

A、当点P在平面 $B C C_{1} B_{1}$ 上运动时，四棱锥 $P - A A_{1} D_{1} D$ 的体积不变 B、当点P在线段AC上运动时， $D_{1} P$ 与 $A_{1} C_{1}$ 所成角的取值范围为 $[\frac{π}{3}, \frac{π}{2}]$ C、使直线AP与平面ABCD所成角为 $45^{\circ}$ 的动点P的轨迹长度为 $π + 4 \sqrt{2}$ D、若F是 $A_{1} B_{1}$ 的中点，当点P在底面ABCD上运动，且满足 $P F / /$ 平面 $B_{1} C D_{1}$ 时，PF长度的最小值为 $\sqrt{5}$

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6、椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过 $F_{1}$ 的直线 $l$ 与椭圆交于 $A$ ， $B$ 两点，其中 $A$ 是椭圆的上顶点， $△ F_{1} A F_{2}$ 是面积为 $\sqrt{3}$ 的正三角形，则下列说法正确的是（）

A、 $△ A B F_{2}$ 的周长为8 B、椭圆 $C$ 的离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $B F_{2}$ 的长为 $\frac{12}{5}$ D、 $△ B F_{1} F_{2}$ 的面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{5}$

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7、下列命题中，正确的是（）

A、如果 $A B > 0$ 且 $B C < 0$ ，那么直线 $A x + B y + C = 0$ 不经过第三象限. B、若直线 $l_{1} : x - 2 y + 1 = 0$ 与 $l_{2} : 2 x + a y - 2 = 0$ 平行，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 的距离为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$ . C、圆C： ${(x + 1)}^{2} + {(y - 1)}^{2} = 4$ 关于直线 $x - y - 1 = 0$ 对称的圆方程为 ${(x - 2)}^{2} + {(y + 2)}^{2} = 4$ . D、点 $A (x, y)$ 为圆 ${(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 1$ 上任意一点，则 $x^{2} + y^{2}$ 的最大值为6.

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8、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左，右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $A$ 在双曲线 $E$ 上，点 $B$ 在 $y$ 轴上， $\vec{F_{1} A} ⊥ \vec{F_{1} B}, \vec{F_{2} A} = - \frac{2}{3} \vec{F_{2} B}$ ，则 $E$ 的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ C、 $\sqrt{6}$ D、 $\frac{5 \sqrt{6}}{2}$

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9、直线 $y = k (x - 2) + 4$ 与曲线 $y = 1 + \sqrt{4 - x^{2}}$ 有两个不同交点，则 $k$ 的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{5}{12})$ B、 $(\frac{5}{12}, \frac{3}{4}]$ C、 $(\frac{5}{12}, + \infty)$ D、 $(\frac{1}{3}, \frac{3}{4}]$

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10、在平行六面体 $A B C D - A^{'} B^{'} C^{'} D^{'}$ 中， $A B = A D = 2, A A^{'} = \sqrt{2}, ∠ B A A^{'} = ∠ D A A^{'} = 45^{\circ}$ ， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ，则 $A C^{'}$ 的长为（）

A、10 B、12 C、 $\sqrt{22}$ D、 $2 \sqrt{6}$

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11、在等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $S_{n}$ 为其前 $n$ 项的和，若 $S_{4} = 6, S_{8} = 20$ ，则 $S_{12}$ 为（）

A、42 B、48 C、60 D、72

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12、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{4} - \frac{y^{2}}{16} = 1$ ，设 $M$ 是双曲线 $E$ 上的一点， $F_{1}, F_{2}$ 分别是双曲线 $E$ 的左，右焦点，若 $|M F_{1}| = 3$ ，则 $|M F_{2}| =$ （）

A、5 B、7 C、9 D、11

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13、若直线 $(a + 2) x - y + 1 = 0$ 和直线 $a x - y - 1 = 0$ 垂直，则 $a$ 的值是（）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- \frac{1}{2}$ D、2

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14、已知 $\{a_{n}\}$ 是等比数列，若 $a_{1} = - 2, a_{4} = 128$ ，则公比 $q$ 为（）

A、2 B、 $- 2$ C、4 D、 $- 4$

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15、若一条直线的斜率等于 $\sqrt{3}$ ，则该直线的倾斜角是（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{4}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{2 π}{3}$

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16、“ $x^{2} > 1$ ”是“ $\frac{1}{x} < 1$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充分必要条件 D、既不充分也不必要条件

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17、如图，四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 底面 $A B C D, P A = A C = 2, B C = 1, A B = \sqrt{3}$ .

(1)、若 $A D ⊥ P B$ ，证明： $A D //$ 平面 $P B C$ ；

(2)、求二面角 $P - B C - A$ 的大小.

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18、如图，边长为2的正方形 $A C D E$ 所在平面与平面 $A B C$ 垂直， $A D$ 与 $C E$ 的交点为 $M$ ， $A C ⊥ B C$ ，且 $A C = B C$ .

(1)、求证： $A M ⊥$ 平面 $E B C$ ；

(2)、求直线 $E C$ 与平面 $A B E$ 所成角的大小.

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19、如图，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $E, F$ 分别为线段 $D D_{1}, B D$ 的中点.

(1)、求异面直线 $E F$ 与 $B C$ 所成角的大小；

(2)、求点 $D$ 到平面 $A E F$ 的距离.

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20、如图，在 $△ A B C$ 中， $A B = 4$ ， $B C = 3$ ， $∠ A B C = 120 ^{\circ}$ ，将 $△ A B C$ 绕 $B C$ 轴旋转一周形成了一个旋转体.

(1)、求这个旋转体的体积；

(2)、求这个旋转体的表面积.

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