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相关试卷

1、空间中 $A (1, 0, 0), B (0, 1, 0), C (1, 1, 2), D (0, 0, 1), E (1, a, b)$ ，其中 $a, b \in R$ ，且 $D E ⊥$ 平面ABC，则 $a + b$ 的值为．

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2、将直线 $x - \sqrt{3} y = 0$ 绕点 $(\sqrt{3}, 1)$ 逆时针旋转 $30 °$ 得到的直线方程为．

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3、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 3$ ，点P在 $△ A B A_{1}$ 的内部（含边界）运动，则（）

A、 $|C_{1} P|$ 的最小值为 $\frac{3 \sqrt{6}}{2}$ B、 $|C_{1} P| + |P A|$ 的最小值为 $\frac{3 (\sqrt{2} + \sqrt{6})}{2}$ C、三棱锥 $P - B_{1} C D_{1}$ 体积的取值范围为 $[\frac{9}{2}, 9]$ D、当P在棱 $A A_{1}$ 上运动时，三棱锥 $P - B_{1} C D_{1}$ 外接球半径的最小值为 $6 \sqrt{2} - 6$

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4、已知 $A$ 为直线 $l : x + 2 y + 3 = 0$ 上的动点，下列结论正确的是（）

A、若 $| A P | = 2$ ，则点 $P$ 的轨迹是一个圆 B、若 $\vec{A P} = (1, 2)$ ，则点 $P$ 的轨迹是一条直线 C、若 $\vec{A P} = (1, 2)$ ，则点 $P$ 到 $l$ 的距离为 $\sqrt{5}$ D、 $\vec{n} = (1, 2)$ 是 $l$ 的一个方向向量

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5、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}, F_{2}$ ，设过点 $P (0, b)$ 组平行于 $l_{1} : y = \frac{a}{b} x$ 的直线交 $l_{2} : y = - \frac{a}{b} x$ 于点Q．若 $F_{1} Q ⊥ F_{2} Q$ ，则该椭圆的离心率为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{14 - 2 \sqrt{41}}}{2}$ D、 $\frac{\sqrt{14 + 2 \sqrt{41}}}{2}$

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6、曲线 $Γ : x^{2} + y^{2} = |x| y + 1$ 的对称轴的条数为（）

A、9 B、1 C、2 D、3

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7、在 $△ A B C$ 中， $\tan A = \frac{1}{2}$ ， $\tan B = \frac{1}{3}$ ，最短边的长为 $\sqrt{5}$ ，则最长边的长为（）

A、 $\sqrt{10}$ B、 $2 \sqrt{5}$ C、 $\sqrt{15}$ D、5

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8、设 $a = e^{\frac{5}{6}}, b = \ln \frac{6}{5}, c = \sin \frac{6}{5}$ ，则a，b，c的大小关系是（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > a > c$ C、 $a > c > b$ D、 $c > a > b$

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9、已知直线l不平行于平面 $α$ ， “ $l ⊄ α$ ”是“ $α$ 内存在无数条直线与l相交”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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10、已知圆 $C : x^{2} + y^{2} + 2 x + a = 0$ ，其中 $a \in R$ ，下列各点中一定在圆C内的是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, - 1)$ C、 $(0, 0)$ D、 $(1, 0)$

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11、已知 $z = \sqrt{3} + i$ ，则 $\frac{z^{2} - |z|}{z} =$ （）

A、 $\sqrt{3} + i$ B、 $\sqrt{3} - i$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{2} + \frac{3}{2} i$ D、 $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{3}{2} i$

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12、设集合 $A = \{2024, 11, 5\}, B = \{1, 9, 5, 6\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $\{5\}$ B、 $\{2024, 11\}$ C、 $\{1, 9, 6\}$ D、 $\{2024, 11, 1, 9, 5, 6\}$

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13、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B ⊥ B C$ ， $A B = 2$ ， $B C = 2 \sqrt{2}$ ， $P B = P C = \sqrt{6}$ ， $B P, A P, B C$ 的中点分别为 $D, E, O$ ，点 $F$ 在 $A C$ 上， $B F ⊥ A O$ ．

(1)、求证： $E F$ //平面 $A D O$ ；

(2)、若 $∠ P O F = 120 °$ ，求三棱锥 $P - A B C$ 的体积．

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14、“奔驰定理”因其几何表示酷似奔驰的标志得来，是平面向量中一个非常优美的结论.它的具体内容是：已知 $M$ 是 $△ A B C$ 内一点， $△ B M C$ ， $△ A M C$ ， $△ A M B$ 的面积分别为 $S_{A}$ ， $S_{B}$ ， $S_{C}$ ，且 $S_{A} \cdot \vec{M A} + S_{B} \cdot \vec{M B} + S_{C} \cdot \vec{M C} = \vec{0}$ .若 $M$ 为 $△ A B C$ 的垂心， $3 \vec{M A} + 4 \vec{M B} + 5 \vec{M C} = \vec{0}$ ，则 $cos ∠ A M B =$ （）

A、 $- \frac{\sqrt{6}}{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{6}}{6}$ C、 $\frac{\sqrt{6}}{6}$ D、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$

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15、已知某组数据为x，y，8，10，11．它的平均数为8，方差为6，则 $x^{2} + y^{2}$ 的值为．

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16、已知函数 $y = f (x)$ 是定义在区间 $[a, b]$ 上的连续函数，若 $\exists k \in (0, + \infty)$ ，使得 $\forall x_{1}$ ， $x_{2} \in [a, b]$ ，都有 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| \leq k |x_{1} - x_{2}|$ ，则称函数 $y = f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的 “ $k$ 类函数”．下列说法正确的有（）

A、函数 $f (x) = x^{2} - x$ 是区间 $[- 1, 2]$ 上的 “ 3 类函数” B、函数 $f (x) = sin x - x cos x$ 是区间 $[1, \frac{π}{2}]$ 上的 “ 2 类函数” C、若函数 $y = f (x)$ 是区间 $[a, b]$ 上的 “ $k$ 类函数”，则方程 $f (x) = (k + 1) x$ 在区间 $[a, b]$ 上至多只有一个解 D、若函数 $f (x)$ 是区间 $[0, 1]$ 上的 “ 2 类函数”，且 $f (0) = f (1)$ ，则存在满足条件的函数 $f (x) ， \exists x_{1} ， x_{2} \in [0, 1]$ ，使得 $|f (x_{1}) - f (x_{2})| = 2$

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17、已知向量 $|\vec{a}| = 2 \sqrt{2}, \vec{b} = (1, - 1), |\vec{a} + \vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ，则向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- \frac{1}{2}, \frac{1}{2})$ B、 $(- 2, 2)$ C、 $(2, - 2)$ D、 $(\frac{1}{2}, - \frac{1}{2})$

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18、已知 $a$ 是第二象限角， $\sin a = \frac{5}{13}, 则 cos a =$

A、 $- \frac{12}{13}$ B、 $- \frac{5}{13}$ C、 $\frac{5}{13}$ D、 $\frac{12}{13}$

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19、已知奇函数 $f (x) = \frac{x^{2} + 1}{b x + a} + x$ 经过 $(- 1, - 3)$ 点.

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、判断函数 $f (x)$ 在 $(- \infty, - 1)$ 上的单调性并用定义进行证明；

(3)、若存在 $x_{1}, x_{2} \in [1, 3]$ ，使得不等式 $f (x_{1}) \leq x_{2}^{2} - 2 m x_{2} + m^{2} - 6$ 成立，求实数m的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} - x^{2} - 2 a x - a, x < 0 \\ 2^{x} - x + a, x \geq 0 \end{array}$ ， $a \in R$ .

(1)、若 $f (x)$ 过点 $P (1, 4)$ ，求 $f (- 1)$ ；

(2)、若 $g (x) = f (x) + x$ ，当 $x \in R$ 时，函数 $g (x)$ 单调递增，求a的取值范围；

(3)、当 $x \in [- 2, 2]$ 时，若函数 $f (x)$ 图象上除原点外至少存在一对点关于原点对称，求a的范围.

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