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相关试卷

1、（1）已知 $f (x)$ 是一次函数，且满足 $2 f (x + 2) - f (x) = x + 7$ ，求 $f (x)$ ；
（2）已知 $f (x) + 2 f (- x) = x^{2} + 3 x + 1$ ，求 $f (4)$ ；
（3）已知函数 $f (x) = \{\begin{matrix} x^{2}, x \leq 1 \\ 2 x - 1, x > 1 \end{matrix}, g (x) = \{\begin{matrix} \sqrt{x}, x \geq 0 \\ \frac{1}{x}, x < 0 \end{matrix}$ ，求 $f (g (x))$ ；

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2、已知集合 $U = [0, + \infty), A = \{x |- 2 < x < 3\}, B = \{x |a - 1 < x < 2 a\}$ .

(1)、若 $a = 3$ ，求 $A \cup B$ ， $∁_{U} B$ ；

(2)、若 $B \subseteq A$ ，求 $a$ 的取值范围.

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3、数学学习过程中，要时刻记得这些注意点：遇到集合注意空集，遇到函数注意定义域，遇到含参方程要找定点，遇到向量要注意零向量，函数 $f (x) = a^{x - 2023} + 1$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）的图象必过定点.

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4、2024年10月21日，第52个梅森素数 $M_{52} = 2^{136279841} - 1$ 被发现，这也是迄今为止发现的最大素数.集合 $A$ 以这52个梅森素数为元素，其非空真子集有个.

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5、已知函数 $f (x) = \frac{x + 1}{x + 2} + \frac{x + 3}{x + 4} + \frac{x + 5}{x + 6} + \frac{x + 7}{x + 8}$ ， $f (- 5 + \sqrt{2024}) + f (- 5 - \sqrt{2024}) > m^{2} - 7 m$ 恒成立，则 $m$ 的取值可以为（）

A、 $- 1$ B、2 C、5 D、8

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6、已知函数 $f (x) = x^{a}$ 图象经过点 $(9, 3)$ ，则下列命题正确的有（）

A、函数为增函数 B、函数为偶函数 C、若 $x > 1$ ，则 $f (x) > 1$ D、若 $0 < x_{1} < x_{2}$ ，则 $\frac{f (x_{1}) + f (x_{2})}{2} < f (\frac{x_{1} + x_{2}}{2})$

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7、已知实数a，b，c满足 $a < b < c$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $\frac{1}{c - a} < \frac{1}{b - a}$ B、 $\frac{b}{a} > \frac{b + c}{a + c}$ C、 $\frac{1}{a (b - a)} > \frac{1}{b (c - a)}$ D、 $a b + c^{2} > a c + b c$

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8、已知定义在 $R$ 上函数 $f (x)$ 的图象是连续不断的，且满足以下条件：① $\forall x \in R, f (- x) = f (x)$ ；② $\forall x_{1}, x_{2} \in (- \infty, 0)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时，都有 $\frac{f (x_{2}) - f (x_{1})}{x_{2} - x_{1}} < 0$ ；③ $f (2) = 0$ .则下列选项不成立的是（）

A、 $f (1) < f (- 2)$ B、若 $f (m^{2} - 3) < f (1)$ ，则 $m \in (- 2, - \sqrt{2}) \cup (\sqrt{2}, 2)$ C、若 $\frac{f (x - 1)}{x} > 0$ ，则 $x \in (3, + \infty)$ D、 $\forall x \in R, \exists M \in R$ ，使得 $f (x) \geq M$

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9、某食品的保鲜时间 $y$ （单位：小时）与储藏温度 $x$ （单位：℃）满足函数关系 $y = e^{k x + b}$ （ $e = 2.718$ …为自然对数的底数， $k$ ， $b$ 为常数）.若该食品在30℃的保鲜时间是18小时，在20℃的保鲜时间是36小时，则该食品在0℃的保鲜时间是（）

A、54小时 B、72小时 C、108小时 D、144小时

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10、已知函数 $f (x) = x^{2} - \frac{a}{2} x + 1, x \in [- 1, a]$ ，且 $f (x)$ 的最大值为 $f (a)$ ，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[1, + \infty)$ B、 $[2, + \infty)$ C、 $[3, + \infty)$ D、 $(- \infty, - 1] \cup [2, + \infty)$

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11、函数 $f (x) = \frac{4 x}{1 + x^{4}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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12、下列函数中，在 $R$ 上是增函数的是（）

A、 $f (x) = x^{\frac{2}{3}}$ B、 $f (x) = 2^{x} - \frac{1}{2^{x}}$ C、 $f (x) = - x^{\frac{1}{2}}$ D、 $f (x) = x - \frac{1}{x}$

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13、已知函数 $g (x) = \sqrt{1 - x^{2}}$ ，则 $y = g (1 - 2 x)$ 的定义域是（）

A、 $[- 3, 1]$ B、 $[- 1, 1]$ C、 $[- 1, 0]$ D、 $[0, 1]$

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14、命题“ $\exists x \in [0, + \infty), x^{2} + x \leq 0$ ”的否定是（）

A、 $\forall x \in (- \infty, 0), x^{2} + x \leq 0$ B、 $\forall x \in (- \infty, 0), x^{2} + x > 0$ C、 $\forall x \in [0, + \infty), x^{2} + x > 0$ D、 $\forall x \in [0, + \infty), x^{2} + x \geq 0$

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15、已知集合 $A = \{x \in Z | - 6 < x^{3} < 6\}, B = [- 3, 3]$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $[- 1, 1]$ D、 $[0, 1]$

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16、在复数范围内方程 $x^{2} - 4 x + 5 = 0$ 的一个根为 $x_{0}$ ，则 $|x_{0}| =$ .

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17、已知一组数据6，13，14，15，18，13，则特征量为13的是（）

A、极差 B、众数 C、中位数 D、第40百分位数

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18、设 $F_{1}, F_{2}$ 为椭圆 $Γ_{1} : \frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1 (a_{1} > b_{1} > 0)$ 的左，右焦点，已知点 $M (0, 2)$ 在椭圆 $Γ_{1}$ 上，点 $N$ 为椭圆 $Γ_{1}$ 上的动点，且 $△ N F_{1} F_{2}$ 面积的最大值为2.

(1)、求椭圆 $Γ_{1}$ 的方程；

(2)、过 $F_{2}$ 作斜率为1的直线与椭圆 $Γ_{1}$ 交于 $P, Q$ 两点，求 $△ M P Q$ 的面积.

(3)、黄金分割的比例 $\frac{\sqrt{5} - 1}{2}$ 被认为是最能引起美感的比例，在艺术和设计中广泛应用.若椭圆上一动点到其焦点距离的最小值与最大值之比为黄金分割比的平方，即 ${(\frac{\sqrt{5} - 1}{2})}^{2}$ ，则称此椭圆为“完美椭圆”.现有一簇椭圆 $Γ_{n} : \frac{x^{2}}{a_{n}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{n}^{2}} = 1 (a_{n} > b_{n} > 0)$ 均是“完美椭圆”，其中 $\frac{x^{2}}{a_{1}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{1}^{2}} = 1$ 便是（1）中的椭圆.另一方面，若在椭圆 $Γ_{k} : \frac{x^{2}}{a_{k}^{2}} + \frac{y^{2}}{b_{k}^{2}} = 1$ 上任取一点 $A_{k}$ ，以 $A_{k}$ 为切点作椭圆 $Γ_{k}$ 的切线与直线 $l_{k} : x = \frac{a_{k}^{2}}{c_{k}} (a_{k}^{2} = b_{k}^{2} + c_{k}^{2}$ 且 $a_{k + 1} < a_{k})$ 交于点 $B_{k}$ ，以 $A_{k} B_{k}$ 为直径作圆，设此圆恒过椭圆 $Γ_{k + 1}$ 的右顶点 $(a_{k + 1}, 0)$ ，求证： $c_{1} + c_{2} + \dots \dots + c_{n} < \frac{5 + \sqrt{5}}{4}$ .

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19、已知双曲线 $C$ 的中心为坐标原点，右焦点为 $(\sqrt{7}, 0)$ ，且过点 $(- 4, 3)$ ．

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、已知点 $A (4, 1)$ ，过点 $(1, 0)$ 的直线与双曲线 $C$ 的左、右两支分别交于点 $M, N$ ，直线 $A N$ 与双曲线 $C$ 交于另一点 $P$ ，设直线 $A M, A N$ 的斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ．
（i）求证： $k_{1} + k_{2}$ 为定值；
（ii）求证：直线 $M P$ 过定点，并求出该定点的坐标．

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20、如图，在四棱锥 $S - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 满足 $A B ⊥ A D, A B ⊥ B C$ ， $S A ⊥$ 底面 $A B C D$ ，且 $S A = A B = B C = 1, A D = \frac{1}{2}$ .

(1)、求证： $B C ⊥$ 平面 $S A B$ ；

(2)、求平面 $S C D$ 与平面 $S A B$ 的夹角的余弦值.

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