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相关试卷

1、随机将1，2，…， $2 n$ （ $n \in N^{*}$ ， $n \geq 2$ ）这2n个连续正整数分成A，B两组，每组n个数，A组最大数为a，B组最大数为b，记 $ξ = |a - b|$ .当 $n = 3$ 时， $ξ$ 的数学期望 $E (ξ) =$ ；若对任意 $n \geq 2$ ， $E (ξ) < c$ 恒成立，则c的最小值为.

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2、已知正项等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 3$ ， $S_{3} = 39$ ，则 $a_{n} =$ .

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3、设直线 $y = t$ 与函数 $f (x) = x {(x - 3)}^{2}$ 图象的三个交点分别为 $A (a, t)$ ， $B (b, t)$ ， $C (c, t)$ ，且 $a < b < c$ ，则（）

A、 $f (x)$ 图象的对称中心为 $(2, 2)$ B、abc的取值范围为 $(0, 12)$ C、ac的取值范围为 $(0, 4)$ D、 $c - a$ 的取值范围为 $(3, 2 \sqrt{3}]$

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4、已知抛物线C： $y^{2} = 4 x$ 的准线 $l$ 与圆 $M$ ： $x^{2} + {(y - 4)}^{2} = r^{2} (r > 0)$ 相切， $P$ 为 $C$ 上的动点， $N$ 为圆 $M$ 上的动点，过 $P$ 作 $l$ 的垂线，垂足为 $Q$ ， $C$ 的焦点为 $F$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $r = 1$ B、当 $△ P F Q$ 为正三角形时，直线 $P Q$ 与圆 $M$ 相离 C、 $|P N| + |P Q|$ 的最小值为 $\sqrt{17} - 1$ D、有且仅有一个点 $P$ ，使得 $|P M| = |P Q|$

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5、一组数据有 $x_{1}$ ， $x_{2}$ ， …， $x_{10}$ 是公差为d（ $d \neq 0$ ）的等差数列，去掉首末两项后得到一组新数据，则（）

A、两组数据的极差相同 B、两组数据的中位数相同 C、两组数据的平均数相同 D、两组数据的上四分位数相同

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6、已知函数 $f (x)$ 的定义域为R ，且 $f (x + y) + f (x - y) = \frac{1}{2} f (x) f (y)$ ， $f (1) = - 2$ ，则 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) =$ （）

A、 $- 4$ B、4 C、0 D、 $- 2$

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7、已知三棱锥P-ABC中， $△ P A B$ 是边长为2的等边三角形， $P C = 2$ ， $A C = \sqrt{6}$ ， $B C = \sqrt{2}$ ，则三棱锥P-ABC的外接球表面积为（）

A、 $6 π$ B、 $10 π$ C、 $\frac{32}{5} π$ D、 $\frac{28}{5} π$

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8、已知点 $A (\frac{π}{24}, 0)$ 在函数 $f (x) = \cos (ω x + φ) (ω > 0, - π < φ < 0)$ 的图像上，若 $f (x) \leq f (\frac{π}{6})$ 恒成立，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 上单调，则 $\frac{φ}{ω} =$ （）

A、 $- \frac{π}{3}$ B、 $- \frac{π}{6}$ C、 $- \frac{π}{2}$ D、 $- \frac{2 π}{3}$

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9、已知盒子中有6个大小相同的球，分别标有数字1，2，3，4，5，6，从中有放回地随机取球两次，每次取一球，记第一次取出的球的数字是 $x$ ，第二次取出的球的数字是 $y$ .若事件 $A =$ “ $x + y$ 为偶数”，事件 $B =$ “ $x$ ， $y$ 中有偶数且 $x \neq y$ ”，则 $P (A |B) =$ （）

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{1}{2}$ C、 $\frac{1}{4}$ D、 $\frac{2}{3}$

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10、已知 $\sin (α + β) = 3 m$ ， $\tan β = 2 \tan α$ ，则 $\sin (α - β) =$ （）

A、 $- m$ B、m C、0 D、2m

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11、已知向量 $\vec{a} = (0, 5)$ ， $\vec{b} = (2, - 4)$ ，则向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{b}$ 上的投影向量的坐标为（）

A、 $(- 2, 4)$ B、 $(4, - 8)$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $(2, - 4)$

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12、已知集合 $A = \{x |\frac{x + 3}{x - 1} \geq 0\}$ ， $B = \{x |x^{2} \leq 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $[- 2, 1]$ B、 $[- 2, 1)$ C、 $[1, 2]$ D、 $(1, 2]$

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13、已知 $z = \frac{5}{2 - i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、3 C、 $\sqrt{5}$ D、5

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14、已知函数 $f (x) = e^{a x} + \frac{1}{2} a x^{2}, a \in R$ .

(1)、求 $a = 1$ 时，函数 $f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线方程；

(2)、若函数 $f (x)$ 有三个零点，求实数 $a$ 的取值范围.

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15、已知函数 $f (x) = \frac{e^{x + 1}}{a} - \ln x - \ln a$ .

(1)、当 $a = \frac{1}{e}$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x) + 1 \geq 0$ ，求实数a的取值范围.

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16、高性能计算芯片是一切人工智能的基础．国内某企业已快速启动AI芯片试生产，试产期需进行产品检测，检测包括智能检测和人工检测．智能检测在生产线上自动完成，包括安全检测、蓄能检测、性能检测等三项指标，且智能检测三项指标达标的概率分别为 $\frac{49}{50}$ ， $\frac{48}{49}$ ， $\frac{47}{48}$ ，人工检测仅对智能检测达标（即三项指标均达标）的产品进行抽样检测，且仅设置一个综合指标．人工检测综合指标不达标的概率为 $p (0 < p < 1)$ ．

(1)、求每个AI芯片智能检测不达标的概率；

(2)、人工检测抽检50个AI芯片，记恰有1个不达标的概率为 $f (p)$ ，当 $p = p_{0}$ 时， $f (p)$ 取得最大值，求 $p_{0}$ ；

(3)、若AI芯片的合格率不超过93%，则需对生产工序进行改良．以（2）中确定的 $p_{0}$ 作为p的值，试判断该企业是否需对生产工序进行改良．

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17、海水养殖场进行某水产品的新旧网箱养殖方法的产量对比，收获时各随机抽取了100个网箱测量各箱水产品的产量（单位： $kg$ ），其频率分布直方图如图所示：

(1)、根据频率分布直方图，填写下列列联表.
养殖法
箱产量
合计
箱产量<50kg
箱产量 $\geq 50 kg$
旧养殖法

新养殖法

合计

(2)、根据小概率 $α = 0.01$ 的独立性检验，分析箱产量与养殖方法是否有关.
参考公式： $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}, n = a + b + c + d$ .
$P (χ^{2} \geq x_{α})$
0.10
0.05
0.025
0.010
0.005
0.001
$x_{α}$
2.706
3.481
5.024
6.635
7.879
10.828

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18、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $a_{1} = 1$ ， $S_{n + 1}^{2} - S_{n}^{2} = 8 n$ ．

(1)、求 $S_{n}$ ；

(2)、在数列 $\{a_{n}\}$ 的每相邻两项 $a_{k}$ 、 $a_{k + 1}$ 之间依次插入 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $\dots$ 、 $a_{k}$ ，得到数列 $\{b_{n}\} : a_{1}$ 、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{1}$ 、 $a_{2}$ 、 $a_{3}$ 、 $a_{4}$ 、 $\dots$ ，求 $\{b_{n}\}$ 的前 $20$ 项和 $T_{20}$ ．

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19、某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费，需了解年宣传费对年销售量（单位： $t$ ）的影响.该公司对近5年的年宣传费和年销售量数据进行了研究，发现年宣传费 $x$ （万元）和年销售量 $y$ （单位： $t$ ）具有线性相关关系，并对数据作了初步处理，得到下面的一些统计量的值.
$x$ （万元）
2
4
5
3
6
$y$ （单位： $t$ ）
2.5
4
4.5
3
6
（1）根据表中数据建立年销售量 $y$ 关于年宣传费 $x$ 的回归方程；
（2）已知这种产品的年利润 $z$ 与 $x$ ， $y$ 的关系为 $z = y - 0.05 x^{2} - 1.85$ ，根据（1）中的结果回答下列问题：
①当年宣传费为10万元时，年销售量及年利润的预报值是多少？
②估算该公司应该投入多少宣传费，才能使得年利润与年宣传费的比值最大.
附：问归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{1} y_{1} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{1}^{2} - n {\bar{x}}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{1} - \bar{x}) (y_{1} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{1} - \bar{x})}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .
参考数据： $\sum_{i = 1}^{S} x_{1} y_{1} = 88.5$ ， $\sum_{i = 1}^{S} x_{1}^{2} = 90$ .

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20、杜牧《羊栏浦夜陪安会》的诗句中“球来香袖依稀暖，酒凸觥心泛艳光”描述的是唐代酒宴上的助兴游戏“击鼓传花”，也称传彩球.游戏规则为：鼓响时，众人开始依次传花，至鼓停为止，此时花在谁手中，谁就上台表演节目.甲､乙､丙三人玩击鼓传花，鼓响时，第1次由甲将花传出，每次传花时，传花者都等可能地将花传给另外两人中的任何一人，经过11次传递后，花又在甲手中的概率为.

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养殖法	箱产量		合计
养殖法	箱产量<50kg	箱产量 $\geq 50 kg$	合计
旧养殖法
新养殖法
合计

$P (χ^{2} \geq x_{α})$	0.10	0.05	0.025	0.010	0.005	0.001
$x_{α}$	2.706	3.481	5.024	6.635	7.879	10.828

$x$ （万元）	2	4	5	3	6
$y$ （单位： $t$ ）	2.5	4	4.5	3	6