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相关试卷

1、（1）设 $α$ ， $β$ 为锐角，且 $\sin α = \frac{\sqrt{5}}{5}$ ， $\cos β = \frac{3 \sqrt{10}}{10}$ ，求 $α + β$ 的值；
（2）化简求值： $\sin 50 ° (1 + \sqrt{3} \tan 10 °)$ ．

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2、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) + B$ $(A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，则下列四个结论：
① $f (x)$ 关于点 $(\frac{π}{6}, 3)$ 对称；
② $f (x)$ 关于直线 $x = \frac{π}{3}$ 对称；
③ $f (x)$ 在区间 $[\frac{π}{2}, \frac{5 π}{6}]$ 上单调递减；
④ $f (x)$ 在区间 $(- \frac{5 π}{12}, \frac{π}{12})$ 上的值域为 $(1, 3)$ .
正确结论的序号为.

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3、若函数 $f (x) = sin x - x + 1$ ，则不等式 $f (x + 1) + f (2 - 2 x) > 2$ 的解集为．

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4、化简： $\frac{\sin (180 ° - α) \cos (180 ° - α) \tan (90 ° - α)}{\sin (270 ° + α)} =$ .

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5、设函数 $f (x)$ 的定义域为 $R, f (x + π)$ 为奇函数， $f (x + 2 π)$ 为偶函数.当 $x \in [0, π]$ 时， $f (x) = sin x$ ，则下列结论正确的有（）

A、 $f (\frac{5 π}{2}) = - 1$ B、 $f (x)$ 在 $(3 π, \frac{7 π}{2})$ 上单调递减 C、点 $(8 π, 0)$ 是函数 $f (x)$ 的一个对称中心 D、方程 $f (x) + lg x = 0$ 有5个实数解

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6、设 $f (x) = \ln (\frac{2}{1 - x} + a)$ 是奇函数，则使 $f (x) < 0$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- 1, 0)$ B、 $(0, 1)$ C、 $(- \infty, 0)$ D、 $(- \infty, 0) \cup (1, + \infty)$

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7、“ $- 2 < a < 2$ ”是“函数 $f (x) = lg (x^{2} - a x + 1)$ 的值域为 $R$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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8、已知函数 $g (x) = \frac{x^{2} + 7 x + a}{x}$ 在 $[3, + \infty)$ 上单调递增，求 $a$ 的取值范围（）

A、 $(- \infty, - 3]$ B、 $(- \infty, 9]$ C、 $[0, 3]$ D、 $[0, 9]$

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9、下列函数中在 $(\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上单调递增，周期为 $π$ 且为奇函数的是（）

A、 $y = cos (2 x + \frac{π}{2})$ B、 $y = sin 2 x$ C、 $y = tan x$ D、 $y = sin (2 x + \frac{π}{2})$

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10、已知 $α$ 是第二象限的角， $P (x, 8)$ 为其终边上的一点，且 $\sin α = \frac{4}{5}$ ，则 $x =$ （）

A、 $- 6$ B、 $\pm 6$ C、 $\pm \frac{32}{3}$ D、 $- \frac{32}{3}$

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11、已知集合 $A = \{- 2, 0, 1, sin 1, 3\}, B = {x | - 2 < x < 2}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 2, 0, 1\}$ B、 $\{0, 1\}$ C、 $\{0, 1, sin 1\}$ D、 $\{- 2, 0, 1, sin 1\}$

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12、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，若 $T_{4} = T_{7}$ ，则 $a_{6} =$ ．

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13、铜钱，古代铜质辅币，指秦汉以后的各类方孔圆钱，其形状如图所示．若图中正方形 $A B C D$ 的边长为2，圆 $O$ 的半径为3，正方形 $A B C D$ 的中心与圆 $O$ 的圆心重合，动点 $P$ 在圆 $O$ 上，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P B}$ 的最小值为（）

A、1 B、3 C、2 D、4

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14、如图，曲线 $y = \sqrt{x}$ 下有一系列正三角形，设第n个正三角形 $△ Q_{n - 1} P_{n} Q_{n}$ （ $Q_{0}$ 为坐标原点）的边长为 $a_{n}$ ．

(1)、求 $a_{1}, a_{2}$ 的值；

(2)、求出 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(3)、设曲线在点 $P_{n}$ 处的切线斜率为 $k_{n}$ ，求证： $k_{1} k_{2} + k_{2} k_{3} + k_{3} k_{4} + \dots + k_{n - 1} k_{n} < \frac{3}{4} (n \geq 2, n \in N^{*})$ ．

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15、已知函数 $f (x) = e^{x} - a ln (x + 1), g (x) = sin x - x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、证明：当 $x \in [0, + \infty)$ 时， $g (x) \leq 0$ ；

(2)、若 $x > 0$ 时， $f (x)$ 有极小值，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、对任意的 $x \in [0, π], 2 f (x) \geq g^{'} (x) + 2$ 恒成立，求实数 $a$ 的取值范围.

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16、在正整数1，2，…， $n (n \geq 2)$ 的任意一个排列A： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 中，对于任意i， $j \in N^{*}$ ， $i < j$ ，若 $a_{i} < a_{j}$ ，则称 $(a_{i}, a_{j})$ 为一个顺序对，若 $a_{i} > a_{j}$ ，则称 $(a_{i}, a_{j})$ 为一个逆序对.记排列A中顺序对的个数为 $S (A)$ ，逆序对的个数为 $N (A)$ .例如对于排列A：2，1，3， $S (A) = 2$ ， $N (A) = 1$ .

(1)、设排列B：2，4，1，3和C：5，3，1，4，2，试写出 $S (B)$ ， $N (B)$ ， $S (C)$ ， $N (C)$ 的值；

(2)、对于正整数1，2，…， $n (n \geq 2)$ 的所有排列A，求满足 $S (A) = 2$ 的排列个数；

(3)、如果把排列A： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， …， $a_{n}$ 中两项 $a_{i}$ ， $a_{j} (i < j)$ 交换位置，而其余项的位置保持不变，那么就得到了一个新的排列 $A^{'}$ .求证： $[S (A) - S (A^{'})] \cdot [N (A) - N (A^{'})]$ 为奇数.

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17、已知函数 $f (x) = e^{x} - (a + 1) x - b - 1 (a > - 1)$ .

(1)、若直线 $y = - a x + b + 1$ 为曲线 $y = f (x)$ 的一条切线，求实数b的值；

(2)、若对任意的 $x \in R$ ，函数 $f (x) \geq 0$ 恒成立，且 $f (- 1) \leq e^{- 1} + a$ ，求实数a的值；

(3)、证明：当 $n \in N^{*}$ 且 $n \geq 2$ 时， $\frac{n^{n - 1}}{(n - 1)!} > e^{\frac{n - 1}{2}}$ .

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18、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ ，长轴长与短轴长之和为6.

(1)、求椭圆C的方程；

(2)、已知 $M (- 1, 0)$ ， $N (1, 0)$ ，点P为椭圆C上一点，设直线PM与椭圆C的另一个交点为点B，直线PN与椭圆C的另一个交点为点D.设 $\vec{P M} = λ_{1} \vec{M B}$ ， $\vec{P N} = λ_{2} \bar{N D}$ .求证：当点P在椭圆C上运动时， $λ_{1} + λ_{2}$ 为定值.

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19、如图1，在棱长为2的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $Q_{1}$ ， $Q_{2}$ 分别为正方形 $A B C D$ ， $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，现保持平面ABCD不动，在上底面 $A_{1} C_{1}$ 内将正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 绕点 $Q_{2}$ 逆时针方向旋转45°，得到如图2所示的一个十面体 $A B C D - E F G H$ .

(1)、证明： $E F //$ 平面 $A B C D$ ；

(2)、设 $Q_{1} Q_{2}$ 的中点为O，求点O到平面 $D B E$ 的距离；

(3)、求平面 $D B E$ 与平面 $D B G$ 所成角的余弦值.

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20、 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sin (C + \frac{π}{6}) = \frac{b + c}{2 a}$ .

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为 $2 \sqrt{3}$ ，且 $\sin B = 2 \sin C$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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