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相关试卷

1、如图（1），在直角梯形 $A B C P$ 中， $A P // B C$ ， $A P ⊥ A B$ ， $A B = B C = \frac{1}{2} A P$ ， $D$ 是 $A P$ 的中点， $E$ ， $F$ 分别为 $P C$ ， $P D$ 的中点，将 $△ P C D$ 沿 $C D$ 折起得到四棱锥 $P - A B C D$ ，如图（2）．

(1)、在图（2）中，求证： $E F ⊥ P A$ ；

(2)、在图（2）中， $G$ 为线段 $B C$ 上任意一点，若 $A P //$ 平面 $E F G$ ，请确定点 $G$ 的位置．

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2、《九章算术》里说：“斜解立方，得两堑堵，斜解堑堵，其一为阳马，一为鳖臑”.如图，底面是直角三角形的直三棱柱称为“堑堵”，沿截面 $P A C$ 将一个“堑堵”截成两部分，其三棱锥称为“鳖臑”.在鳖臑 $P - A B C$ 中， $P A ⊥ A B, A B = \sqrt{2}$ ，其外接球的表面积为 $16 π$ ，当此鳖臑的体积 $V$ 最大时，下列结论正确的是（）

A、 $P A = B C = 2 \sqrt{2}$ B、此鳖臑的体积 $V$ 的最大值为 $\frac{7 \sqrt{2}}{6}$ C、直线 $P C$ 与平面 $P A B$ 所成角的余弦值为 $\frac{3}{4}$ D、三棱锥 $P - A B C$ 的内切球的半径为 $\frac{\sqrt{14} - \sqrt{7}}{2}$

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3、已知 $△ A B C$ 是边长为4的等边三角形，AB为圆M的直径，若点P为圆M上一动点，则 $\vec{P A} \cdot \vec{P C} + 1$ 的取值范围为（）

A、 $[0, 16]$ B、 $[- 4, 8]$ C、 $[- 2, 16]$ D、 $[- 3, 13]$

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4、如图，在 $△ A B C$ 中，点Р在 $△ A B C$ 所在平面外，点O是P在平面ABC上的射影，且点O在 $△ A B C$ 的内部．若PA，PB，PC两两垂直，那么点О是 $△ A B C$ 的（）

A、外心 B、内心 C、垂心 D、重心

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5、若圆台的高是 $2 \sqrt{3}$ ，一个底面半径是另一个底面半径的2倍，母线与下底面所成角的大小为 $60^{\circ}$ ，则这个圆台的侧面积是（）

A、 $24 π$ B、 $8 \sqrt{3} π$ C、 $9 \sqrt{3} π$ D、 $27 π$

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6、如图，有一古塔，在 $A$ 点测得塔底位于北偏东 $30 °$ 方向上的点 $D$ 处，在 $A$ 点测得塔顶 $C$ 的仰角为 $30 °$ ，在 $A$ 的正东方向且距 $D$ 点 $75 m$ 的 $B$ 点测得塔底位于西偏北 $45 °$ 方向上（ $A$ ， $B$ ， $D$ 在同一水平面），则塔的高度 $C D$ 约为（） $(\sqrt{2} \approx 1.414$ ）

A、 $34.20 m$ B、 $35.35 m$ C、 $35.75 m$ D、 $36.20 m$

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7、已知水平放置的 $△ A B C$ 的直观图如图所示， $A^{'} C^{'} = 6$ ， $B^{'} C^{'} = 4$ ，则边AB上的中线的实际长度为（）

A、4 B、 $\sqrt{19}$ C、 $2 \sqrt{6}$ D、5

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8、如果 $\{\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}\}$ 表示平面内所有向量的一个基底，那么下列四组向量，不能作为一个基底的是（）

A、 $\vec{e_{2}}, \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ B、 $\vec{e_{1}} + 2 \vec{e_{2}}, \vec{e_{2}} + 2 \vec{e_{1}}$ C、 $\vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}, 6 \vec{e_{2}} - 2 \vec{e_{1}}$ D、 $\vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}, \vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$

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9、已知倾斜角为 $\frac{π}{4}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 交于 $A, B$ 两点， $P$ 为 $A B$ 中点， $O$ 为坐标原点，则直线 $O P$ 的斜率为（）

A、 $- 1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- \frac{1}{3}$ D、 $- \frac{1}{4}$

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10、已知集合 $M = \{θ_{1}, θ_{2}, \cdot \cdot \cdot, θ_{n}\}$ ， $n \in N^{*}$ ，设函数 $f_{n} (x) = \sin^{2} (x - θ_{1}) + \sin^{2} (x - θ_{2}) + \cdot \cdot \cdot +$ $\sin^{2} (x - θ_{n})$ .

(1)、当 $M = \{0, \frac{π}{2}\}$ 和 $\{\frac{π}{4}, \frac{π}{2}\}$ 时，分别判断函数 $f_{2} (x)$ 是否是常数函数？说明理由；

(2)、已知 $M \subseteq \{θ | θ = \frac{kπ}{12} ， k \in N ， k \leq 12\}$ ，求函数 $f_{3} (x)$ 是常数函数的概率；

(3)、写出函数 $f_{n} (x) (n \geq 2)$ 是常数函数的一个充分条件，并说明理由.

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11、已知函数 $f (x) = a x - \ln x - \frac{1}{a}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求曲线 $y = f (x)$ 在 $(1, f (1))$ 处的切线方程；

(2)、若 $f (x)$ 有极小值，且极小值小于0，求 $a$ 的取值范围．

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12、“ $x > 2$ ”是“ $x^{2} > 2 x$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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13、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 过点 $H (3, 1)$ ，离心率为 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ ，斜率为 $- \frac{1}{3}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于异于点 $H$ 的 $M$ ， $N$ 两点，且 $H M$ ， $H N$ 均不与 $x$ 轴垂直．

(1)、求椭圆 $C$ 的方程；

(2)、若 $|M N| = \sqrt{10}$ ， $P$ 为椭圆的上顶点，求 $△ P M N$ 的面积；

(3)、记直线 $H M$ ， $H N$ 的斜率分别为 $k_{1}$ ， $k_{2}$ ，证明： $k_{1} k_{2}$ 为定值．

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14、若直线 $l_{1} : \sqrt{3} x - y - 3 = 0$ 与直线 $l_{2} : x + m y + 2 \sqrt{3} = 0$ 平行，则 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离为.

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15、在空间直角坐标系中，点 $(4, - 1, 2)$ 关于 $x$ 轴对称的点的坐标是（）

A、 $(- 4, - 1, 2)$ B、 $(- 4, 1, - 2)$ C、 $(4, 1, - 2)$ D、 $(4, - 1, - 2)$

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16、已知函数 $F (x) = x^{2} f (x)$ ，且 $x = 0$ 是 $F (x)$ 的极小值点，则 $f (x)$ 可以是（）

A、 $sin x$ B、 $ln (x + 1)$ C、 $e^{x}$ D、 $x - 1$

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17、已知实数 $x > 0, y > 0, \frac{1}{x + 1} + \frac{1}{y + 1} = 1$ ，则 $x + 2 y$ 的最小值是.

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18、坐标平面内点 $P$ 的坐标为 $(sin 5, cos 5)$ ，则点 $P$ 位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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19、泰勒公式是一个非常重要的数学定理，它可以将一个函数在某一点处展开成无限项的多项式．当 $f (x)$ 在 $x = 0$ 处的 $n (n \in N^{*})$ 阶导数都存在时，它的公式表达式如下： $f (x) = f (0) + f^{'} (0) x + \frac{f^{″} (0)}{2!} x^{2} + \frac{f^{'''} (0)}{3!} x^{3} + \dots + \frac{f^{n} (0)}{n!} x^{n} + \dots$ ．注： $f^{'} (0)$ 表示函数 $f (x)$ 在原点处的一阶导数， $f^{″} (0)$ 表示在原点处的二阶导数，以此类推，和 $f^{n} (0) (n \geq 3)$ 表示在原点处的 $n$ 阶导数．

(1)、求 $f (x) = ln (1 + x)$ 的泰勒公式（写到含 $x^{3}$ 的项为止即可），并估算 $ln 1.1$ 的值（精确到小数点后三位）；

(2)、当 $x > 0$ 时，比较 $ln (1 + x)$ 与 $x - \frac{x^{2}}{2}$ 的大小，并证明；

(3)、设 $n \in N^{*}$ ，证明： $\sum_{k = 1}^{n} \frac{2 k - 1}{2 k^{2}} < \ln (1 + n) < \sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{k}$ ．

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20、已知函数 $f (x) = sin x cos x + {cos}^{2} x$ ， $x \in R$ ，

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期；

(2)、函数 $f (x)$ 最大值；

(3)、求 $f (x)$ 的单调增区间.

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