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1、已知定义在区间 $[1, + \infty)$ 上的函数 $f (x) = \{\begin{cases} 1, 1 \leq x < 2 \\ \frac{f (x - 1)}{1 + f (x - 1)}, x \geq 2 \end{cases}$ ，下列说法中正确的有（）

A、 $f (2025) = \frac{1}{2025}$ B、当 $x > 1$ 时， $\frac{1}{x} \leq f (x) < \frac{1}{x - 1}$ C、若 $f (x) \leq \frac{k}{x + 1}$ ，则 $k \geq 2$ D、若 $f (x) \geq a^{x} (a > 0, a \neq 1)$ ，则 $a \leq \frac{\sqrt[3]{9}}{3}$

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2、设随机事件A，B满足 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{4}$ ， $P (A \cup B) = \frac{1}{2}$ ，则（）

A、 $P (A B) = \frac{1}{12}$ B、 $A$ ， $B$ 相互独立 C、 $P (A| B) = \frac{1}{4}$ D、 $P (B | \bar{A}) = \frac{1}{4}$

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3、已知点 $O (0, 0)$ ， $A (0, 1)$ ， $B (1, 1)$ ， $C (1, 0)$ ，平面上仅在线段 $O A$ ， $A B$ ， $B C$ 所在位置分别放置一个双面镜．现有一道光束沿向量 $\vec{s} = (1, m) (m > 0)$ 的方向从线段 $O C$ 上某点（不含端点）射入，若光束恰好依次在 $B C$ ， $A B$ ， $O A$ 各反射一次后从线段 $O C$ 上某点射出，则 $m$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{1}{3}, 2)$ B、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$ C、 $(\frac{2}{3}, 2)$ D、 $(\frac{2}{3}, \frac{3}{2})$

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4、设 $A B$ 为圆锥 $S O$ 底面的一条直径， $P$ 为底面圆周上异于 $A$ ， $B$ 的一点， $Q$ 为 $S O$ 中点，且二面角 $S - P A - B$ 与二面角 $Q - P B - A$ 相等．若三棱锥 $S - A B P$ 的体积为 $V$ ，则圆锥的体积为（）

A、 $\frac{5 π}{3} V$ B、 $\frac{5 π}{4} V$ C、 $\frac{2 \sqrt{3} π}{3} V$ D、 $\frac{3 \sqrt{2} π}{4} V$

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5、已知x，y为实数，则“ $x y > 0$ ”是“ $| x + y | = | x | + | y |$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分又不必要条件

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6、已知 $\sin (α + \frac{π}{3}) \cos (β + \frac{π}{6}) = 1$ ，则 $\tan (α - β) =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、1 C、0 D、 $- \sqrt{3}$

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7、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 不平行， $(λ \vec{a} + \vec{b}) / / (\vec{a} - \vec{b})$ ，则 $λ =$ （）

A、 $- 2$ B、 $- 1$ C、1 D、2

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8、设集合 $S = {x | - 2 < x < 2}$ ， $A = {x ∣ x \in S}$ ， $B = \{x^{2} ∣ x \in S\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${0}$ B、 ${1}$ C、 ${0, 1}$ D、 ${x | 0 \leq x < 2}$

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9、若 $f (x) = {(x - 2)}^{2} + 2 a x$ 为偶函数，则 $a =$ （）

A、－4 B、－2 C、0 D、2

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10、已知 $z = 3 - 4 i$ ，则 $|\bar{z}| =$ （）

A、 $\sqrt{5}$ B、 $\sqrt{7}$ C、5 D、7

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11、已知椭圆 $C$ ： $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的两个焦点为 $F_{1}$ ， $F_{2}$ ，过 $F_{2}$ 的直线 $l$ 与椭圆 $C$ 相交于 $A$ ， $B$ 两点，若 $\vec{A B} = 4 \vec{F_{2} B}$ ， $|F_{1} A| = 2 |F_{2} B|$ ，则椭圆 $C$ 的离心率为（）

A、 $\frac{1}{5}$ B、 $\frac{\sqrt{5}}{5}$ C、 $\frac{\sqrt{10}}{5}$ D、 $\frac{\sqrt{15}}{5}$

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12、已知向量 $\vec{A B} = (2, 2)$ ，则与 $\vec{A B}$ 共线且反向的单位向量为（）

A、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(\frac{\sqrt{2}}{2}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ 或 $(- \frac{\sqrt{2}}{2}, - \frac{\sqrt{2}}{2})$ D、 $(2, 2)$

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13、直线l： $y = x + 1$ 与圆 $C : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 4$ 的位置关系是（）

A、相交 B、相切 C、相离 D、都有可能

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14、已知 $n$ 个不同的椭圆 $E_{i} : x^{2} + 3 y^{2} = a_{i}^{2} (a_{i} > 0, i = 1, 2, \dots, n)$ ，射线 $l_{1} : y = k_{1} x (x \geq 0)$ 与 $E_{1}, E_{2}$ ， $\dots, E_{n}$ 分别交于点 $A_{1}, A_{2}, \dots, A_{n}$ ，射线 $l_{2} : y = k_{2} x (x \geq 0)$ 与 $E_{1}, E_{2}, \dots, E_{n}$ 分别交于点 $B_{1}, B_{2}$ ， $\dots, B_{n}$ .

(1)、证明： $A_{1} B_{1}$ $∥$ $A_{2} B_{2}$ ；

(2)、作射线 $l : y = k x (x \geq 0)$ （异于 $l_{1}, l_{2})$ 与 $E_{1}, E_{2}, \dots, E_{n}$ 分别交于点 $P_{1}, P_{2}, \dots, P_{n}$ ，记 $△ A_{i} B_{i} P_{i}$ 的面积为 $S_{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ .
（i）求 $\frac{S_{2}}{S_{1}}$ 的值；
（ii）若 $k_{1} = 1, k_{2} = - 4$ ，且 $a_{i} = \frac{1}{i} (i = 1, 2, \dots, n)$ ，记 $S = \sum_{i = 1}^{n} S_{i}$ ，证明： $S < \frac{31}{42}$ .
（参考数据： $4.5 < \sqrt{21} < 4.6$ ）

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15、已知函数 $f (x) = λ ln x (λ > 0), g (x) = \frac{x - a}{x} (a > 0, x > 0)$ ，曲线 $y = f (x)$ 与 $y = g (x)$ 有公共点，且在该点处的切线相同.

(1)、用 $λ$ 表示 $a$ ，并求 $a$ 的最小值；

(2)、求证：当 $x > 0$ 时， $f (x) \geq g (x)$ ；

(3)、已知 $h (x) = x ln x$ ，若方程 $h (x) = m$ 有两个不等实根 $x_{1}, x_{2}$ ，证明： $|x_{2} - x_{1}| < m + 1$ .

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16、已知 $△ A B C$ 的三边 $a, b, c$ 所对的角分别为 $A, B, C, 3 sin (A + B) = 5 sin (A - B)$ .

(1)、若 $B \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ ，求 $tan C$ 的取值范围；

(2)、若 $c^{2} = a cos B + b cos A, b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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17、近年来，开盲盒深受年轻人的喜爱.甲商店推出一款售价为1元/个且外观相同的盲盒，每开一个盲盒，会等可能地开出3款玩偶（分别记为 $A$ 款､ $B$ 款､ $C$ 款）中的某一款.乙商店出售与甲商店款式相同的非盲盒玩偶且售价为3元/个.

(1)、若小明一次性购买了甲商店的3个盲盒，求他至少开出2个 $A$ 款玩偶的概率；

(2)、若小明只想要 $A$ 款玩偶，方案一：直接去乙商店购买；方案二：在甲商店以开盲盒的方式购买，并与老板协商一致，每次开一个盲盒，如果开出 $A$ 款玩偶则停止，否则再开一个盲盒，若连续四次均未开出 $A$ 款玩偶，老板就赠送一个 $A$ 款玩偶给他.为了得到 $A$ 款玩偶，你认为小明应该选择去哪家商店购买更划算，请说明理由.

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18、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是等腰梯形， $A D$ $∥$ $B C, P A ⊥$ 底面 $A B C D, P A = B C = 4$ ， $A B = 2, ∠ A B C = 60^{\circ}$ .

(1)、证明： $A B ⊥ P C$ ；

(2)、求二面角 $A - P C - D$ 的正弦值.

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19、已知 $△ A B C$ 中， $A B = 6 \sqrt{3}, ∠ C A B = ∠ A B C = 30^{\circ}, E, F$ 分别是线段 $A C, B C$ 上的点，且 $A E = 2$ ， $B F = 4, N$ 为 $E F$ 的中点，则 $tan ∠ N B A =$ .

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20、已知正四棱台的上､下底面边长分别为 $a, b (a < b)$ ，且 $a^{3} + b^{3} = 22$ ，侧面与下底面所成的二面角大小为 $45^{\circ}$ ，若四棱台的体积 $V \geq 1$ ，则 $a$ 的最大值为.

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