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相关试卷

1、已知函数 $f (x) = a \sin x \cos x - \sqrt{3} a \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2} a + b (a \neq 0)$

(1)、写出函数的单调递减区间；

(2)、设 $x \in [0, \frac{π}{2}]$ ，求 $f (x)$ 的最值.

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2、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}, \vec{c}$ 是同一平面内的三个向量，其中 $\vec{a} = (1, - 1)$ ．

(1)、若 $|\vec{c}| = 3 \sqrt{2}$ ，且 $\vec{c} / / \vec{a}$ ，求向量 $\vec{c}$ 的坐标；

(2)、若 $\vec{b}$ 是单位向量，且 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - 2 \vec{b})$ ，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角 $θ$ .

(3)、若 $\vec{d} = (3, 4)$ ，求向量 $\vec{a}$ 在向量 $\vec{d}$ 上的投影向量（用坐标表示）.

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3、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知底面 $A B C D$ 为平行四边形，点 $E$ 为棱 $P D$ 的中点．
（1）求证： $B C //$ 平面 $P A D$ ；
（2）设平面 $E B C \cap$ 平面 $P A D = E F$ ，点 $F$ 在 $P A$ 上，求证： $F$ 为 $P A$ 的中点．

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4、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为1， $P$ 为 $B C$ 的中点， $Q$ 为线段 $C C_{1}$ 上的动点，过点 $A$ ， $P$ ， $Q$ 的平面截该正方体所得截面记为 $S$ ，则下列命题正确的是（写出所有正确命题的编号）

①当 $C Q = \frac{1}{2}$ 时， $S$ 为等腰梯形.
②当 $C Q = \frac{3}{4}$ 时， $S$ 与 $C_{1} D_{1}$ 的交点 $R$ 满足 $C_{1} R_{1} = \frac{1}{3}$ .
③当 $\frac{3}{4} < C Q < 1$ 时， $S$ 为四边形.
④当 $C Q = 1$ 时， $S$ 的面积为 $\frac{\sqrt{6}}{2}$ .

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5、在 $△ A B C$ 中，若 $(a + c) (a - c) = b (b - \sqrt{3} c)$ ，则 $A =$

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6、已知以 $O$ 为起点的向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 在正方形网格中的位置如图所示、网格纸上小正方形的边长为1，则 $\vec{a} \cdot (\vec{a} - \vec{b}) =$ .

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7、在三角形 $A B C$ 所在平面内，点 $P$ 满足 $\vec{A P} = λ (\frac{\vec{A B}}{m |\vec{A B}|} + \frac{\vec{A C}}{n |\vec{A C}|})$ ，其中 $λ \in (0, + \infty)$ ， $m, n \in R$ ， $m \neq 0$ ， $n \neq 0$ ，则下列说法正确的是（）

A、当 $m |A B| = n |A C|$ 时，直线 $A P$ 一定经过三角形 $A B C$ 的重心 B、当 $m = n = 1$ 时，直线 $A P$ 一定经过三角形 $A B C$ 的外心 C、当 $m = cos B, n = cos C$ 时，直线 $A P$ 一定经过三角形 $A B C$ 的垂心 D、当 $m = sin B, n = sin C$ 时，直线 $A P$ 一定经过三角形 $A B C$ 的内心

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8、下列命题中正确的是（）

A、用与球心距离为1的平面去截球，所得截面圆的面积为 $π$ ，则球的表面积为 $16 π$ B、圆柱形容器底半径为 $5 cm$ ，两直径为 $5 cm$ 的玻璃球都浸没在容器的水中，若取出这两个小球，则容器内水面下降的高度为 $\frac{5}{3} cm$ C、正四棱台的上下底面边长分别为2，4，侧棱长为2，其体积为 $\frac{28 \sqrt{2}}{3}$ D、已知圆锥的母线长为10，侧面展开图的圆心角为 $\frac{4 π}{5}$ ，则该圆锥的体积为 $\frac{32 \sqrt{21}}{3} π$

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9、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ，满足 $|\vec{a}| = |\vec{b}| = 2$ ， $|\vec{a} + \vec{b}| = 2 \sqrt{3}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $\vec{a} \cdot \vec{b} = - 2$ B、 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ C、 $|\vec{a} - \vec{b}| < |\vec{a} + \vec{b}|$ D、 $\vec{a} - \vec{b}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为 $\frac{1}{2} \vec{b}$

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10、已知正六边形ABCDEF的边长为2，圆O的圆心为正六边形的中心，半径为1，若点P在正六边形的边上运动，MN为圆O的直径，则 $\vec{P M} \cdot \vec{P N}$ 的取值范围是（）

A、 $[2, 4]$ B、 $[2, 3]$ C、 $[\frac{3}{2}, 4]$ D、 $[\frac{3}{2}, 3]$

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11、一艘游轮航行到 $A$ 处时看灯塔 $B$ 在 $A$ 的北偏东 $75 °$ ，距离为 $12 \sqrt{6}$ 海里，灯塔 $C$ 在 $A$ 的北偏西 $30 °$ ，距离为 $12 \sqrt{3}$ 海里，该游轮由 $A$ 沿正北方向继续航行到 $D$ 处时再看灯塔 $B$ 在其南偏东 $60 °$ 方向，则此时灯塔 $C$ 位于游轮的（　　）

A、正西方向 B、南偏西 $75 °$ 方向 C、南偏西 $60 °$ 方向 D、南偏西 $45 °$ 方向

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12、 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别是角 $A, B, C$ 的对边，且 $2 {sin}^{2} (\frac{B + C}{2}) > \frac{b + c}{c}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、钝角三角形 C、直角或钝角三角形 D、锐角三角形

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13、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的右焦点为 $F$ ，一条渐近线的倾斜角为 $\frac{π}{6}$ ，点 $A (3, - \sqrt{2})$ 在双曲线 $C$ 上．

(1)、求双曲线 $C$ 的标准方程；

(2)、若点 $M$ 在直线 $x = \frac{3}{2}$ 上，点 $N$ 在双曲线 $C$ 上，且焦点 $F$ 在以线段 $M N$ 为直径的圆上，分别记直线 $M N, O N$ 的斜率为 $k_{1}, k_{2}$ ，求 $k_{1} k_{2}$ 的值．

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14、设函数 $f (x) = (x + a) \ln (x + b)$ ，若 $f (x) \geq 0$ ，则 $a^{2} + b^{2}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{1}{8}$ B、 $\frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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15、函数 $y = \frac{(3^{x} - 1) \ln (\cos x)}{3^{x} + 1}$ 的部分图象大致为（）

A、 B、 C、 D、

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16、某景区为吸引游客，拟在景区门口的三条小路 $A B, A D, A C$ 之间划分两片三角形区域用来种植花卉（如图中阴影部分所示），已知 $∠ B A C = 120^{\circ}, A D ⊥ A B$ ， $B, C, D$ 三点在同直线上， $A D = 6$ .

(1)、若 $C D = 3 \sqrt{13}$ ，求 $B D$ 的长度；

(2)、求 $△ A B C$ 面积的最小值.

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17、直角走廊的示意图如图所示，其两边走廊的宽度均为 $2$ 米，过点 $P$ 的一直线与走廊的外侧两边交于 $A, B$ 两点，且与走廊的一边的夹角为 $θ (0 < θ < \frac{π}{2})$ .
（1）将线段 $A B$ 的长度 $l$ 表示为 $θ$ 的函数；
（2）一根长度为 $5$ 米的铁棒能否水平(即铁棒与地面平行)通过该直角走廊？并说明理由．(铁棒的粗细忽略不计)

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18、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| \leq \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示．
（1）求函数 $y = f (x)$ 的表达式；
（2）将函数 $y = f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象，若关于 $x$ 的方程 $f (x) + g (x) - a = 0$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上有实数解，求实数 $a$ 的取值范围．

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19、如图，已知单位圆O与x轴正半轴交于点M，点A，B在单位圆上，其中点A在第一象限，且 $∠ A O B = \frac{π}{2}$ ，记 $∠ M O A = α$ ， $∠ M O B = β$ .

(1)、若 $α = \frac{π}{3}$ ，求点 $A$ 的坐标；

(2)、若点A的坐标为 $(\frac{4}{5}, m)$ ，求 $\sin α - \sin β$ 的值.

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20、已知 $f (α) = \frac{\sin (3 π - α) \cos (2 π - α) \sin (\frac{3 π}{2} - α)}{\cos (π - α) \sin (- π - α)}$ .
（1）化简 $f (α)$ ；
（2）若 $α$ 是第二象限角，且 $\cos (\frac{π}{2} + α) = - \frac{1}{3}$ ，求 $f (α)$ 的值.

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