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相关试卷

1、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和公式为 $S_{n} = \frac{n}{n + 1}$ ，则下列说法正确的是（）

A、数列 $\{a_{n}\}$ 的首项为 $a_{1} = \frac{1}{2}$ B、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = \frac{1}{n (n + 1)}$ C、数列 $\{a_{n}\}$ 为递减数列 D、数列 $\{S_{n}\}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}$ ，则 $T_{n} = \frac{1}{n}$

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2、对于数列 $\{a_{n}\}$ ，定义 $A_{n} = a_{1} + 3 a_{2} + \dots + 3^{n - 1} a_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的“加权和”．设数列 $\{a_{n}\}$ 的“加权和” $A_{n} = n \cdot 3^{n}$ ，记数列 $\{a_{n} + p n + 1\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $T_{n} \leq T_{5}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ 恒成立，则实数 $p$ 的取值范围为（）

A、 $[- \frac{16}{7}, - \frac{7}{3}]$ B、 $[- \frac{12}{5}, - \frac{7}{3}]$ C、 $[- \frac{5}{2}, - \frac{12}{5}]$ D、 $[- \frac{16}{7}, - \frac{9}{4}]$

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3、已知抛物线 $C_{1}$ ： $y^{2} = 4 x$ 与抛物线 $C_{2}$ ： $x^{2} = 4 y$ ，则（）

A、过 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 焦点的直线方程为 $x + y = 4$ B、 $C_{1}$ 与 $C_{2}$ 只有1个公共点 C、与x轴平行的直线与 $C_{1}$ 及 $C_{2}$ 最多有3个交点 D、不存在直线与 $C_{1}$ 和 $C_{2}$ 都相切

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4、中国古代著作《张丘建算经》中有这样一个问题：“今有马行转迟，次日减半疾，七日行七百里．”意思是说有一匹马行走的速度逐渐减慢，每天行走的里程是前一天的一半，七天一共行走了 $700$ 里路，则该马第五天走的里程数约为（）

A、 $5.51$ B、 $11.02$ C、 $22.05$ D、 $44.09$

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5、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的公比为 $q$ ，若 $a_{1} a_{2} a_{3} = 2$ ， $a_{3} a_{4} a_{5} = 10$ ，则 $q^{6} =$ （）

A、2 B、3 C、4 D、5

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6、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = \frac{5}{2}$ ，则 $S_{10}$ 为（）

A、 $\frac{13}{2}$ B、 $\frac{25}{2}$ C、 $\frac{55}{2}$ D、 $\frac{85}{2}$

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7、已知数列1， $\sqrt{2}$ ， 2， $2 \sqrt{2}$ ， 4，…，根据该数列的规律，16是该数列的（）

A、第7项 B、第8项 C、第9项 D、第10项

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8、已知 $L \in N^{+}$ ，数列A： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， … $a_{n}$ 中的项均为不大于 $L$ 的正整数. $c_{k}$ 表示 $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， … $a_{n}$ 中 $k$ 的个数（ $k = 1 ， 2 \dots L$ ）.定义变换 $T$ ， $T$ 将数列 $A$ 变成数列 $T (A)$ ： $t (a_{1})$ ， $t (a_{2})$ ， … $t (a_{n})$ 其中 $t (k) = L \cdot \frac{c_{1} + c_{2} + \dots + c_{k}}{n}$ .
（1）若 $L = 4$ ，对数列 $A$ ： $1 ， 1 ， 2 ， 3 ， 3 ， 4$ ，写出 $c_{i} (1 \leq i \leq 4)$ 的值；
（2）已知对任意的 $k$ （ $k = 1 ， 2 \dots n$ ），存在 $A$ 中的项 $a_{m}$ ，使得 $a_{m} = k$ .求证： $t (a_{i}) = a_{i}$ （ $i = 1 ， 2 \dots n$ ）的充分必要条件为 $c_{i} = c_{j}$ （ $i, j = 1 ， 2 \dots L$ ）；
（3）若 $L = n$ ，对于数列 $A$ ： $a_{1}$ ， $a_{2}$ ， … $a_{n}$ ，令 $T (T (A))$ ： $b_{1}, b_{2} \dots b_{n}$ ，求证： $b_{i} = t (a_{i})$ （ $i = 1 ， 2 \dots n$ ）.

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9、已知函数 $f (x) = x - \frac{1}{x} + a ln x$ .

(1)、当 $a = - 2$ 时，求 $f (x)$ 的单调区间；

(2)、记曲线 $y = f (x)$ 在 $P (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $Q (x_{2}, f (x_{2}))$ 两点处的切线斜率分别为 $k_{1}, k_{2}$ ，直线 $P Q$ 的斜率为 $k_{3}$ ，其中 $x_{1}, x_{2} \in (0, 1]$ ，求证：当 $a \geq - 1$ 时，有 $k_{1} + k_{2} > 2 k_{3}$ .

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10、某项游戏的规则如下：游戏可进行多轮，每轮进行两次分别计分，每次分数均为不超过10的正整数，选手甲参加十轮游戏，分数如下表：
轮次
一
二
三
四
五
六
七
八
九
十
第一次分数
7
6
8
9
8
5
9
7
10
7
第二次分数
8
7
9
10
8
9
8
7
7
9
若选手在某轮中，两次分数的平均值不低于7分，且二者之差的绝对值不超过1分，则称其在该轮“稳定发挥”.

(1)、若从以上十轮游戏中任选两轮，求这两轮均“稳定发挥”的概率；

(2)、假设甲再参加三轮游戏，每轮得分情况相互独立，并对是否稳定发挥以频率估计概率.记 $X$ 为甲在三轮游戏中“稳定发挥”的轮数，求 $X$ 的分布列和数学期望；

(3)、假设选手乙参加 $n$ 轮游戏，每轮的两次分数均不相同.记 $μ_{1}$ 为各轮较高分的算数平均值， $μ_{2}$ 为各轮较低分的算数平均值， $μ_{3}$ 为各轮两次的平均分的算数平均值.试比较 $\sqrt{μ_{1} μ_{2}}$ 与 $μ_{3}$ 的大小（结论不要求证明）.

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11、为方便居民休闲娱乐，某市计划在一块三角形空地上修建一个口袋公园，如图所示.在公园内部计划修建景观道路 $C D$ （道路的宽度忽略不计)，已知 $C D$ 把三角形空地分成两个区域， $△ A C D$ 区域为儿童娱乐区， $△ B C D$ 区域为休闲健身区.经测量， $A C = B C = 100$ 米， $A B = 100 \sqrt{3}$ 米.若儿童娱乐区每平方米的造价为 $100$ 元，休闲健身区每平方米的造价为 $50$ 元，景观道路每米的造价为 $2500$ 元.

(1)、若 $∠ A D C = \frac{π}{4}$ ，求景观道路 $C D$ 的长度；

(2)、求 $∠ A D C$ 为何值时，口袋公园的造价最低？

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12、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，四边形 $A B C D$ 为平行四边形， $A A_{1} = 2 A B$ ， $∠ D A B = 60 °$ .

(1)、证明： $A_{1} C$ 与平面 $A B_{1} D_{1}$ 的交点 $O$ 为 $△ A B_{1} D_{1}$ 的重心；

(2)、再从条件①、条件②这两个条件中选择一个作为已知条件，求直线 $A_{1} C$ 与平面 $A B_{1} D_{1}$ 所成角的正弦值.
条件①： $B D ⊥ A_{1} C$ ；
条件②：面 $A B_{1} D_{1}$ 与面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{4 \sqrt{3}}{3}$ .

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13、如图为几何体 $Ω$ 的一个表面展开图，其中 $Ω$ 的各面都是边长为 $1$ 的等边三角形，将 $Ω$ 放入一个球体中，则该球表面积的最小值为；在 $Ω$ 中，异面直线 $A B$ 与 $D E$ 的距离为.

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14、已知 $F$ 是双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 的左焦点， $A$ 是 $C$ 的右顶点，过点 $A$ 作 $x$ 轴的垂线交双曲线的一条渐近线于点 $M$ ，连接 $F M$ 交另一条渐近线于点 $N$ .若 $2 \vec{F N} = \vec{F M}$ ，则双曲线 $C$ 的离心率为.

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15、害虫防控对于提高农作物产量具有重要意义.已知某种害虫产卵数 $y$ （单位：个）与温度 $x$ （单位： $^{\circ} C$ ）有关，测得一组数据 $(x_{i}, y_{i}) (i = 1, 2, \dots, 20)$ ，可用模型 $y = c_{1} e^{c_{2} x}$ 进行拟合，利用 $z = ln y$ 变换得到的线性回归方程为 $\hat{z} = 0.3 x + \hat{a}$ .若 $\sum_{i = 1}^{20} x_{i} = 600, \sum_{i = 1}^{20} \ln y_{i} = 120$ ，则 $c_{1}$ 的值为.

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16、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的准线方程为 $x = - 1$ ，圆 $E : {(x - 1)}^{2} + y^{2} = 1$ ，直线 $y = k (x - 1)$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，与 $E$ 交于 $M, N$ 两点 $(A, M$ 在第一象限）， $O$ 为坐标原点，则下列说法中正确的是（）

A、 $p = 1$ B、 $\vec{O M} \cdot \vec{O N} > \vec{O A} \cdot \vec{O B}$ C、若 $|A B| = 4 |M N|$ ，则 $k = 1$ D、 $\forall k, |A M| \cdot |B N|$ 为定值

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17、在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，直线 $l \subset$ 平面 $A B B_{1} A_{1}$ ，直线 $m \subset$ 平面 $B C C_{1} B_{1}$ ，直线 $n \subset$ 平面 $A B C D$ ，则直线 $l, m, n$ 的位置关系可能是（）

A、 $l, m, n$ 两两垂直 B、 $l, m, n$ 两两平行 C、 $l, m, n$ 两两相交 D、 $l, m, n$ 两两异面

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18、已知 $cos (\frac{π}{4} - α) = \frac{3}{5}, sin (\frac{5 π}{4} + β) = - \frac{12}{13} ，$ 其中 $α \in (\frac{π}{4}, \frac{3 π}{4}), β \in (0, \frac{π}{4}) ，$ 则 $\frac{tan α}{tan β} =$ （）

A、 $- \frac{56}{63}$ B、 $\frac{56}{63}$ C、 $- 17$ D、 $17$

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19、设函数 $f (x) = \{\begin{cases} x + 1, x \leq 0 \\ \sqrt{x} - 1, x > 0 \end{cases}$ ，则方程 $f (f (x)) = 0$ 的实根个数为（）

A、 $4$ B、 $3$ C、 $2$ D、 $1$

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20、北京故宫博物院展示着一件来自2200年前的宝物——秦诏文权（如图1）.此文权下部呈圆台形，上部为鼻钮，被誉为最美、最具文化、最有政治和历史意义的文物之一.某公司仿照该文权制成一纸镇（如图2），已知该纸镇下部的上、下底面半径分别为 $3$ ， $4$ ，高为 $3$ ，则该纸镇下部的侧面积与体积分别为（）

A、 $21 π, 37 π$ B、 $21 π, 111 π$ C、 $7 \sqrt{10} π, 37 π$ D、 $7 \sqrt{10} π, 111 π$

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轮次	一	二	三	四	五	六	七	八	九	十
第一次分数	7	6	8	9	8	5	9	7	10	7
第二次分数	8	7	9	10	8	9	8	7	7	9