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相关试卷

1、已知 $tan α$ ， $tan β$ 是方程 $x^{2} + 3 \sqrt{3} x + 4 = 0$ 的两根，且 $- \frac{π}{2} < α < \frac{π}{2}$ ， $- \frac{π}{2} < β < \frac{π}{2}$ ，则 $α + β$ 的值为（）

A、 $\frac{π}{3}$ B、 $- \frac{2 π}{3}$ C、 $\frac{π}{3}$ 或 $- \frac{2 π}{3}$ D、 $- \frac{π}{3}$ 或 $\frac{2 π}{3}$

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2、已知数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和 $S_{n} = n^{2} + 1$ ，正项等比数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{1} = a_{1}$ ， $b_{3} = a_{4} + 1$ ，则使 $b_{6} + 1 \geq S_{n}$ 成立的n的最大值为（）

A、5 B、6 C、7 D、8

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3、若 $0 < a < 1$ ， $b > 0$ ，且 $a^{b} + a^{- b} = 2 \sqrt{2}$ ，则 $a^{b} - a^{- b}$ 等于（）

A、 $\sqrt{6}$ B、2或 $- 2$ C、 $- 2$ D、2

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4、若复数 $z$ 满足 $z = \frac{2 i}{1 + i}$ ，则 $|z| =$ （）

A、1 B、2 C、 $\sqrt{2}$ D、 $\sqrt{3}$

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5、三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B ⊥ A C$ ，面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 面 $A C C_{1} A_{1}$ ， $A A_{1} = A_{1} C_{1} = C C_{1} = 2, A C = 4$ ，且 $B B_{1}$ 与底面 $A B C$ 所成角的正弦值为 $\frac{\sqrt{15}}{5}$ .

(1)、求证： $A B ⊥$ 面 $A C C_{1} A_{1}$ ；

(2)、求三棱台 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的体积；

(3)、问侧棱 $B B_{1}$ 上是否存在点 $M$ ，使二面角 $M - A C - B$ 成 $\frac{π}{6}$ ？若存在，求出 $\frac{B M}{B B_{1}}$ 的值；若不存在，说明理由.

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6、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，已知 $△ A B C$ 的外接圆半径 $R = \frac{1}{4}$ ， ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B + sin A sin B = 2 c sin C$ .

(1)、求角 $C$ ；

(2)、求 $2 a + b$ 的取值范围.

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7、已知 $\vec{a}, \vec{b}$ 是非零向量， $\vec{a} ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ ，且 $|\vec{a}| = 3 \sqrt{2}, |\vec{b}| = 6$ .

(1)、求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量；

(2)、求 $|2 \vec{a} - 3 \vec{b}|$ .

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8、已知 $sin (α - β) cos α - cos (α - β) sin α = \frac{3}{5}, β$ 是第三象限角，则 $sin (β + \frac{5 π}{4}) =$ .

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9、 $\sqrt[3]{216} + lg 8 + 3 lg 5 =$ .

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10、“圆柱容球”作为古希腊数学家阿基米德最得意的发现，被刻在他的墓碑上.马同学站在阿基米德的肩膀上，研究另外两个模型：“圆台容球”，“圆锥容球”，如下图，半径为R的球分别内切于圆柱，圆台，圆锥.设球，圆柱，圆台，圆锥的体积分别为 $V_{0}, V_{1}, V_{2}, V_{3}$ .设球，圆柱，圆台，圆锥的表面积分别为 $S_{0}, S_{1}, S_{2}, S_{3}$ ，则以下关系正确的是（）

A、 $\frac{V_{0}}{V_{1}} = \frac{S_{0}}{S_{1}} = \frac{2}{3}$ B、 $\frac{V_{0}}{V_{2}} > \frac{S_{0}}{S_{2}}$ C、 $\frac{V_{0}}{V_{3}} > \frac{S_{0}}{S_{3}}$ D、 $\frac{V_{0}}{V_{3}}$ 的最大值为 $\frac{1}{2}$

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11、下列命题正确的是（）

A、若事件 $A, B, C$ 两两互斥，则 $P (A \cup B \cup C) = P (A) + P (B) + P (C)$ 成立. B、若事件 $A, B, C$ 两两独立，则 $P (A B C) = P (A) P (B) P (C)$ 成立. C、若事件 $A, B$ 相互独立，则 $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 也相互独立. D、若 $P (A) > 0, P (B) > 0$ ，则事件 $A, B$ 相互独立与 $A, B$ 互斥不能同时成立.

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12、下列函数中，可以用零点存在定理判断函数在区间 $[2, 6]$ 上存在零点的是（）

A、 $f (x) = \frac{1}{x - 4}$ B、 $f (x) = ln x + 2 x - 6$ C、 $f (x) = x {(x - 3)}^{2}$ D、 $f (x) = sin \frac{x}{2} + cos \frac{x}{2}$

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13、已知正四面体 $A B C D$ 中， $E$ 是棱 $A C$ 上一点，过 $E$ 作平面 $α$ ，满足 $A B$ $//$ $α, C D$ $//$ $α$ ，若 $A B 、 C D$ 到平面 $α$ 的距离分别是3和9，则正四面体 $A B C D$ 的外接球被平面 $α$ 截得的截面面积为（）

A、 $99 π$ B、 $100 π$ C、 $103 π$ D、 $108 π$

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14、已知函数 $f (x) = sin (ω x), ω > 0$ ，将 $f (x)$ 图象上所有点向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到函数 $y = g (x)$ 的图象，若函数 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{6}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 4]$ B、 $(0, 2]$ C、 $(0, \frac{3}{2}]$ D、 $(0, 1]$

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15、如图，计划在两个山顶 $M, N$ 间架设一条索道.为测量 $M, N$ 间的距离，施工单位测得以下数据：两个山顶的海拔高 $M C = 100 \sqrt{3} m, N B = 50 \sqrt{2} m$ ，在 $B C$ 同一水平面上选一点 $A$ ，在 $A$ 处测得山顶 $M, N$ 的仰角分别为 $60^{\circ}$ 和 $30^{\circ}$ ，且测得 $∠ M A N = 45^{\circ}$ ，则 $M, N$ 间的距离为（）

A、 $100 m$ B、 $50 \sqrt{6} m$ C、 $100 \sqrt{2} m$ D、 $100 \sqrt{3} m$

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16、如图是一个古典概型的样本空间 $Ω$ 和随机事件 $A, B$ ，其中 $n (Ω) = 30, n (A) = 15, n (B) = 10, n (A \cup B) = 20$ ，则 $P (\bar{A B}) =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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17、已知 $a$ ， $b \in R$ ， $p$ ： $a < b$ ， $q$ ： $a^{2} > b (2 a - b)$ ，则 $p$ 是 $q$ 的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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18、若 $(2 + i) \cdot z = 5 i$ ，则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- 2 i$ B、 $2 i$ C、 $- 2$ D、2

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19、设集合 $A = \{x ∣ 2 < x^{2} < 10\}, B = \{1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{2\}$ B、 $\{2, 3\}$ C、 $\{3, 4\}$ D、 $\{2, 3, 4\}$

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20、 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边的中点， $A D = 1$ .

(1)、若 $△ A B C$ 的面积为 $2 \sqrt{3}$ ，且 $∠ A D C = \frac{2 π}{3}$ ，求 $\sin C$ 的值；

(2)、若 $B C = 4$ ，求 $cos ∠ B A C$ 的取值范围．

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