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相关试卷

1、函数 $f (x) = [x]$ 的函数值表示不超过 $x$ 的最大整数，人们习惯称其为“取整函数”，例如： $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，若 $[x [x]] = 10$ ，则 $x$ 的取值范围为．

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2、某超市要搭建一个底面为扇形的柱体展台（如图），用一张矩形的石墨烯显示屏（可弯曲）围成展台的侧面（两个矩形和一个曲面），商品放在展台上展示，显示屏播放商品广告．已知石墨烯显示屏的长度一定，为了使得展台底面扇形面积最大，扇形的圆心角应设计为弧度．

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3、已知 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，若 $a_{4} = 6 ， S_{5} = 20$ ，则 $S_{10}$ 的值为．

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4、已知函数 $f (x) = \tan (ω x - \frac{π}{4}) (ω > 0)$ 的图象相邻两个对称中心之间的距离为 $\frac{π}{4}$ ，则（）

A、 $ω = 4$ B、 $f (x)$ 的最小正周期为 $\frac{π}{2}$ C、 $f (x)$ 的图象的一条渐近线为直线 $x = \frac{3π}{8}$ D、 $f (x)$ 的增区间为 $(- \frac{π}{16} + \frac{k π}{4}, \frac{3π}{16} + \frac{k π}{4}) (k \in Z)$

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5、在复平面内，复数 $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 对应的向量分别为 $\vec{a_{1}}$ 、 $\vec{a_{2}}$ ，则（）

A、 $|z_{1} + z_{2}| = |\vec{a_{1}} + \vec{a_{2}}|$ B、 $|z_{1} - z_{2}| = |\vec{a_{1}} - \vec{a_{2}}|$ C、 $|z_{1} \cdot z_{2}| = |\vec{a_{1}} \cdot \vec{a_{2}}|$ D、 $|\frac{z_{1}}{z_{2}}| = |\frac{\vec{a_{1}}}{\vec{a_{2}}}| (z_{2} \neq 0)$

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6、对于任意的 $x > 0$ ， $y > 0$ ， $\frac{x}{2 x + 3 y} + \frac{y}{3 x + y} \geq \frac{1}{7} m^{2} - \frac{2}{7} m$ 恒成立，则 $m$ 的最大值为（）

A、 $\frac{3}{7}$ B、 $- 1$ C、 $1$ D、 $3$

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7、已知向量 $\vec{a} = (x, 2)$ ， $\vec{b} = (2, y)$ ， $\vec{c} = (1, - 2)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{c}, \vec{b} ⊥ \vec{c}$ ，则向量 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 在向量 $\vec{c}$ 上的投影向量为（）

A、 $(- 2, 4)$ B、 $(2, - 4)$ C、 $(- \frac{1}{2}, - \frac{3}{2})$ D、 $(\frac{1}{2}, \frac{3}{2})$

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8、已知命题 $p : \exists x \in R, x^{2} - a x + 1 = 0$ ，命题q： $\forall x \in R$ ， $x^{2} + a x + 2 \geq 0$ ，则“命题p成立”是“命题 $\neg q$ 成立”成立的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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9、设复数 $z$ 满足 $\bar{z} i = |2 + i| + 2 i$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为（）

A、 $\sqrt{5} i$ B、 $- \sqrt{5} i$ C、 $\sqrt{5}$ D、 $- \sqrt{5}$

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10、设全集 $U = R$ ，集合 $A = \{x |1 < x < 4\}$ ，集合 $B = \{x |x < 0$ 或 $x > 2\}$ ，则集合 $A \cup (∁_{U} B) =$ （）

A、 $(1, 2]$ B、 $(1, 2)$ C、 $(0, 4)$ D、 $[0, 4)$

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11、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + \frac{1}{2} (1 - a) x^{2} - a x$ ．

(1)、若 $a = 2$ ，求函数 $f (x)$ 的极值；

(2)、当 $a > 1$ 时，若对 $\forall x \geq 0$ ， $f (x) + x e^{x} + b \geq 0$ 恒成立，求 $b - 4 a$ 的最小值．

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12、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，侧面 $P A D$ 是边长为 $2$ 的正三角形，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A B ⊥ P D$ ．

(1)、求证：平行四边形 $A B C D$ 为矩形；

(2)、若 $E$ 为侧棱 $P D$ 的中点，且平面 $A C E$ 与平面 $A B P$ 所成角的余弦值为 $\frac{\sqrt{6}}{4}$ ，求点 $B$ 到平面 $A C E$ 的距离．

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13、随着人们生活水平的提高，健康越来越成为当下人们关心的话题，因此，健身也成了广大市民的一项必修课.某健身机构统计了2022年1∼5月份某初级私人健身教练课程的月报名人数 $y$ （单位：人）与该初级私人健身教练价格 $x$ （单位：元/小时）的情况，如下表所示.
月份
1
2
3
4
5
初级私人健身教练价格 $x$ （元/小时）
210
200
190
170
150
初级私人健身教练课程的月报名人数 $y$ （人）
5
8
7
9
11

(1)、求 $(x_{i}, y_{i})$ （ $i = 1$ ， 2，3，4，5）的相关系数r，并判断月报名人数y与价格x是否有很强的线性相关性?（当 $|r| \in [0.75, 1]$ 时，可以认为两个变量有很强的线性相关性；否则，没有很强的线性相关性）（精确到0.001）

(2)、请建立 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程；（精确到0.001）

(3)、当价格为每小时230元时，估计该课程的月报名人数为多少人?（结果保留整数）
参考公式：对于一组数据 $(x_{i}, y_{i})$ （ $i = 1$ ， 2，3，…，n），相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ .
参考数据： $\sqrt{29} \approx 5.385$ . $\sqrt{\sum_{i = 1}^{5} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} = 4 \sqrt{145}$ ， $\sqrt{\sum_{i = 1}^{5} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}} = 2 \sqrt{5}$ ， $\sum_{i = 1}^{5} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = - 200$ .

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14、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且 $a \sin A + b \sin B = 2 c \sin (A - B)$ .

(1)、求 $\frac{a}{b}$ 的值；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值.

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15、已知角 $α$ 的顶点为坐标原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边经过点 $P (3, 4)$ ，则 $\sin (π + α) =$ ．

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16、从4位男同学5位女同学中选出3位同学，男女生都要有的选法有种.

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17、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，P是正方形 $A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的中心，E是PC的中点，则以下结论（）

A、 $P A //$ 平面BDE B、平面 $P A C ⊥$ 平面BDE C、 $P C ⊥ B D$ D、异面直线PC与AB所成的角为 $45 °$

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18、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1, 3^{2})$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $E (X) = 1$ ， $D (X) = 9$ B、若 $P (X > 2) = p$ ，则 $P (0 < X \leq 1) = \frac{1}{2} - p$ C、 $P (X > 1) = \frac{1}{2}$ D、随机变量 $Y$ 满足 $2 X + Y = 4$ ，则 $E (Y) = 4$

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19、已知双曲线 $x^{2} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (b > 0)$ 的左、右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{2}$ 作x轴的垂线与双曲线交于A，B两点，若 $△ A B F_{1}$ 为直角三角形，则（）

A、 $b = 2 + 2 \sqrt{2}$ B、双曲线的离心率 $\sqrt{2} + 1$ C、双曲线的焦距为 $2 \sqrt{5}$ D、 $△ A B F_{1}$ 的面积为 $12 + 8 \sqrt{2}$

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20、已知 $f (x)$ 是 $R$ 上的单调递增函数， $\forall x \in (0, + \infty)$ ，不等式 $f (- m) + f (\frac{\ln x}{x}) \leq f (1 + m)$ $+ f (1 - \frac{\ln x}{x})$ 恒成立，则m的取值范围是（）

A、 $(- \infty, e^{- \frac{1}{2}}]$ B、 $[\frac{2}{e}, + \infty)$ C、 $(- \infty, 1 + \frac{1}{e}]$ D、 $[\frac{1}{e} - 1, + \infty)$

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月份	1	2	3	4	5
初级私人健身教练价格 $x$ （元/小时）	210	200	190	170	150
初级私人健身教练课程的月报名人数 $y$ （人）	5	8	7	9	11