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相关试卷

1、如图，已知圆台 $O_{1} O_{2}$ 的高为 $\sqrt{3}$ ，母线长为2，AB，CD分别是上、下底面的直径， $O_{2} A / / B C$ ．

(1)、证明： $△ A D O_{2}$ 是等边三角形；

(2)、已知点E是圆弧DC上靠近点C的三等分点，求直线BD与平面BCE所成角的正弦值．

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2、现有 $n + 1$ 个球，球的编号从1到 $n + 1$ ，从中任取2个球，取法总数记为 $a_{n}$ ．

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、证明： $a_{n} + C_{n + 1}^{n} = a_{n + 1}$ ．

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3、已知函数 $f (x) = a^{x} - a^{- x} - x$ （其中 $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ），若存在 $x_{0} \in (0, + \infty)$ ，使得 $f (x_{0}) < 0$ ，则实数a的取值范围是．

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4、很多收费软件需要产品密钥激活才能使用，其中由25个字符构成的产品密钥比较常见，下面是三个25字符的密钥示例：
$JDHTC-NCQHB-6W444-97QYC-KW3MB$
$9CG86-9NVW6-2YBJ7-CV6F6-9K289$
$D68QB-N79BC-DMXTD-PM8TY-6VJXM$
这三个产品密钥由数字和字母组成，将其中的数字从小到大排列，得到一组数据，则这组数据的 $20 %$ 分位数是．

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5、若 $2 C_{2 n + 1}^{3} = C_{2 n + 2}^{3}$ ，则 $n =$ ．

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6、已知定义在 $(0, + \infty)$ 上的函数 $f (x) = (\ln x - 1) (\frac{1}{x + 1} - 1) + \ln (x + 1)$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在 $(0, e^{2}]$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 在 $(e^{2}, + \infty)$ 上单调递减 C、 $f (x)$ 有极大值 D、 $f (x)$ 无极小值

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7、某影院在2024年春节档引入了4部电影，包含2部喜剧电影、2部动画电影，其中《熊出没·逆转时空》是一部动画电影．该影院某天预留了A，B两个影厅用于放映这4部电影，这4部电影当天全部放映，每部电影固定在一个影厅内放映，每个影厅当天至少放映一部电影，则下列选项正确的是（）

A、若B影厅仅放映1部电影，有4种安排方法 B、一共有16种安排方法 C、若将《熊出没·逆转时空》安排至A影厅，有7种安排方法 D、若将2部动画电影安排至不同影厅，有4种安排方法

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8、已知 $x, y \in (\frac{3 π}{8}, \frac{π}{2})$ ，实数a，b，c满足 $a (\tan x + \tan y) = \tan x \tan y - 1$ ， $b = \sin x \sin y - \cos x \cos y$ ， $c = \frac{1}{\sin (x + y)} - \sin (x + y)$ ，则（）

A、 $a > b > c$ B、 $a > c > b$ C、 $c > a > b$ D、 $b > c > a$

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9、现有如图所示的 $3 \times 3$ 九宫格，方格编号为1~9，将其中5个不同的方格染成黑色，则至少有一行或一列被染成黑色的染色方式总数有（）

A、90种 B、81种 C、75种 D、72种

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10、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ， $2 S_{2023} = a_{2024} - a_{1}$ ，且 $a_{1} + a_{3} = 5$ ，则 $a_{3} + a_{5} =$ （）

A、10 B、15 C、25 D、45

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11、已知点F为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{4} + \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右焦点，点A，B是C上与其长轴端点不重合的两点，设甲：直线AB经过C的左焦点；乙： $△ A B F$ 的周长为 $8$ ，则甲是乙的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、函数 $f (x) = {(x + a)}^{2} - \ln x$ 有极值点 $x = 2$ ，则 $a =$ （）

A、 $- \frac{5}{2}$ B、 $- \frac{9}{4}$ C、 $- 2$ D、 $- \frac{7}{4}$

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13、曲线 $y = \frac{1}{3} x^{3} + x$ 在点 $(0, 0)$ 处的切线方程是（）

A、 $y = x$ B、 $y = \frac{1}{3} x$ C、 $y = 3 x$ D、 $y = 0$

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14、若a是 $a^{2}$ 与1的等差中项，则 $a =$ （）

A、1 B、0或1 C、 $- 2$ 或1 D、 $- \frac{1}{2}$ 或1

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15、已知向量 $\vec{a} = (4, 5)$ ， $\vec{b} = (4, 4)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、14 B、20 C、36 D、38

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16、已知集合 $A = \{a_{1}, a_{2}, a_{3}, \dots, a_{n}\}$ ， $A_{k}$ 为集合 $A$ 的子集．定义 $S (A) = \sum_{i = 1}^{n} a_{i}$ ， $S (\emptyset) = 0$ ．

(1)、取 $a_{n} = n (n \in N^{*})$ ．
①若存在 $A_{i} \neq A_{j}$ 且 $S (A_{i}) = S (A_{j})$ ，求 $n$ 的最小值；
②对于给定的 $n$ ，若存在 $A_{1}, A_{2}, \cdot \cdot \cdot, A_{k}$ 互不相同且 $A_{1} \cap A_{2} \cap \cdot \cdot \cdot \cap A_{k} \neq \emptyset$ ，求 $k$ 的最大值 $k (n)$ 及此时 $\sum_{i = 1}^{k (n)} S (A_{i})$ 的最大值 $f (n)$ ．

(2)、取 $a_{n} = q^{n} (q \geq 2, n \in N^{*})$ ，是否存在 $n$ 及 $A_{i}, A_{j}$ ，使得 $A_{i} \neq A_{j}$ ，且 $S (A_{i}) = S (A_{j})$ ？若存在，请举例；若不存在，请证明．

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17、已知函数 $f (x) = \frac{a \sqrt{x}}{e^{x}} + 2 x - \ln x (a \in R)$ ．

(1)、当 $a = 0$ 时，证明： $f (x) > 0$ ．

(2)、若函数 $y = f (x)$ 的图象与 $x$ 轴相切，求 $a$ 的值

(3)、若 $f (x)$ 存在极大值点，求 $a$ 的取值范围．

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18、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} \cos^{2} x + 2 \sin x \cos x - \sqrt{3} \sin^{2} x$

(1)、求 $f (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的最值；

(2)、已知 $α \in (0, \frac{π}{2})$ ，且 $f (α) = \frac{8}{5}$ ，求 $\tan α$ 的值．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 满足 $a_{n} - b_{n} = a_{n + 1}$ ， $a_{n} + b_{n} = λ$ （ $λ$ 为常数，且 $λ \neq a_{1}$ ）．

(1)、证明：数列 $\{b_{n}\}$ 是等比数列；

(2)、已知 $S_{n}$ 为数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $S_{4} = S_{5}$ ，记 $c_{n} = \frac{a_{n}}{b_{n}}$ ， $T_{n}$ 为数列 $\{c_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，求使得 $T_{n} > 0$ 的 $n$ 的最大值．

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20、已知 $△ A B C$ 的面积为 $20 \sqrt{3}$ ， $O$ 为边 $B C$ 的中点， $O A = 5$ ， $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = 20$ ．

(1)、求 $B C$ 的长；

(2)、求角 $C$ 的正弦值．

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