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相关试卷

1、某学校对高三（1）班50名学生第一次模拟考试的数学成绩和化学成绩统计得到数据如下：数学成绩的方差为 $s_{1}^{2} = 10$ ，化学成绩的方差为 $s_{2}^{2} = 8, \sum_{i = 1}^{50} x_{i}^{2} = 500500$ ，其中 $x_{i}, y_{i} (i \in N$ 且1 $\leq i \leq 50)$ 分别表示这50名学生的数学成绩和化学成绩， $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程为 $y = 0.4 x + t$ .

(1)、求 $y$ 与 $x$ 的样本相关系数 $r$ ；

(2)、从概率统计规律来看，本次考试高三（1）班学生数学成绩 $η$ 服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，用样本平均数 $\bar{x}$ 作为 $μ$ 的估计值，用样本方差 $s_{1}^{2}$ 作为 $σ^{2}$ 的估计值.试估计该校共800名高三学生中，数学成绩位于区间 $(96.84, 106.32)$ 的人数.
附：①回归方程 $\hat{y} = \hat{a} + \hat{b} x$ 中： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$
②样本相关系数 $r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} \sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$
③若 $η \sim N (μ, σ^{2})$ ，则 $P (μ - σ \leq η \leq μ + σ) \approx 0.68, P (μ - 2 σ \leq η \leq μ + 2 σ) \approx 0.95$
④ $\sqrt{10} \approx 3.16$

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2、欧拉公式 $e^{i θ} = cos θ + isin θ$ 是由瑞士著名数学家欧拉创立，将其中的 $θ$ 取 $π$ 就得到了欧拉恒等式，数学家评价它是“上帝创造的公式”.已知复数 $z$ 满足 $|z| = \frac{1}{2}$ ，则 $|z - e^{iπ}|$ 的最大值为（）

A、 $\frac{1}{2}$ B、1 C、 $\frac{5}{4}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3、如图所示，六氟化硫分子结构是六个氟原子处于顶点位置，而硫原子处于中心位置的正八面体，也可将其六个顶点看作正方体各个面的中心点．若正八面体的表面积为 $12 \sqrt{3}$ ，则正八面体外接球的体积为（）

A、 $4 \sqrt{2} π$ B、 $4 \sqrt{3} π$ C、 $12 π$ D、 $36 π$

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4、若命题：“ $\exists a$ ， $b \in R$ ，使得 $a - \cos b \leq b - \cos a$ ”为假命题，则 $a$ ， $b$ 的大小关系为（）

A、 $a < b$ B、 $a > b$ C、 $a \leq b$ D、 $a \geq b$

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5、已知函数 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + a x^{2} + b (a, b \in R)$ 的图象过点 $(1, \frac{2}{3})$ ，且 $f^{'} (- 1) = - 1$ .

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、求函数 $f (x)$ 的极值.

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6、随着AI技术的不断发展，人工智能科技在越来越多的领域发挥着重要的作用．某校在寒假里给学生推荐了一套智能辅导系统，学生可自愿选择是否使用该系统完成假期的作业．开学时进行了入学测试，随机抽取了100名学生统计得到如下列联表：
使用智能辅导系统
未使用智能辅导系统
合计
入学测试成绩优秀
20
20
40
入学测试成绩不优秀
40
20
60
合计
60
40
100

(1)、判断是否有95%的把握认为入学测试成绩优秀与使用智能辅导系统相关；

(2)、若把这100名学生按照入学测试成绩是否优秀进行分层随机抽样，从中抽取5人，再从这5人中随机抽取2人，记抽取的2人中入学测试成绩优秀的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ．
附： $K^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ ．
$P (K^{2} \geq k_{0})$
0.10
0.05
0.025
0.010
$k_{0}$
2.706
3.841
5.024
6.635

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7、若 $p : - 2 < x < 2$ ， $q : \sqrt{x} < 4$ ，则 $p$ 是 $q$ 的条件.

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8、若 $\frac{1}{a} < \frac{1}{b} < 0$ ，给出下列不等式正确的是（）

A、 $\frac{1}{a + b} < \frac{1}{a b}$ B、 $|a| + b > 0$ C、 $a - \frac{1}{a} > b - \frac{1}{b}$ D、 $\ln a^{2} > \ln b^{2}$

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9、函数 $f (x) = \frac{x}{1 - x^{2}}$ 的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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10、下列命题为真命题的是（）

A、若 $a > b$ ，则 $\frac{b + c}{a + c} > \frac{b}{a}$ B、若 $a > b$ ， $c > d$ ，则 $a - d > b - c$ C、若 $a < b < 0$ ，则 $a^{2} < a b < b^{2}$ D、若 $a > b$ ，则 $\frac{1}{a - b} > \frac{1}{a}$

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11、“一元二次方程 $a x^{2} + b x + c = 0$ 有实数根”是“ $b^{2} - 4 a c \geq 0$ ”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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12、函数 $y = \frac{\log_{3} (1 - x)}{x + 4}$ 的定义域为（）

A、 $(- \infty, - 4) \cup (- 4, 1)$ B、 $(- \infty, - 1) \cup (- 1, 4)$ C、 $(- \infty, 1)$ D、 $(1, + \infty)$

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13、已知抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 的焦点为 $F$ ，准线交 $x$ 轴于点 $D$ ，直线 $l$ 经过 $F$ 且与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，其中点A在第一象限，线段 $A F$ 的中点 $M$ 在 $y$ 轴上的射影为点 $N$ .若 $|M N| = |N F|$ ，则（）

A、 $l$ 的斜率为 $\sqrt{3}$ B、 $△ A B D$ 是锐角三角形 C、四边形 $M N D F$ 的面积是 $\sqrt{3} p^{2}$ D、 $|B F| \cdot |F A| > | F D |^{2}$

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14、现定义：若对于集合 $M$ 满足：对任意 $a, b \in M$ ，都有 $\frac{a}{b} \notin [2, 3]$ ，则称 $M$ 是可分比集合．

(1)、证明： $\{1, 4, 6, 7\}$ 是可分比集合；

(2)、设集合 $A, B$ 均为可分比集合，且 $A \cup B = \{1, 2, \dots, n\}$ ，求正整数 $n$ 的最大值；

(3)、探究是否存在正整数 $k$ ，对于任意正整数 $n$ ，均存在可分比集合 $M_{1}, M_{2}, \dots, M_{k}$ ，使得 $M_{1} \cup M_{2} \cup \cdot \cdot \cdot \cup M_{k} = \{1, 2, \cdot \cdot \cdot, n\}$ ．若存在，求 $k$ 的最小值；若不存在，说明理由．

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15、已知函数 $f (x) = (\frac{a}{2} x - a e + e^{a}) ln x$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的最小值；

(2)、当 $a < 0$ 时，求 $f (x)$ 零点的个数；

(3)、当 $x \geq 1$ 时， $f (x) \geq e (x - 1)$ ，求 $a$ 的取值范围．

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16、如图，五面体 $A B C D M N$ 中，底面四边形 $A B C D$ 为边长为 $4$ 的正方形， $M N = 1$ ．

(1)、证明： $A B / / M N$ ；

(2)、已知 $G$ 为线段 $C D$ 的中点，点 $M$ 在平面 $A B C D$ 上的投影恰为线段 $B G$ 的中点，直线 $M G$ 与平面 $A B C D$ 所成角的正切值为 $\frac{2 \sqrt{15}}{5}$ ，求直线 $A N$ 与平面 $A D M$ 所成角的正弦值．

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17、已知 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $2 a b cos C = a^{2} sin 2 B + b^{2} sin 2 A$ ．

(1)、求 $C$ ；

(2)、若 $c = 2$ ，求 $△ A B C$ 面积的最大值．

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18、仙人掌别名老鸦舌，神仙掌，这一独特的仙人掌科草本植物，以其顽强的生命力和独特的形态在自然界中独树一帜，以其形似并拢手指的手掌，且带有刺的特征而得名．仙人掌不仅具有极高的观赏价值，还具有一定的药用价值，被誉为“夜间氧吧”，其根茎深入土壤或者干燥的黄土中使其能够吸收足够多的水分进行储藏来提高生存能力，我国某农业大学植物研究所相关人员为了解仙人掌的植株高度y（单位：cm），与其根茎长度x（单位：cm）之间是否存在线性相关的关系，通过采样和数据记录得到如下数据：
样本编号 $i$
1
2
3
4
根茎长度 $x_{i}$
10
12
14
16
植株高度 $y_{i}$
62
86
112
132
参考数据： $\sum_{i = 1}^{4} {(x_{i} - \bar{x})}^{2} = 20, \sum_{i = 1}^{4} {(y_{i} - \bar{y})}^{2} = 2792, \sqrt{3490} \approx 59.1$ ．

(1)、由上表数据计算相关系数 $r$ ，并说明是否可用线性回归模型拟合 $y$ 与 $x$ 的关系（若 $|r| > 0.75$ ，则可用线性回归模型拟合，计算结果精确到0.001）；

(2)、求 $y$ 关于 $x$ 的线性回归方程.
附：对于一组数据 $(x_{1}, y_{1}), (x_{2}, y_{2}), \dots, (x_{n}, y_{n})$ ，其回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式，相关系数 $r$ 的公式分别为 $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}}, \hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}, r = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - \bar{x})}^{2}} \sqrt{\sum_{i = 1}^{n} {(y_{i} - \bar{y})}^{2}}}$ ．

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19、已知数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, a_{n + 1} = n a_{n}$ ，则 $\sum_{k = 1}^{11} \frac{a_{11}}{a_{k} a_{12 - k}} =$ ．

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20、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $(0, \frac{5 π}{12})$ 上有且仅有1个零点，则 $f (x)$ 最小正周期的最小值为．

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	使用智能辅导系统	未使用智能辅导系统	合计
入学测试成绩优秀	20	20	40
入学测试成绩不优秀	40	20	60
合计	60	40	100

$P (K^{2} \geq k_{0})$	0.10	0.05	0.025	0.010
$k_{0}$	2.706	3.841	5.024	6.635

样本编号 $i$	1	2	3	4
根茎长度 $x_{i}$	10	12	14	16
植株高度 $y_{i}$	62	86	112	132