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相关试卷

1、样本数据 $90, 80, 79, 85, 72, 74, 82, 77$ 的极差和第75百分位数分别为．

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2、已知定义在 $R$ 上且不恒为 $0$ 的函数 $f (x)$ 对任意 $x, y$ ，有 $f (x y + f (x)) = x f (y) + 2$ ，且 $f (x)$ 的图象是一条连续不断的曲线，则（）

A、 $f (x)$ 的图象存在对称轴 B、 $f (x)$ 的图象有且仅有一个对称中心 C、 $f (x)$ 是单调函数 D、 $f (x)$ 为一次函数且表达式不唯一

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3、已知正数 $x, y$ 满足 $x - y + 1 = \frac{1}{x} - \frac{1}{y}$ ，则（）

A、 $lg (y - x + 1) > 0$ B、 $cos y > cos x$ C、 $2025^{y - x} > 1$ D、 $|y - 2| > |x - 2|$

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4、设曲线 $C : x = \sqrt{y^{2} + 1}$ ，过点 $(\sqrt{2}, 0)$ 的直线 $l$ 与 $C$ 交于 $A, B$ 两点，线段 $A B$ 的垂直平分线分别交直线 $x = - \frac{\sqrt{2}}{2}$ 和 $l$ 于点 $M, N$ ，若 $|A B| = |M N|$ ，则 $l$ 的斜率可以为（）

A、 $\sqrt{3} - 2$ B、 $\sqrt{3}$ C、2 D、 $2 + \sqrt{3}$

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5、在四面体 $A B C D$ 中， $A B = B C = A C = B D = 2, A D = C D = \sqrt{2}$ ，且四面体 $A B C D$ 的各个顶点均在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的体积为（）

A、 $\frac{16 \sqrt{3} π}{27}$ B、 $\frac{8 \sqrt{3} π}{9}$ C、 $\frac{32 \sqrt{3} π}{27}$ D、 $2 \sqrt{3} π$

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6、在 $△ A B C$ 中， $D$ 为 $B C$ 边上靠近点 $C$ 的三等分点， $E$ 为线段 $A D$ （含端点）上一动点，若 $\vec{E D} = λ \vec{E B} + μ \vec{E C} (λ, μ \in R)$ ，则（）

A、 $λ + μ = 1$ B、 $μ = 2 λ$ C、 $μ = 3 λ$ D、 $λ - μ = - \frac{1}{3}$

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7、已知 $2 tan (α + β) = 3 tan α = 6$ ，则 $tan β =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{1}{7}$ D、 $\frac{1}{2}$

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8、已知 $\frac{2}{z} = 1 - i$ ，则 $z^{2} =$ （）

A、 $2 i$ B、 $2 + 2 i$ C、 $2 + 3 i$ D、 $3i$

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9、已知集合 $A = \{x |x \geq 0\}, B = \{x |x \leq 3\}$ ，则 $A \cap (∁_{R} B) =$ （）

A、 $(0, + \infty)$ B、 $[0, + \infty)$ C、 $(- \infty, 3]$ D、 $(3, + \infty)$

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10、如图，一个圆柱和一个圆锥的底面直径和它们的高都与一个球的直径 $2 R$ 相等，则下列结论正确的是（）

A、圆柱的侧面积为 $2 π R^{2}$ B、圆锥的侧面积为 $2 π R^{2}$ C、圆柱的侧面积与球的表面积相等 D、圆柱、圆锥、球的体积之比为 $3 : 1 : 2$

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11、定义在 $R$ 上的函数 $y = f (x)$ 满足以下条件：① $f (- x) - f (x) = 0$ ， ②对任意 $x_{1}, x_{2} \in [0, + \infty)$ ，当 $x_{1} \neq x_{2}$ 时都有 $\frac{f (x_{1}) - f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} > 0$ ，则 $f (- \sqrt{7})$ ， $f (π)$ ， $f (- 3)$ 的大小关系是（）

A、 $f (π) > f (- 3) > f (- \sqrt{7})$ B、 $f (π) > f (- \sqrt{7}) > f (- 3)$ C、 $f (π) < f (- 3) < f (- \sqrt{7})$ D、 $f (π) < f (- \sqrt{7}) < f (- 3)$

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12、下列图形中，可以表示函数 $y = f (x)$ 的是（）

A、 B、 C、 D、

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13、在数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1$ ，其前n项和为 $S_{n}$ ，且 $n S_{n} - S_{n - 1} = (n - 1) (S_{n - 1} + a_{n - 1})$ （ $n \geq 2$ 且 $n \in N^{*}$ ）.

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、设数列 $\{b_{n}\}$ 满足 $b_{n} = (\frac{2}{a_{n}} - 1) \times 3^{n}$ ，其前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $\frac{λ n (T_{n} - 3)}{n - 1} \leq (n^{2} + 9) \times 3^{n}$ 恒成立，求实数 $λ$ 的取值范围.

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14、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ ，若对任意 $x_{0} \in D_{1}$ ，恰好存在 $n$ 个不同的实数 $x_{1}, x_{2} \dots, x_{n} \in D_{2}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ （其中 $i = 1, 2, \dots, n, n \in N^{*}$ ），则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“ $n$ 重覆盖函数”．

(1)、试判断 $g (x) = 2 x^{2} (- 1 \leq x \leq 1)$ 是否为 $f (x) = 1 + sin x (x \in R)$ 的“2重覆盖函数”？请说明理由；

(2)、若 $g (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + (a - 3) x + 1, - 2 \leq x \leq 1 \\ x - 1, x > 1 \end{array} (a \geq 0)$ ，为 $f (x) = {log}_{2} \frac{2^{x} + 2}{2^{x} + 1}$ ，的“2重覆盖函数”，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、函数 $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.2]= 1,[2]= 2,[- 1.2] = - 2$ ．若 $h (x) = a x - [a x], x \in [0, 2)$ 为 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}, x \in [0, + \infty)$ 的“2024重覆盖函数”，求正实数 $a$ 的取值范围．

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15、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 1, E$ 为 $D D_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $B D_{1} / /$ 平面 $A E C$ ；

(2)、连接 $D B_{1}$ 交 $B D_{1}$ 于点 $G$ ，求三棱锥 $G - A E C$ 的体积；

(3)、已知点 $F$ 为 $C C_{1}$ 中点，点 $P$ 为平面 $B B_{1} D_{1} D$ 内的一个动点，若 $F P / /$ 平面 $E A C$ ，求 $F P$ 长度的最小值．

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16、如图，在菱形 $A B C D$ 中， $A B = A C = 4, E, F$ 分别是边 $B C, C D$ 的中点， $A E$ 与 $B F$ 交于点 $P$ ，设 $\vec{A B} = \vec{a}, \vec{A D} = \vec{b}$ ．

(1)、用 $\vec{a}, \vec{b}$ 表示 $\vec{A E}, \vec{B F}$ ；

(2)、求 $∠ E P F$ 的余弦值．

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17、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin (ω x + \frac{π}{3}) - 1 (ω > 0)$ 的最小正周期为 $π$ ．

(1)、求 $f (\frac{π}{6})$ 的值；

(2)、求 $f (x)$ 在 $[- \frac{π}{4}, \frac{π}{6}]$ 上的值域．

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18、球面被平面所截得的一部分叫做球冠，截得的圆叫做球冠的底，垂直于截面的直径被截得的一段叫做球冠的高球体被平面截下的一部分几何体叫做球缺，截面叫做球缺的底面，垂直于截面的直径被截下的线段长叫做球缺的高，球缺是旋转体，可以看做是球冠和其底所在的圆面所围成的几何体．如图1，一个球面的半径为 $R$ ，球冠的高是 $h$ ，球冠的表面积公式是 $S = 2 π R h$ ，与之对应的球缺的体积公式是 $V = \frac{1}{3} π h^{2} (3 R - h)$ ．如图2，已知 $C, D$ 是以 $A B$ 为直径的圆上的两点， $∠ A O C = ∠ B O D = \frac{π}{3}, S_{扇形 C O D} = \frac{2}{3} π$ ，则扇形 $C O D$ 绕直线 $A B$ 旋转一周形成的几何体的表面积为，体积为．

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19、勒洛三角形是一种典型的定宽曲线，以等边三角形每个顶点为圆心，以边长为半径，在另两个顶点间作一段圆弧，三段圆弧围成的曲边三角形就是勒洛三角形．在如图所示的勒洛三角形中，已知 $A B = 2, P$ 为弧 $A C$ （含端点）上的一点，则 $\vec{B P} \cdot \vec{C P}$ 的范围为．

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20、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {log}_{2} x, x > 0 \\ f (x + 2), x \leq 0 \end{array}$ ，则 $f (- 1) =$ ．

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