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相关试卷

1、如图，在矩形 $A B C D$ 中，点 $E$ 在边 $A B$ 上，且 $\vec{A E} = 2 \vec{E B}, M$ 是线段 $C E$ 上一动点.

(1)、 $\vec{M E} = m \vec{M A} + n \vec{M B}, m, n \in R$ ，求 $m \cdot n$ 的值；

(2)、若 $A B = 9, \vec{C A} \cdot \vec{C E} = 43$ ，求 $(\vec{M A} + 2 \vec{M B}) \cdot \vec{M C}$ 的最小值.

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2、如图，在平面四边形 $A B C D$ 中， $∠ D A B = 90 °$ ， $∠ A D C = 120 °$ ， $A B = 3 \sqrt{3}$ ， $C D = 2$ ， $A D = 1$ .

(1)、求点 $C$ 到 $A D$ 所在的直线的距离；

(2)、以 $A D$ 所在的直线为轴，其余三边旋转一周形成的面围成一个几何体，求该几何体的体积.

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3、记 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a^{2} - b^{2} = 2 c^{2} \cos C$ ，若 $△ A B C$ 为锐角三角形，则 $\frac{a}{b \cos^{2} B}$ 的取值范围是.

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4、若 $a > 0$ ， $b > 0$ 且满足 $2 a + b = 2$ ，则 $\frac{4}{a} + \frac{a}{b}$ 的最小值是．

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5、已知 $\tan α = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $\sin 2 α =$ .

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6、已知向量 $\vec{a} 、 \vec{b} 、 \vec{c}$ 满足： $\vec{b}$ 为单位向量，且 $\vec{a} + 2 \vec{b}$ 和 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 相互垂直，又对任意 $λ \in R$ 不等式 $| \vec{a} - λ \vec{b} | \geq | \vec{a} - \vec{b} |$ 恒成立，若 $\vec{c} = \frac{u + 2}{3} \vec{a} + \frac{4 - u}{2} \vec{b} (u \in R)$ ，则 $|\vec{c}|$ 的最小值为（）

A、1 B、 $\frac{6 \sqrt{3}}{5}$ C、 $\frac{5 \sqrt{13}}{13}$ D、 $\frac{6 \sqrt{39}}{13}$

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7、函数 $y = sin (ω x + φ)$ （其中常数 $ω > 0$ ， $|φ| \leq \frac{π}{3}$ ）的最小正周期是 $π$ ，若其图像向右平移 $\frac{π}{3}$ 个单位后，所得图像关于原点中心对称，则原函数的图象（）

A、关于点 $(\frac{π}{12}, 0)$ 中心对称 B、关于点 $(\frac{5 π}{12}, 0)$ 中心对称 C、关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 轴对称 D、关于直线 $x = \frac{5 π}{12}$ 轴对称

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8、某校开展数学建模活动，有建模课题组的学生选择测量某山峰的高度，为此，他们设计了测量方案．如图，在山脚A测得山顶P的仰角为45°，沿倾斜角为15°的斜坡向上走了90米到达B点（A，B，P，Q在同一个平面内），在B处测得山顶P的仰角为60°，则山高PQ为（）米

A、 $45 (\sqrt{6} - \sqrt{2})$ B、 $45 (\sqrt{6} + \sqrt{2})$ C、 $90 (\sqrt{3} - 1)$ D、 $90 (\sqrt{3} + 1)$

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9、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ，若 $c = 2 b cos A$ ， $a sin A - b sin B = c (sin C - sin B)$ ，则角 $B =$ （）

A、 $\frac{2 π}{3}$ B、 $\frac{π}{6}$ C、 $\frac{π}{3}$ D、 $\frac{π}{2}$

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10、已知平面向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线，向量 $\vec{m} = x \vec{a} + \vec{b}, \vec{n} = \vec{a} + (3 x - 2) \vec{b}$ ，若 $\vec{m} // \vec{n}$ ，则实数 $x$ 的值为（）

A、1 B、 $- \frac{1}{3}$ C、1或 $- \frac{1}{3}$ D、 $- 1$ 或 $\frac{1}{3}$

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11、复数 $\frac{3 - i}{1 - i}$ 的虚部是（）

A、2 B、 $- 2$ C、1 D、 $- 1$

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12、已知 $A = {x ∣ 0 \leq x \leq 3}, B = {x ∣ 1 \leq x \leq 4}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${x ∣ 1 \leq x \leq 3}$ B、 ${x ∣ 0 \leq x \leq 4}$ C、 ${x ∣ 0 \leq x \leq 1}$ D、 ${x ∣ 3 \leq x \leq 4}$

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13、如图，直三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的侧面积为 $72 + 36 \sqrt{2}$ ，底面 $△ A B C$ 为等腰直角三角形， $A B = A C$ ， $A A_{1} = 6$ ， M，N分别是 $A_{1} B$ 和 $A C_{1}$ 的中点．

(1)、求证： $M N / /$ 平面 $A B C$ ；

(2)、取 $A_{1} B_{1}$ 的中点E，连接 $B E$ 与 $B_{1} M$ 交于点O，求异面直线 $O C_{1}$ 与 $A_{1} B$ 所成角的余弦值．

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14、已知 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 所对的边分别是 $a, b, c$ ， $(a + b) (\sin A - \sin B) = (a - c) \sin C$ ．

(1)、求角 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 外接圆的周长为 $2 \sqrt{3} π$ ，求 $△ A B C$ 周长的取值范围．

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15、函数 $y = \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x + 2 \cos^{2} x$ .
（1）求函数的最小正周期和单调递增区间；
（2）当 $0 \leq x \leq \frac{π}{4}$ 时，求值域.

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16、已知 $\cos α = \frac{3}{5}$ ， $c o s (α + β) = \frac{8}{17}$ ， α，β均为锐角．

(1)、求 $\sin 2 α$ 的值；

(2)、求 $\cos β$ 的值．

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17、如图，在 $△ A B C$ 中， $\vec{A N} = \frac{1}{3} \vec{A C}$ ，点 $P$ 是线段 $B N$ 上一点．

(1)、若点 $P$ 是线段 $B N$ 的中点，试用 $\vec{A B}$ 和 $\vec{A C}$ 表示向量 $\vec{A P}$ ；

(2)、若 $\vec{A P} = \frac{1}{3} \vec{A B} + m \vec{A C}$ ，求实数 $m$ 的值．

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18、已知向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $120^{°}$ ，且 $|\vec{a}| = 3$ ， $|\vec{b}| = 4$ .

(1)、求 ${(\vec{a} + \vec{b})}^{2}$

(2)、当 $k$ 为何值时，向量 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 互相垂直．

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19、在 $△ A B C$ 中， $A C = 3 ， B C = 4$ ，三角形的面积等于 $3 \sqrt{3}$ ，则 $A B$ 的长为.

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20、若 $z = \frac{2 + m i}{1 + i}$ 为纯虚数，则复数 $z$ 的虚部为.

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