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相关试卷

1、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{5} = 25$ ， $a_{2} + a_{5} + a_{10} = 31$ .

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式以及前 $n$ 项和 $S_{n}$ ；

(2)、若 $b_{n} = 3^{n} \cdot a_{n}$ ，求数列 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ .

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2、两个等差数列 $\{a_{n}\}$ 和 $\{b_{n}\}$ 的前 $n$ 项和分别为 $S_{n}$ 、 $T_{n}$ ，且 $\frac{S_{n}}{T_{n}} = \frac{5 n + 2}{n + 3}$ ，则 $\frac{a_{2} + a_{20}}{b_{7} + b_{15}}$ 等于

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3、已知函数 $f (x) = {(x - 1)}^{3} - a x - b + 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、当 $a = 3$ 时，若 $f (x)$ 有三个零点，则b的取值范围为 $(- 4, 0)$ B、若 $f (x)$ 满足 $f (2 - x) = 3 - f (x)$ ，则 $a + b = - 1$ C、若过点 $(2, m)$ 可作出曲线 $g (x) = f (x) - 3 x + a x + b$ 的三条切线，则 $- 5 < m < - 4$ D、若 $f (x)$ 存在极值点 $x_{0}$ ，且 $f (x_{0}) = f (x_{1})$ ，其中 $x_{0} \neq x_{1}$ ，则 $x_{1} + 2 x_{0} = 3$

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4、已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{m^{2}} + \frac{y^{2}}{n^{2}} = 1 (m > n > 0)$ 与双曲线 $C_{2} : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 有共同的焦点 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 为两曲线的一个公共点，且 $∠ F_{1} P F_{2} = 60^{\circ}$ ，椭圆的离心率为 $e_{1}$ ，双曲线的离心率为 $e_{2}$ ，那么 $e_{1}^{2} + e_{2}^{2}$ 最小为（）

A、 $\frac{2 + \sqrt{3}}{4}$ B、 $\frac{2 + \sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{4}$ D、 $\frac{3 + 2 \sqrt{2}}{2}$

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5、已知函数 $f (x) = x^{2} + 2 \ln x$ 的图像在 $A (x_{1}, f (x_{1}))$ ， $B (x_{2}, f (x_{2}))$ 两个不同点处的切线相互平行，则下面等式可能成立的是（）

A、 $x_{1} + x_{2} = 2$ B、 $x_{1} + x_{2} = \frac{10}{3}$ C、 $x_{1} x_{2} = 2$ D、 $x_{1} x_{2} = \frac{10}{3}$

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6、设等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $S_{3} = 5 a_{2} + 6 a_{1}$ ，则公比 $q$ 为（）

A、1或5 B、5 C、1或 $- 5$ D、5或 $- 1$

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7、设 ${(1 + x)}^{n} = a_{0} + a_{1} x + \dots + a_{n} x^{n} (n \in N^{*})$ ，若 $a_{1} = a_{5}$ ，则 $n$ 的值为（）

A、4 B、6 C、7 D、8

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8、欧拉是科学史上最多才的一位杰出的数学家，他发明的公式为 $e^{i x} = cos x + isin x$ ， i虚数单位，将指数函数的定义域扩大到复数，建立了三角函数和指数函数的关系，这个公式也被誉为“数学中的天桥”（ $e$ 为自然对数的底数，i为虚数单位），依据上述公式，则下列结论中正确的是（）

A、复数 $e^{i \frac{π}{2}}$ 为纯虚数 B、复数 $e^{i 3}$ 对应的点位于第二象限 C、复数 $e^{i \frac{π}{3}}$ 的共轭复数为 $\frac{\sqrt{3}}{2} - \frac{1}{2} i$ D、复数 $e^{i θ} (θ \in [0, π])$ 的模长为1

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9、设等比数列： $a, p_{1}, p_{2}, \dots, p_{s}, b, q_{1}, q_{2}, \dots, q_{t}, c$ 的公比为q，其中 $s, t$ 都为正奇数， $a, b, c$ 构成单调递增的正项等差数列．

(1)、求证： $|q| > 1$ ；

(2)、求证： $s > t$ ；

(3)、把 $p_{1} p_{2} \dots p_{s} q_{1} q_{2} \dots q_{t}$ 用 $a, c, s, t$ 表示．

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10、如图，在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A B = 2 A A_{1} = 4$ ， O为AB的中点，D为 $A_{1} O$ 的中点．

(1)、证明： $A D ⊥$ 平面 $A_{1} O C$ ；

(2)、求平面 $A_{1} B C$ 与平面 $A_{1} O C$ 夹角的余弦值．

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11、已知 $\vec{a} = (x - 2, 2 x - 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 1)$ ，若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，则 $x =$ ．

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12、函数 $f (x) = \sin (ω x + φ) (ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图，若 $f (x)$ 的相邻两个零点间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则（）

A、 $ω = 2$ B、 $φ = \frac{π}{6}$ C、 $f (x)$ 的零点形成的集合为 ${x | x = k π - \frac{π}{12}} (k \in Z)$ D、 $f (x)$ 的单调递减区间为 $[k π + \frac{π}{6}, k π + \frac{2 π}{3}] (k \in Z)$

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13、某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图，则（）

A、讲座前问卷答题的正确率的中位数为72.5% B、讲座后问卷答题的正确率的众数为85% C、讲座前问卷答题的正确率的方差大于讲座后正确率的方差 D、讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差

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14、在数列 $\{a_{n}\}$ 中，已知 $a_{1} = 3$ ，且 $a_{n + 1} = 4 a_{n} + 6 n - 5 (n \in N^{*})$ ，则 $a_{15} =$ （）

A、 $4^{15} - 15$ B、 $2^{15} - 29$ C、 $2^{15} - 15$ D、 $4^{15} - 29$

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15、若双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ ，右焦点为 $F$ ，点E的坐标为 $(\frac{b}{a}, \frac{c}{b})$ ，则直线OE（O为坐标原点）与双曲线的交点个数为（）

A、0个 B、1个 C、2个 D、不确定

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16、甲乙两名大学生计划今年五一假期分别从岳阳楼，常德桃花源，天门山，长沙橘子洲头，茶峒古镇五个不同的景区随机选三个景区前往打卡旅游，则两人恰好有两个景区相同的选法共有（）

A、36种 B、48种 C、60种 D、72种

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17、已知集合 $A = {x \in N | x^{2} < 16}$ ， $B = {x | x - 2 \leq 0}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 ${1, 2}$ B、 ${0, 1, 2}$ C、 ${x ∣ - 4 < x \leq 2}$ D、 ${x ∣ 0 < x \leq 2}$

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18、已知函数 $f (x) = \log_{a} x - \frac{1}{x}$ （ $a > 1$ ）.

(1)、若 $f (x)$ 在 $[2, 4]$ 上的最小值为 $\frac{1}{2}$ ，求a的值；

(2)、证明： $f (x)$ 存在唯一零点 $x_{0}$ 且满足 $a^{\frac{2}{a} - \frac{x_{0}}{a^{2}}} + x_{0}^{2} - x_{0} - \frac{1}{x_{0}^{2}} < a^{2}$ .

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19、对于三个实数a，b，k，若 $(1 + a^{2}) (1 + b^{2}) \geq k | a - b | | 1 - a b |$ 成立，则称a，b具有“性质k”.

(1)、 $\forall x \in R$ ，判断x，0是否具有“性质2”？

(2)、 $\forall y \in (\frac{π}{6}, \frac{π}{4})$ ，判断 $\tan y$ ， 0是否具有“性质4”？

(3)、若存在 $x_{0} \in [\frac{3 π}{4}, 2 π)$ 及 $t_{0} \in [\frac{1}{2}, 2]$ ，使得 $\sin 2 x_{0} - 2 \sin x_{0} - t_{0} - \frac{1}{t_{0}} - m \leq 0$ 成立， $\sin x_{0}$ ， 1具有“性质2”，求实数m的取值范围.

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20、在 $△ A B C$ 中，D是线段BC上的一点（不含端点）， $∠ A D C = \frac{π}{3}$ .

(1)、若 $A C \cdot \sin C = \frac{\sqrt{3}}{2}$ ，求AD的长；

(2)、若 $∠ C A D = 2 ∠ B A D$ ，求 $\frac{B D}{C D}$ 的取值范围.

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