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相关试卷

1、设 $n \geq 5$ 为正整数， $0 < a_{1} < a_{2} < \dots < a_{n}$ 为正实数列．我们称满足 $\frac{a_{j} - a_{i}}{a_{k} - a_{j}} = r$ （其中 $1 \leq i < j < k \leq n$ ）的三元数组 $(i, j, k)$ 为“ $r -$ 比值组”.

(1)、若 $n = 5$ ，且 ${a_{n}}$ 为等差数列，写出所有的 $1 -$ 比值组；

(2)、给定正实数 $r$ ，证明：中位数为4（即 $(i, j, k)$ 中 $j = 4$ ）的 $r -$ 比值组至多有3个；

(3)、记 $r -$ 比值组的个数为 $f_{n} (r)$ ，证明： $f_{n} (r) < \frac{n^{2}}{4}$ .

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2、已知函数 $f (x) = x^{2} - \frac{1}{2} \ln \frac{x}{2} + a x$ 在区间 $(2, + \infty)$ 上没有零点，则实数 $a$ 的取值范围是．

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3、“ $\sin θ \cdot \cos θ > 0$ ”是“ $θ$ 为第一象限角”的（）

A、充分不必要条件 B、必要不充分条件 C、充要条件 D、既不充分也不必要条件

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4、在复平面内，复数 $(1 - 2 i) (3 + i)$ 对应的点位于（）

A、第一象限 B、第二象限 C、第三象限 D、第四象限

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5、已知函数 $f (x) = A sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, 0 < φ < π)$ 的部分图象如图所示，则下列结论正确的是（）．

A、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 B、将 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度得到的图象关于原点对称 C、方程 $f (x) = \sqrt{3}$ 在区间 $[0, 2 π]$ 有5个不等实根 D、 $f (x)$ 在 $[\frac{3 π}{4}, \frac{3 π}{2}]$ 上单调递增

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6、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}, a_{9} + a_{8} = 55$ ，则 $S_{16} =$ （）

A、880 B、440 C、110 D、220

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7、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，向量 $\vec{m} = (b - a, c), \vec{n} = (sin B - sin C, sin A + sin B)$ ，且 $\vec{m} ∥ \vec{n}$ ．

(1)、求 $A$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为2，且 $cos B cos C = - \frac{1}{6}$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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8、如图，点 $P, Q$ 分别是矩形 $A B C D$ 的边 $D C, B C$ 上的两点， $A B = 3$ ， $A D = 2$ .

(1)、若 $P$ 、 $Q$ 分别为 $C D$ 、 $B C$ 的中点，求 $cos ∠ P A Q$ ；

(2)、若 $\vec{D P} = λ \vec{D C}, \vec{C Q} = λ \vec{C B}, 0 \leq λ \leq 1$ ，求 $\vec{A P} \cdot \vec{A Q}$ 的范围；

(3)、若 $\vec{D P} = 2 \vec{P C}$ ，连接 $A P$ 交 $B C$ 的延长线于点 $T, Q$ 为 $B C$ 的中点，试探究线段 $A B$ 上是否存在一点 $H$ ，使得 $∠ T H Q$ 最大.若存在，求 $B H$ 的长；若不存在，说明理由.

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9、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $\sqrt{3} a - 2 c = 2 b cos (B + C)$ .

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $△ A B C$ 的周长为 $6 + 2 \sqrt{3}$ ，且 $2 a = \sqrt{3} c$ ，求 $△ A B C$ 的面积.

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10、已知函数 $f (x) = \sqrt{2} \sin (x - \frac{π}{4}) + 2 \cos x$ .

(1)、若 $f (x_{0}) = \frac{1}{2}$ ， $x_{0} \in (\frac{π}{2}, π)$ ，求 $\sin x_{0}$ 的值；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，再将所得图象上所有点的横坐标缩短为原来的 $\frac{1}{2}$ 倍，纵坐标不变，得到函数 $g (x)$ 的图象，求函数 $g (x)$ 在 $[- \frac{π}{6}, \frac{π}{4}]$ 上的值域.

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11、为绘制海底地貌图，测量海底两点 $C$ ， $D$ 间的距离，海底探测仪沿水平方向在 $A$ ， $B$ 两点进行测量， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 在同一个铅垂平面内.海底探测仪测得 $∠ B A C = 30 °$ ， $∠ D A C = 45 °$ ， $∠ A B D = 45 °$ ， $∠ D B C = 75 °$ ，同时测得 $A B = \sqrt{3}$ 海里.

(1)、求 $A D$ 的长度；

(2)、求 $C$ ， $D$ 之间的距离.

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12、已知 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $60 °$ ．

(1)、求 $|2 \vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{b} + k \vec{a}$ 与 $\vec{b} - k \vec{a}$ 相互垂直，求实数k的值．

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13、已知 $cos θ = - \frac{3}{5}, π < θ < \frac{3 π}{2}$ ，则 ${sin}^{2} \frac{θ}{2} + sin \frac{θ}{2} cos \frac{θ}{2} =$ .

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14、已知 $A (- 1, 2), B (2, 0), C (x, 3)$ ，且 $\vec{A B} ⊥ \vec{A C}$ ，则 $x =$ .

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15、已知函数 $f (x) = sin (ω x - \frac{π}{3}) (ω > 0)$ 在区间 $[0, π]$ 上有且仅有两个不同的零点，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上有两条对称轴 B、 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{4}{3}, \frac{7}{3})$ C、 $f (x)$ 在区间 $(0, \frac{π}{3})$ 上单调递增 D、若 $f (0) = f (π)$ ，则 $ω = \frac{5}{3}$

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16、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ ， $\vec{c}$ ，给出下列判断，其中正确的是（）．

A、若 $\vec{a} \cdot \vec{b} = |\vec{a}| |\vec{b}|$ ，则 $\vec{a} // \vec{b}$ B、若 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ ，则 $\vec{a} = \vec{b}$ C、若 $\vec{a} = \vec{b}$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{c} = \vec{b} \cdot \vec{c}$ D、若 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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17、对于 $△ A B C$ ，下列说法正确的有（）

A、存在 $△ A B C$ ，满足 $a = 8, b = 9, c = 10, B = 60^{\circ}$ . B、若 $A ＞ B$ ，则 $sin A > sin B$ C、若 ${sin}^{2} A + {sin}^{2} B < {sin}^{2} C$ ，则 $△ A B C$ 是钝角三角形 D、若 $sin 2 A = sin 2 B$ ，则 $△ A B C$ 为等腰三角形

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18、如图，在重 $100 N$ 的物体上有两根绳子，绳子与铅垂线的夹角分别为30°，60°，物体平衡时，两根绳子拉力的大小分别为（）

A、 $50 \sqrt{3} N$ ， $50 \sqrt{3} N$ B、 $50 N$ ， $100 N$ C、 $50 \sqrt{3} N$ ， $50 N$ D、 $100 N$ ， $50 \sqrt{3} N$

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19、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于直线 $x = - \frac{π}{3}$ 对称 B、函数 $y = f (x)$ 在 $[- π, - \frac{5 π}{6}]$ 上单调递减 C、函数 $y = f (x + \frac{π}{6})$ 是奇函数 D、该函数的图象可由 $y = 2 \cos x$ 的图象向左平行移动 $\frac{π}{6}$ 个单位长度得到

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20、如图，向量 $\vec{a} - \vec{b} =$ （）

A、 $- 2 \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$ B、 $- 4 \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}}$ C、 $\vec{e_{1}} - 3 \vec{e_{2}}$ D、 $3 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}$

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