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相关试卷

1、2025年被称为“智能体元年”，基于 $AI$ 大模型的智能体技术迎来规模化应用与产业变革．某科技 $AI$ 研发中心正在研发名为“天穹”的新一代大模型，在模型训练阶段，研发团队发现，模型的综合性能评分 $P (t)$ （满分100分）和有效训练时长 $t$ （单位：百 $GPU$ 小时）的关系分为两个阶段．通过对几轮训练数据的拟合分析，得到如下函数关系： $P (t) = \{\begin{cases} - 0.4 t^{2} + 8 t + c, 0 \leq t \leq 10 \\ - \frac{k}{t} - 1.8 t + 170, 10 < t \leq 60 \end{cases}$ .已知初始综合性能评分 $P (0) = 40$ ，且在 $t = 10$ 处函数图象是连续不断的．

(1)、求常数 $c$ 和 $k$ 的值；

(2)、若“天穹”模型用于科研辅助场景时，要求综合性能评分不低于92分，求满足条件的训练时长范围；

(3)、已知大模型的标准化训练效率定义为 $E (t) = \frac{P (t) - 50}{t}$ ， $t > 0$ ，训练时长取何值时，“天穹”模型的标准化训练效率最高？

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2、已知集合 $A = \{x ∣ 3 - a \leq x \leq 3 + a\}, B = \{x ∣ x^{2} - 6 x + 5 \geq 0\}$ ．

(1)、当 $a = 3$ 时，求 $A \cap B$ ；

(2)、若集合 $C = ∁_{R} B$ ，且 $A \cap C = A$ ，求实数 $a$ 的取值范围．

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3、已知函数 $f (x) = \frac{x^{2}}{x^{2} + 1}$ ．

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、用定义法证明函数 $f (x)$ 在 $(0, + \infty)$ 上单调递增．

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4、若 $f (x)$ 是定义在 $(- \infty, 0) \cup (0, + \infty)$ 上的奇函数，且 $f (2) = 2$ ．若对任意的两个不相等的正数 $x_{1}, x_{2}$ ，都有 $\frac{x_{2} f (x_{1}) - x_{1} f (x_{2})}{x_{1} - x_{2}} < 0$ ，则 $f (x) - x < 0$ 的解集为．

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} - 1, x > 0 \\ \frac{1}{2} g (x) - x, x < 0 \end{array}$ ，若 $f (x)$ 是奇函数，则 $g (- 2) =$ ．

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6、函数 $f (x) = \sqrt{1 - x^{2}} + \frac{1}{x}$ 的定义域是．

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7、对于函数 $f (x) = x + \frac{a}{x} (a > 0)$ ，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 为奇函数 B、设 $h (x) = f (x) + f (\frac{1}{x}), x > 0$ ，则 $h (x)$ 在 $(0, \sqrt{a + 1})$ 上单调递减，在 $(\sqrt{a + 1}, + \infty)$ 上单调递增 C、若方程 $f (x) - a = 0$ 在定义域内恰有两个不同的根，则实数 $a$ 的取值范围为 $(4, + \infty)$ D、若 $f (x) = x + \frac{a}{x} (a > 0)$ 在区间 $[2, 4]$ 上的最大值比最小值大1，则实数 $a$ 的取值不唯一

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8、已知 $f (x)$ 是奇函数，定义域为 $\{x ∣ x \neq 0\}$ ，当 $x > 0$ 时， $f (x) = \frac{x - 2}{2 x + 1}$ ．则下列说法正确的是（）

A、 $f (- 3) = - \frac{1}{7}$ B、当 $x < 0$ 时， $f (x) = \frac{- x - 2}{2 x - 1}$ C、当 $x \in (- \infty, - 1]$ 时， $f (x)$ 单调递减 D、 $- 2 < f (x) < 2$

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9、已知函数 $f (x) = x^{α} (α \in R)$ ，则（）

A、当 $α = 2$ 时， $f (2) > f (- 3)$ B、当 $α = - 1$ 时， $f (x)$ 的定义域为 $R$ C、当 $α = 3$ 时， $f (x)$ 为增函数 D、当 $α = \frac{1}{2}$ 时， $f (x^{2})$ 为偶函数

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10、已知 $f (x), g (x)$ 是定义在 $R$ 上的函数，其中 $f (x)$ 是奇函数， $g (x)$ 是偶函数，且 $f (x) + g (x) = a x^{2} + x + 2$ ，若 $\frac{g (x)}{x} \geq 1$ 在区间 $[1, 3]$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $[- 1, + \infty)$ B、 $[\frac{1}{9}, + \infty)$ C、 $[1, + \infty)$ D、 $[\frac{1}{8}, + \infty)$

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11、定义： $[x]$ 表示不超过 $x$ 的最大整数，如 $[1.2]= 1,[- 2.1]= - 3,[1] = 1$ ，则不等式 ${[2 x]}^{2} - 5 [2 x] + 6 \leq 0$ 的解集为（）

A、 $[1, 2.5)$ B、 $[1.5, 2.5)$ C、 $(1, 2)$ D、 $[1, 2)$

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12、函数 $f (x)$ 的部分图象如图所示，则 $f (x)$ 的解析式可能是（）

A、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{|x| - 1}$ B、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{x - 1}$ C、 $f (x) = \frac{|x^{2} - 1|}{|x| - 1}$ D、 $f (x) = \frac{x^{2} - 1}{|x - 1|}$

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13、若不等式 $x + \frac{3}{x} > 8 k$ 对一切 $x \in (0, + \infty)$ 都成立，则实数 $k$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{4}, + \infty)$ B、 $(\frac{\sqrt{6}}{2}, + \infty)$ C、 $(- \infty, \frac{\sqrt{3}}{4})$ D、 $(- \infty, \frac{\sqrt{6}}{2})$

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14、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} \sqrt{1 - x}, x < 0, \\ x^{2}, x \geq 0, \end{array}$ 则使得 $f (a) = 1$ 的 $a$ 的值为（）

A、0或1或-1 B、1 C、0 D、-1

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15、“ $a > 1$ ”是“函数 $f (x) = (a + 2) x$ 在 $R$ 上单调递增”的（）

A、充要条件 B、必要不充分条件 C、充分不必要条件 D、既不充分也不必要条件

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16、命题“ $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 \leq 0$ ”的否定是：（）

A、 $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 \geq 0$ B、 $\exists x \in R, x^{2} - x + 1 > 0$ C、 $\forall x \in R, x^{2} - x + 1 \geq 0$ D、 $\forall x \in R, x^{2} - x + 1 > 0$

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17、设集合 $A = \{x | x \leq 2\}, B = \{- 1, 0, 1, 2, 3, 4\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{- 1, 0, 1\}$ B、 $\{- 1, 0, 1, 2\}$ C、 $(- 1, 2)$ D、 $[- 1, 2]$

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18、某班级举行“数学文化节”活动，其中有一个“双人答题闯关环节”规则如下：甲、乙两人分别从包含 $3$ 道传统文化题和 $2$ 道数学历史题的题袋中随机抽取 $2$ 道题作答（抽出的题不放回）.已知甲先抽，乙后抽，且每道题被抽中的机会均等.

(1)、求甲抽到的 $2$ 道题中恰好是 $1$ 道传统文化题和 $1$ 道数学历史题的概率；

(2)、若甲答对每道题的概率均为 $0.8$ ，乙答对每道题的概率均为 $0.7$ ，且两人答题是否正确相互独立，求甲、乙两人答对题目总数不少于 $3$ 道的概率.

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19、已知双曲线 $E : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的离心率是 $\frac{3 \sqrt{5}}{5}$ ，焦距为6.

(1)、求双曲线 $E$ 的方程；

(2)、若直线 $l : y = k x + 1$ 与双曲线 $E$ 交于 $A, B$ 两点，且 $\vec{O A} \cdot \vec{O B} = - 9$ （ $O$ 为坐标原点），求 $k$ 的值.

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20、已知 $△ A B C$ 的外接圆半径为 $R$ ，内切圆半径为 $r$ ，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 $a^{2} + c^{2} = b^{2} + a c, b = 2 \sqrt{3}$

(1)、求 $R$ 的值；

(2)、求 $r$ 的取值范围.

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