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相关试卷

1、已知复数 $z_{1} = \sin 2 x + λ i$ ， $z_{2} = m + (m - \sqrt{3} \cos 2 x) i, (λ, m, x \in R)$ ，且 $z_{1} = z_{2}$ ．

(1)、若 $λ = 0$ 且 $0 < x < π$ ，求 $x$ 的值；

(2)、设 $λ$ ＝ $f (x)$ ，已知当 $x = α$ 时， $λ = \frac{1}{2}$ ，试求 $\cos (4 α + \frac{π}{3})$ 的值．

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2、在 $△ A B C$ 中，角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 所对的边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，若向量 $\vec{p} = (a, \cos A)$ ，向量 $\vec{q} = (\sqrt{3} b, \sin B)$ ，且 $\vec{p} // \vec{q}$ ．
（1）求角 $A$ 的大小；
（2）若 $3 b = c = 3$ ，且 $3 \overset{⃑}{B D} = \overset{⃑}{B C}$ ，求 $|\overset{⃑}{A D}|$ ．

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3、已知向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，且 $(2 \vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{a} + 3 \vec{b}) = - 5$ ．

(1)、若 $(\vec{a} - \vec{k b}) ⊥ (k \vec{a} + \vec{b})$ ，求实数k的值；

(2)、求 $\vec{a}$ 与 $2 \vec{a} + \vec{b}$ 的夹角．

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4、已知正方形 $A B C D$ 的边长为2，点P满足 $\overset{⃑}{A P} = \frac{1}{2} (\overset{⃑}{A B} + \overset{⃑}{A C})$ ，则 $| \overset{⃑}{P D} | =$ ； $\overset{⃑}{P B} \cdot \overset{⃑}{P D} =$ ．

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5、已知向量 $\vec{a} = (1, \sqrt{3})$ ， $\vec{b} = (\cos θ, \sin θ) (0 \leq θ \leq π)$ ，则下列命题正确的是（）

A、若 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$ ，则 $\tan θ = - \frac{\sqrt{3}}{3}$ B、若 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $- \frac{1}{4} \vec{a}$ ，则向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{2 π}{3}$ C、若 $\vec{b}$ 与 $\vec{a}$ 共线，则 $\vec{b}$ 为 $(\frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 或 $(- \frac{\sqrt{6}}{2}, - \frac{\sqrt{3}}{2})$ D、存在 $θ$ ，使得 $|\vec{a} - \vec{b}| = |\vec{a}| + |\vec{b}|$

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6、在 $△ A B C$ 中， $∠ A = 120 ° ， \vec{A B} \cdot \vec{A C} = - 3$ ，点 $G$ 是 $△ A B C$ 的重心，则 $|\vec{A G}|$ 的最小值是

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{6}}{3}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{5}{3}$

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7、在 $△ A B C$ 中， $sin (B - A) = \frac{1}{4}, 2 a^{2} + c^{2} = 2 b^{2}$ ，则 $sin C =$ （）

A、 $\frac{2}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、1

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8、如图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 是水平放置的 $△ A B C$ 的斜二测直观图， $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 为等腰直角三角形，其中 $O^{'}$ 与 $A^{'}$ 重合， $A^{'} B^{'} = 6$ ，则 $△ A B C$ 的面积是（）

A、9 B、 $9 \sqrt{2}$ C、18 D、 $18 \sqrt{2}$

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9、复数 $z = a + b i (a \neq 0 ， a ， b \in R)$ 满足 $(1 - i) z$ 为纯虚数，则（）

A、 $a + b = 0$ B、 $a - b = 0$ C、 $a + 2 b = 0$ D、 $a - 2 b = 0$

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10、设 $M =$ {正四棱柱}， $N =$ {直四棱柱}， $P =$ {长方体}， $Q =$ {直平行六面体}，则四个集合的关系为 ( )

A、M $\subseteq$ P $\subseteq$ N $\subseteq$ Q B、M $\subseteq$ P $\subseteq$ Q $\subseteq$ N C、P $\subseteq$ M $\subseteq$ N $\subseteq$ Q D、P $\subseteq$ M $\subseteq$ Q $\subseteq$ N

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11、已知复数 $z$ 满足 $z = 1 + 2 i$ ，则 $| z | =$ .

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12、已知函数 $f (x)$ 和 $g (x)$ 的定义域分别为 $D_{1}$ 和 $D_{2}$ ，若对任意的 $x_{0} \in D_{1}$ 都存在 $n$ 个不同的实数 $x_{1}, x_{2}, x_{3}, \dots x_{n} \in D_{2}$ ，使得 $g (x_{i}) = f (x_{0})$ （其中 $i = 1, 2, 3, \dots n, n \in N^{+}$ ），则称 $g (x)$ 为 $f (x)$ 的“ $n$ 重覆盖函数”．

(1)、试判断 $g (x) = |x| (- 2 \leq x \leq 2)$ 是否为 $f (x) = 1 + \sin x (x \in R)$ 的“2重覆盖函数”？请说明理由；

(2)、求证： $g (x) = \cos x (0 < x < 4 π)$ 是 $f (x) = \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1} (x \in R)$ 的“4重覆盖函数”；

(3)、若 $g (x) = \{\begin{array}{l} a x^{2} + (2 a - 3) x + 1, x \leq 1 \\ \log_{2} x, x > 1 \end{array}$ 为 $f (x) = \log_{\frac{1}{2}} \frac{2^{x} - 1}{2^{x} + 1}$ 的“2重覆盖函数”，求实数a的取值范围．

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13、如图，某圆形小区有两块空余绿化扇形草地 $A O B$ （圆心角为 $\frac{π}{3}$ ）和 $C O D$ （圆心角为 $\frac{π}{2}$ ）， $B D$ 为圆的直径.现分别要设计出两块社区活动区域，其中一块为矩形区域 $O E F G$ ，一块为平行四边形区域 $M N P Q$ ，已知圆的直径 $P F = 2$ 百米，且点 $P$ 在劣弧 $A B$ 上（不含端点），点 $Q$ 在 $O A$ 上､点 $G$ 在 $O C$ 上､点 $M$ 和 $N$ 在 $O B$ 上､点 $E$ 在 $O D$ 上，记 $∠ B O P = θ$ .

(1)、经设计，当 $O E - \frac{1}{2} M N$ 达到最大值时，取得最佳观赏效果，求 $θ$ 取何值时， $O E - \frac{1}{2} M N$ 最大，最大值是多少？

(2)、设矩形 $O E F G$ 和平行四边形 $M N P Q$ 面积和为 $S$ ，求 $S$ 的最大值及此时 $\cos 2 θ$ 的值.

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14、已知函数 $f (x) = e^{x}$ ，函数 $y = g (x)$ 与 $y = f (x)$ 互为反函数.

(1)、若函数 $y = g (m x^{2} + 2 x + 1)$ 的值域为 $R$ ，求实数 $m$ 的取值范围；

(2)、求证：函数 $φ (x) = g (x) + g (x + 2) + x$ 仅有1个零点 $x_{0}$ ，且 $g (e x_{0}) < f (x_{0} + ln x_{0})$ .

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15、已知函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \cos^{2} (\frac{π}{2} + x) - 2 \sin (π + x) \cos x - \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调增区间；

(2)、若 $f (x_{0} - \frac{π}{6}) = \frac{14}{25}, x_{0} \in [\frac{3π}{4},π]$ ，求 $\sin 2 x_{0}$ 的值．

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16、已知函数 $f (α) = \frac{\sin (α + \frac{π}{2}) \cos (\frac{3 π}{2} - α) \tan (π - α)}{\sin (α + π)}$ ．

(1)、化简 $f (α)$ ；

(2)、若 $f (α) \cdot f (α + \frac{π}{2}) = - \frac{1}{6}$ ，且 $\frac{π}{2} \leq α \leq π$ ，求 $f (α) - f (α + \frac{π}{2})$ 的值．

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17、已知函数 $f (x) = sin (2 x + \frac{π}{6}) ， g (x) = f (\frac{x}{2} + \frac{π}{4})$ ，若对任意的 $a$ ， $b \in [π - m ， m]$ ，当 $a > b$ 时， $f (a) - f (b) < g (2 a) - g (2 b)$ 恒成立，则实数 $m$ 的取值范围是．

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18、已知函数 $f (x) = sin (ω x + \frac{2 π}{3}) (ω > 0)$ ，若 $f (\frac{π}{6}) = f (\frac{π}{3})$ ，且 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 上有最小值无最大值，则 $ω =$ .

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19、下列命题中：
①若集合 $A = \{x |k x^{2} + 2 x + 1 = 0\}$ 中只有一个元素，则 $k = 1$ ；
②已知命题p： $\exists x \in R$ ， $a x^{2} + 2 x - 1 \geq 0$ ，如果命题p是假命题，则实数a的取值范围是 $(- \infty, - 1)$ ；
③已知函数 $y = f (2^{- x})$ 的定义域为 $[- 1, 1]$ ，则函数 $y = f (x)$ 的定义域为 $[\frac{1}{2}, 2]$ ；
④函数 $y = \frac{x + 1}{x - 1}$ 在 $(- \infty, 0)$ 上单调递增；
⑤方程 $3^{|x|} = {log}_{3} (x + 3) + 2$ 的实根的个数是2.
所有正确命题的序号是.

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20、下列结论正确的是（）

A、若 $a > 0, b > 0$ ，则 $\frac{2}{\frac{1}{a} + \frac{1}{b}} \leq \frac{a + b}{2}$ B、函数 $y = \sin x - \frac{2}{\sin x} (x \in (0, \frac{π}{2}))$ 的最小值为 $- \frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、函数 $f (x) = \log_{2023} [m x^{2} - (m^{2} + 1) x + m]$ 的值域为 $R$ ，则实数m的取值范围是 $R$ D、若函数 $f (x) = x^{- \frac{2}{7}}$ ，则 $f (x)$ 在区间 $(- \infty, 0)$ 上单调递增.

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