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相关试卷

1、如图，已知AB是圆柱下底面圆的直径，点 $C$ 是下底面圆周上异于 $A$ ， $B$ 的动点，CD，BE是圆柱的两条母线．

(1)、求证：平面 $A C D ⊥$ 平面BCDE；

(2)、若 $A B = 5, B C = 2$ ，圆柱的母线长为 $2 \sqrt{3}$ ，求平面ADE与平面ABC夹角的余弦值．

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2、潮汕英歌舞以其动作刚劲有力，节奏感强的特色，备受人们喜爱．某校组织英歌队进行训练并作了汇报表演，为了解训练成果，做了一次问卷调查，问卷所涉及的问题均量化成对应的分数（满分100分），从所有答卷中随机抽取100份的分数作为样本，将样本的分数（成绩均为不低于50分的整数且在组内均匀分布）分成五段： $[50, 60), [60, 70), \dots, [90, 100]$ ，得到如下所示的频数分布表．
样本分数段
$[50, 60)$
$[60, 70)$
$[70, 80)$
$[80, 90)$
[90，100]
频数
10
$a$
30
30
10
频率
0.1
$b$
0.3
0.3
0.1

(1)、求频数分布表中 $a$ 和 $b$ 的值，并估计样本成绩的平均数；

(2)、经计算，样本中分数在区间［50，60）内的平均数为56，方差为7；在区间[60，70）内的平均数为65，方差为4，求两组成绩的总平均数 $\bar{z}$ 和总方差 $s^{2}$ ．

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3、已知 $△ A B C$ 的内角 $A$ 、 $B$ 、 $C$ 的对边分别为 $a$ 、 $b$ 、 $c$ ，有余弦定理：
$a^{2} = b^{2} + c^{2} - 2 b c \cos A$ ，
$b^{2} = a^{2} + c^{2} - 2 a c \cos B$ ，
$c^{2} = a^{2} + b^{2} - 2 a b \cos C$ ．

(1)、在上面三个等式中，任选一个等式进行证明；

(2)、若 $A = \frac{π}{6}$ ， $b = \sqrt{3}$ ， $a \sin A = 5 \sqrt{3} \sin B - 2 \sin C$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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4、已知 $A, B, C, D$ 四点都在体积为 $\frac{500}{3} π$ 的球 $O$ 的表面上，若AD是球 $O$ 的直径，且 $B C = 3$ ， $∠ B A C = 150 °$ ，则三棱锥 $A - B C D$ 体积的最大值为．

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5、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x - 3, x ⩽ 0, \\ - 2 + \ln x, x > 0, \end{array}$ 若 $g (x) = f (x) - k$ 只有一个零点，则 $k$ 的取值范围是．

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6、已知随机事件 $A, B, C, A$ 和 $B$ 互斥， $B$ 和 $C$ 对立，且 $P (A + B) = 0.7, P (A) = 0.3$ ，则 $P (C) =$ ．

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7、已知函数 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的奇函数， $f (x + 1)$ 是偶函数，当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = \sqrt{x} +$ $x$ ，则下列说法中正确的有（）

A、4是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = 2$ 对称 C、 $\sum_{i = 1}^{2025} f (i) = 2$ D、方程 $f (x) = \ln | x |$ 恰有8不同的实数根

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8、设函数 $f (x) = \cos x - \sqrt{3} \sin x$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $- 2 π$ 是 $f (x)$ 的一个周期 B、 $f (x)$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{6}$ 对称 C、 $f (x + π)$ 的一个零点为 $x = \frac{π}{6}$ D、 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递减

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9、如图，在平行四边形ABCD中，E，F分别是CD边上的两个三等分点，则下列选项正确的有（）

A、 $\vec{E F} = \frac{1}{3} \vec{A B}$ B、 $\vec{A F} = \frac{1}{3} \vec{A D} + \frac{2}{3} \vec{A C}$ C、 $\vec{B E} = \vec{C B} - \vec{C E}$ D、 $\vec{A D} + \vec{D C} = \vec{A B} + \vec{B C}$

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10、在2025揭阳马拉松比赛活动中，四位志愿者 $A, B, C, D$ 被随机分配到四个物资发放点（站点 $1 - 4$ ），每人原属站点分别为 $A \to 1, B \to 2, C \to 3, D \to 4$ ．规定每人不能分配到原属站点，则志愿者A被分配到站点4的概率是（）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $\frac{1}{3}$ C、 $\frac{3}{8}$ D、 $\frac{2}{9}$

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11、已知命题 $p : \exists x \in R$ ， $a x^{2} + 2 a x + 3 \geq 0$ 为真命题，则实数 $a$ 的取值范围是（）

A、 $R$ B、 $\{a |a \geq 0\}$ C、 $\{a |a < 0$ 或 $a > 3\}$ D、 $\{a |a > 3\}$

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12、已知函数 $f (x) = 2^{x} + x - \frac{1}{2}, g (x) = \lg x + x - \frac{1}{2}, h (x) = x^{3} + x - \frac{1}{2}$ 的零点分别为 $a, b, c$ ，则 $a, b, c$ 的大小关系为（）

A、 $a > b > c$ B、 $b > c > a$ C、 $c > a > b$ D、 $b > a > c$

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13、已知正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 的棱长均为 $\frac{2}{3}, D$ 为 $A A_{1}$ 的中点，则四面体 $A_{1} B C D$ 的体积为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{81}$ B、 $\frac{2 \sqrt{3}}{81}$ C、 $\frac{\sqrt{3}}{27}$ D、 $\frac{2 \sqrt{3}}{27}$

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14、已知偶函数 $f (x)$ 在区间 $[0, + \infty)$ 上单调递增，则满足 $f (x + 1) < f (2)$ 的 $x$ 的取值范围是（）

A、 $(- \infty, 1)$ B、 $(- 1, 1)$ C、 $(- 3, 1)$ D、 $(- \infty, 1]$

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15、有下列一组数据：2，17，33，15，11，42，34，13，22，则这组数据的上四分位数是（）

A、11 B、13 C、22 D、33

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16、若 $x, y \in R$ ，则“ $x > y$ ”的一个充分不必要条件可以是（）

A、 $x - y > 1$ B、 $x - y > 0$ C、 $\frac{x}{y} > 1$ D、 $| x | > | y |$

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17、已知全集 $U = {x \in Z ∣ 1 ⩽ x < 6}, A = {2, 3, 4}, B = {1, 3, 5}$ ，则 $(∁_{U} B) \cap A =$ （）

A、 ${1, 2}$ B、 ${2, 4}$ C、 ${1, 2, 4}$ D、 ${2, 4, 5}$

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18、已知 $l_{1}, l_{2}$ 是分别经过 $A (1, 1), B (0, - 1)$ 的两条平行直线，当 $l_{1}$ 与 $l_{2}$ 之间的距离最大时，直线 $l_{1}$ 的方程是.

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19、下列命题正确的是（）

A、单位向量均相等 B、任一向量与它的相反向量不相等 C、模为零的向量与任一向量平行 D、模相等的两个共线向量是相同的向量

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20、通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对 $(z_{1}, z_{2})$ （ $z_{1}, z_{2} \in C$ ）看作一个向量，记作 $\vec{a} = (z_{1}, z_{2})$ ，称 $\vec{a}$ 为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于 $\vec{a} = (z_{1}, z_{2})$ ， $\vec{b} = (z_{3}, z_{4})$ （ $z_{1}, z_{2}, z_{3}, z_{4} \in C$ ），我们定义复向量运算法则：①加法： $\vec{a} + \vec{b} =$ $(z_{1} - z_{3}, z_{2} - z_{4})$ ；②减法： $\vec{a} - \vec{b} = (z_{1} + z_{3}, z_{2} + z_{4})$ ；③数乘： $k \otimes \vec{a} = (\bar{k} z_{1}, \bar{k} z_{2}) (k \in C)$ ；④数量积： $\vec{a} \cdot \vec{b} = z_{1} \bar{z_{3}} + z_{2} \bar{z_{4}}$ ；⑤模： $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$ .

(1)、设 $\vec{a} = (1, 2 - i)$ ， $\vec{b} = (1 + i, 2 i)$ ，求 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ 和 $|\vec{a} + \vec{b}|$ ；

(2)、验证复向量结合律： $k \otimes (\vec{a} + \vec{b}) = k \otimes \vec{a} + k \otimes \vec{b}$ 是否成立；

(3)、设 $\vec{a} = (2 + 2 i, 2 i)$ ，集合 $Ω = \{\vec{p} |\vec{p} = (z, z + 2 i), z \in C\}$ ， $\vec{b} \in Ω$ ，求 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 的最小值；并证明当 $|\vec{a} + \vec{b}|$ 取最小值时，对于任意的 $\vec{c} \in Ω$ ， $(\vec{a} + \vec{b}) \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = 0$ .

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样本分数段	$[50, 60)$	$[60, 70)$	$[70, 80)$	$[80, 90)$	[90，100]
频数	10	$a$	30	30	10
频率	0.1	$b$	0.3	0.3	0.1