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相关试卷

1、已知 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是复数，则下列命题错误的是（）

A、若 $z_{1} + z_{2} = 0$ ，则 $|z_{1}| = |z_{2}|$ B、若 $z_{1} + z_{2} < 0$ ，则 $z_{1} < - z_{2}$ C、若 $|z_{1}| = |z_{2}|$ ，则 $z_{1}^{2} = z_{2}^{2}$ D、若 $z_{1}^{2} + z_{2}^{2} = 0$ ，则 $z_{1} = z_{2} = 0$

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2、已知向量 $\vec{a} = (- 4, 2), \vec{b} = (k, 3)$ ，若 $\vec{a} / / \vec{b}$ ，则 $k =$ （）

A、6 B、 $- 6$ C、 $- \frac{3}{2}$ D、 $\frac{3}{2}$

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3、 $\frac{5 - i}{1 + i} =$ （）

A、 $3 - 3 i$ B、 $3 + 3 i$ C、 $2 - 3 i$ D、 $2 + 3 i$

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4、已知函数 $f (x) = x e^{x} - a$ ，则（）

A、 $f (x)$ 在区间 $[0, 2]$ 上单调递增 B、 $f (x)$ 有最大值 $- \frac{1}{e} - a$ C、当 $a = 0$ 时， $y = f (x)$ 的图象过 $(1, 0)$ 的切线有且仅有 $2$ 条 D、关于 $x$ 的方程 $f (x) = 0$ 有两个不等实根，则 $a$ 的取值范围是 $(- \frac{1}{e}, + \infty)$

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5、如图所示，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为矩形， $P A ⊥ A B$ ， $P A = A B = 1$ ， $A D = 2$ ， $E$ ， $F$ 分别是 $B C$ ， $P A$ 的中点．

(1)、求证： $E F / /$ 平面 $P C D$ ；

(2)、若平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C D$ ，求直线 $P D$ 与平面 $D E F$ 所成角的余弦值．

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6、设 $a$ ， $b \in R_{+}$ ，若 $a + 4 b = 4$ ，则 $\frac{\sqrt{a} + 2 \sqrt{b}}{\sqrt{a b}}$ 的最小值为，此时 $a$ 的值为.

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7、我国古代数学典籍九章算术中有一种名为“羡除”的几何体，它由古代的隧道形状抽象而来.如图所示，在五面体 $A B C D E F$ 中， $E F // A D // B C$ ，四边形 $A D E F$ ， $A D C B$ ， $E F B C$ 为等腰梯形，且平面 $A D E F ⊥$ 平面 $A D C B$ .其中 $E F = a$ ， $A D = b$ ， $B C = c$ （ $b > c > a$ ），且 $E F$ 到平面 $A D C B$ 的距离为 $h$ ， $B C$ 和 $A D$ 的距离为 $d$ ，若 $a = 4$ ， $b = 10$ ， $c = 6$ ， $h = 3$ ， $d = 4$ ，则该“羡除”的体积为.

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8、已知集合 $A = \{1, |a - 1|, a + 2\}$ ，且 $2 \in A$ ，则实数 $a$ 的值为．

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9、函数 $y = f (x)$ 在区间 $(- \infty, + \infty)$ 上的图象是一条连续不断的曲线，且满足 $f (3 + x) - f (3 - x) + 6 x = 0$ ，函数 $f (1 - 2 x)$ 的图象关于点 $(0, 1)$ 对称，则（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(1, 1)$ 对称 B、8是 $f (x)$ 的一个周期 C、 $f (x)$ 一定存在零点 D、 $f (101) = - 299$

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10、已知函数 $f (x) = A sin (ω x - \frac{π}{6}) (ω > 0)$ 的图象过点 $(0, - 1)$ ，且两条相邻对称轴之间的距离为 $\frac{π}{2}$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $ω = 2$ B、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上单调递增 C、直线 $x = - \frac{π}{6}$ 为函数 $f (x)$ 图象的一条对称轴 D、 $f (x)$ 在 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域为 $[- 1, 2]$

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11、几何学史上有一个著名的米勒问题：“设 $E, F$ 是锐角 $∠ A P B$ 的一边 $P A$ 上的两点，试在边 $P B$ 上找一点 $Q$ ，使得 $∠ E Q F$ 最大．”如图，其结论是：点 $Q$ 为过 $E, F$ 两点且和射线 $P B$ 相切的圆的切点．根据以上结论解决以下问题：在平面直角坐标系 $x o y$ 中，给定两点 $E (2, 4), F (4, 2)$ ，点 $Q$ 在 $y$ 轴上移动，则 $∠ E Q F$ 的最大值为（）

A、 $30 °$ B、 $45 °$ C、 $60 °$ D、 $135 °$

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12、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，若 $5 a_{5} - 2 S_{5} = 2$ ，则 $3 a_{6} - S_{6} =$ （）．

A、4 B、 $\frac{12}{5}$ C、 $\frac{6}{5}$ D、6

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13、已知方程 $\frac{x^{2}}{k - 2} - \frac{y^{2}}{k - 4} = 1$ 表示的曲线是椭圆，则实数 $k$ 的取值范围是（）．

A、 $(2, 3)$ B、 $(3, 4)$ C、 $(2, 4)$ D、 $(2, 3) \cup (3, 4)$

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14、样本数据15，13，12，31，29，25，43，19，17，38的中位数为（）．

A、19 B、22 C、21 D、18

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15、甲、乙等5位大学生分配到3所单位实习，每人只能到一所单位实习，每所单位至少接收一人，则甲、乙分到同一单位的方案有种．

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16、已经函数 $f (x) = a \cdot e^{2 x + 1} - x$ ， $g (x) = 2 a \cdot x^{2} - x \ln x + x$ ，其中 $a \in R$ .

(1)、若 $a = 0$ ，求 $g (x)$ 的增区间；

(2)、当 $a > 0$ ， $x > e^{2}$ 时，证明不等式 $(\ln x - 1) f (x) > g (x)$ 恒成立；

(3)、若 $f (x)$ 有两个零点，求a的取值范围.

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17、已知 ${(1 + 2 x)}^{n}$ 的展开式中仅有第6项的二项式系数最大（结果用数值作答）.

(1)、求 ${(1 + 2 x)}^{n}$ 的展开式中 $x^{4}$ 的系数；

(2)、令 $f (x) = {(1 + 2 x)}^{n}$ ，证明 $f (27) + 6$ 能被7整除；

(3)、若 ${(1 + 2 x)}^{n} = a_{0} + a_{1} (1 - x) + a_{2} {(1 - x)}^{2} + a_{3} {(1 - x)}^{3} + \dots + a_{n} {(1 - x)}^{n}$ ，求实数 $a_{8}$ .

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18、已经函数 $f (x) = 2 x^{3} + 3 (a - 1) x^{2} - 6 a x + 1$ ，（ $a \in R$ ）.

(1)、若 $a = 2$ ，求 $f (x)$ 的极大值和极小值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性.

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19、在科研经费不断投入和科技人员的努力下，近年来我国在智能手机的设计、生产、销售等方面取得了迅猛的发展.2021年国家统计局数据显示国内智能手机的产量为12.72亿部，产量占全球出货量的90%以上.某商店计划开展某品牌高端智能手机的销售，将采用正常销售，打折销售，清仓销售三种方式共售卖1000台手机.预计每台手机的利润X分别为：正常销售600元，打折销售300元，清仓销售20元，且随机变量X的分布列为
X
a
300
20
P
0.8
b
0.05

(1)、求本次销售的总利润的期望值；

(2)、求 $D (X + 100)$ .

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20、为提高和展示学生的艺术水平，也为了激发学生的爱国热情，某校开展国庆文艺汇演，共有6个节目，其中有两个舞蹈，三个唱歌，一个朗诵，现在要安排演出次序.（结果用数值作答）

(1)、若朗诵节目不在排头，也不在排尾，有多少种不同排法？

(2)、若三个唱歌节目必须相邻，有多少种不同排法？

(3)、求两个舞蹈节目不相邻的概率.

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X	a	300	20
P	0.8	b	0.05