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1、下列选项正确的是（）

A、“ $x > 0$ ”是“ $x > 2$ ”的必要不充分条件 B、若向量 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ C、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \leq 0$ ”的否定是真命题 D、非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则有 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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2、等腰直角三角形ABC中， $A = 90^{°}$ ， $A B = A C, D$ 是斜边BC上一点，且 $B D = 3 D C$ ，则 $\overset{⃑}{A D}$ =（）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A C} + \frac{5}{4} \vec{A B}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{A C} + \frac{1}{4} \vec{A B}$ C、 $\frac{5}{4} \vec{A C} + \frac{1}{4} \vec{A B}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{A C} - \frac{1}{4} \vec{A B}$

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3、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} 2 - x^{2}, x \leq 1 \\ \log_{2} x, x > 1 \end{array}$ ，则 $f (\frac{1}{f (2)})$ 的值为（）

A、1 B、2 C、0 D、 $- 1$

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4、函数 $f (x) = \frac{1}{\sqrt{x - 1}} + {(3 - x)}^{0}$ 的定义域是（）

A、 $[1, 3)$ B、 $(3, + \infty)$ C、 $(1, 3) \cup (3, + \infty)$ D、 $[1, 3) \cup (3, + \infty)$

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5、函数 $f (x) = a ln x + \frac{1}{2} x^{2} - (a + 1) x + \frac{3}{2} (a > 0)$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、当 $a = 1$ 时，若 $f (x_{1}) + f (x_{2}) = 0$ ，求证： $x_{1} + x_{2} \geq 2$ ；

(3)、求证：对于任意 $n \in N^{*}$ 都有 $2 ln (n + 1) + \sum_{i = 1}^{n} {(\frac{i - 1}{i})}^{2} > n$ .

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6、已知 $ω > 0$ ，函数 $f (x) = \cos (ω x + \frac{π}{6})$ ，下列选项正确的有（）

A、若 $f (x)$ 的最小正周期 $T = \frac{π}{2}$ ，则 $ω = 4$ ； B、当 $ω = 2$ 时，函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 后得到 $g (x) = \cos 2 x$ 的图象； C、若 $f (x)$ 在区间 $(\frac{π}{2}, π)$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围是 $[\frac{5}{3}, \frac{11}{6}]$ ； D、若 $f (x)$ 在区间 $[0, π]$ 上有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是 $(\frac{4}{3}, \frac{7}{3}]$ ；

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ ，定义 $S (i, j) = a_{i} + a_{i + 1} + \dots + a_{j}$ ，其中i， $j \in N^{*}$ 且 $i < j .$

(1)、若 $a_{n} = 2 n - 1$ ，求 $S (1, 3)$ 和 $S (4, 6);$

(2)、若 $a_{n} = 2^{n}$ ，证明：对于 $\forall i, j, u, v \in N^{*}$ 且 $i < j$ ， $u < v$ ， $i \neq u$ ，都有 $S (i, j) \neq S (u, v);$

(3)、对于 $k = 3$ ， 4， $\dots$ ， n，设 $T_{k} = {b_{k} | b_{k} = λ_{1} a_{1} + \dots + λ_{n} a_{n} ， λ_{i} \in \{0, 1\} ， S (1, k - 1) < b_{k} \leq S (1, k)} .$ 若正项数列 $\{a_{n}\}$ 为递增数列，求证： $T_{k}$ 中至少有两个不同的元素，且 $T_{k}$ 中最大元素与最小元素之比小于 $2.$

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8、双曲线 $Γ : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 左顶点为A，实轴长是虚轴长的2倍，其左焦点坐标为 $(- \sqrt{5}, 0)$ ，过A点的两条直线分别交双曲线 $Γ$ 的右支于点P，Q，且 $k_{A P} \cdot k_{A Q} = - \frac{1}{8} .$

(1)、求双曲线 $Γ$ 的方程；

(2)、（ⅰ）证明：直线PQ过定点；
（ⅱ）直线AP，AQ，PQ分别交直线 $x = 8$ 于点M，N，T，若 $S_{△ P M T} = S_{△ Q N T}$ ，求PQ的直线方程.

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9、已知函数 $f (x) = a ln x + \frac{1}{x}$ ．

(1)、当 $a = 1$ 时，求 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) \geq 4 - \frac{2}{a} - a^{2}$ ．

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10、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 为平行四边形，其中 $A D ⊥ B D$ ， $P A = P D = A D = B D = 2$ ， $P B = 2 \sqrt{2}$ ，点 $F$ 为棱 $P D$ 上一点.

(1)、当 $F$ 为 $P D$ 的中点时，证明： $A F ⊥ B P$ ；

(2)、若直线 $A F$ 与平面 $P D C$ 的所成角的正弦值为 $\frac{2 \sqrt{7}}{7}$ ，求 $P F$ 的大小.

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11、记锐角 $△ A B C$ 的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $cos (B - A) = cos A + cos C .$

(1)、求B的大小；

(2)、若 $sin A$ ， $sin B$ ， $sin C$ 成等差数列，且 $△ A B C$ 的外接圆半径为1，求 $△ A B C$ 的面积.

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12、某学校篮球队有5名队员做传球训练.第一次由队员甲将球传出，每次传球时传球者都等可能地将球传给另外四人中的任何一人，则第5次传球后球在队员甲手中的概率为.

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13、“米升子”是一种古代专司量米的量器，其形状是上大下小的正四棱台.将“米升子”装满后用手指或筷子沿升子口刮平叫“平升”.现有一“米升子”的缩小模型，上、下两面正方形的边长分别为5 cm和3cm，侧面与上面的夹角为 $\frac{π}{3}$ ，则该“米升子”模型“平升”的容积为 ${cm}^{3} .$

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14、在 ${(\frac{1}{x} + 2 x)}^{5}$ 的展开式中，含 $x^{3}$ 的项的系数为（用数字作答）.

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15、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足： $a_{1} = 1$ ， $a_{2} = 2$ ， $a_{n + 1} = \frac{1}{a_{n}} + a_{n - 1} (n \geq 2)$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $a_{4} = \frac{8}{3}$ B、 $\sum_{k = 1}^{n} \frac{1}{a_{k}} > 2 \sqrt{n + 1} - 2$ C、 $a_{2024} > 45$ D、 $a_{2025} > 45$

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16、已知函数 $f (x) = 2 sin x cos x + \sqrt{3} cos 2 x - 1$ ，则下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的值域为 $[- 3 ， 1]$ B、函数 $f (x)$ 的一条对称轴为 $x = \frac{π}{2}$ C、若函数 $y = f (ω x) (ω > 0)$ 在 $[0 ， \frac{π}{2}]$ 上单调递增，则 $ω$ 的取值范围为 $(0 ， \frac{1}{6}]$ D、设 $f^{'} (x)$ 为函数 $f (x)$ 的导数，则方程 $f^{'} (x) = \frac{3}{2} x - \frac{π}{8}$ 恰有4个不同的实数解

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17、已知随机事件A，B发生的概率分别为 $P (A) = \frac{1}{3}$ ， $P (B) = \frac{1}{2} .$ 事件A，B的对立事件分别为 $\bar{A}$ ， $\bar{B}$ ，则下列结论正确的是（）

A、 $P (\bar{A}) = \frac{2}{3}$ B、若A与B互斥，则 $P (A \cup B) = \frac{5}{6}$ C、若 $P (A B) = P (A) P (B)$ ，则 A，B相互独立 D、 $P (A | B) + P (\bar{A} | B) = P (B)$

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18、已知 $x \in (0, 1)$ ， $y \in (0, + \infty)$ ，满足 $y^{2} + \frac{4}{y^{2}} + 2 y cosπ x - \frac{4 sinπ x}{y} = 0$ ，则xy的值是（）

A、 $\frac{3 \sqrt{2}}{4}$ B、 $\frac{3 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} a^{x - 2} + 1 ， x \leq 2 ， \\ - {(x - 2)}^{2} + 4 a ， x > 2 \end{array} （ a > 0$ 且 $a \neq 1)$ 在R上为单调函数.若方程 $f^{2} (x) - 4 |f (x)| + 3 = 0$ 有4个不同的实数解，则实数a的取值范围是（）

A、 $(0, \frac{1}{2}]$ B、 $[\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ C、 $(\frac{1}{4}, \frac{1}{2}]$ D、 $(\frac{1}{4}, 1)$

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20、若存在实数a，使得直线 $a x + y + b = 0$ 与圆 $x^{2} + {(y - 1)}^{2} = 1$ 相切，则实数b的取值范围是（）

A、 $[0, 2]$ B、 $(- \infty, 0] \cup [2, + \infty)$ C、 $[- 2, 0]$ D、 $(- \infty, - 2] \cup [0, + \infty)$

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