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相关试卷

1、北宋数学家沈括在酒馆看见一层层垒起的酒坛，想求这些酒坛的总数，经过反复尝试，终于得出了长方台形垛积的求和公式.如图，由大小相同的小球堆成的一个长方台形垛积，第一层有 $a b$ $(a = b + 1)$ 个小球，第二层有 $(a + 1) (b + 1)$ 个小球，第三层有 $(a + 2) (b + 2)$ ..........依此类推，最底层有 $c d$ 个小球，共有 $n$ 层.现有一个由小球堆成的长方台形垛积，共 $7$ 层，小球总个数为 $168$ ，则该垛积的第一层的小球个数为（）

A、1 B、2 C、3 D、4

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2、已知函数 $f (x) = \{\begin{cases} |x + \frac{1}{x} + 2|, x < 0 \\ |5^{x} - 2|, x \geq 0 \end{cases}$ ，若存在实数 $t$ ，使得方程 $f (x) = t$ 有 $4$ 个不同的实数根 $x_{1}$ 、 $x_{2}$ 、 $x_{3}$ 、 $x_{4}$ ，且 $x_{1} < x_{2} < x_{3} < x_{4}$ ，则 $\frac{x_{1} + x_{2}}{5^{2 x_{4} - x_{3}}}$ 的取值范围为（）

A、 $(- 2, - \frac{4}{3}]$ B、 $(- \frac{4}{3}, - 1]$ C、 $(- 1, - \frac{1}{3}]$ D、 $(- \frac{1}{3}, 0)$

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3、已知平面 $α$ 与平面 $β$ 是空间中距离为1的两平行平面， $A B \subset α$ ， $C D \subset β$ ，且 $A B = C D = 2$ ， $A B$ 和 $C D$ 的夹角为 $60 °$ .
（1）证明：四面体 $A B C D$ 的体积为定值；
（2）已知 $P \in β$ ，且 $P$ ， $A$ ， $B$ ， $C$ ， $D$ 均在半径为 $\frac{\sqrt{5}}{2}$ 的球面上.当 $P A$ ， $P B$ 与平面 $α$ 的夹角均为 $θ$ 时，求 $\cos θ$ .

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4、某植物园种植一种观赏花卉，这种观赏花卉的高度（单位：cm）介于 $[15, 25]$ 之间，现对植物园部分该种观赏花卉的高度进行测量，所得数据统计如下图所示.

(1)、求 $a$ 的值；

(2)、若从高度在 $[15, 17)$ 和 $[17, 19)$ 中分层抽样抽取5株，在这5株中随机抽取3株，记高度在 $[15, 17)$ 内的株数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列及数学期望 $E (X)$ ；

(3)、以频率估计概率，若在所有花卉中随机抽取3株，求至少有2株高度在 $[21, 25]$ 的条件下，至多 1株高度低于 $23 cm$ 的概率.

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5、第19届亚运会将于2022年9月在杭州举行，志愿者的服务工作是亚运会成功举办的重要保障．某高校承办了杭州志愿者选拔的面试工作．现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95)$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图．已知第三、四、五组的频率之和为0.7，第一组和第五组的频率相同．

(1)、求 $a, b$ 的值；

(2)、估计这100名候选者面试成绩的众数和第60%分位数（分位数精确到0.1）；

(3)、在第四、第五两组志愿者中，现采用分层抽样的方法，从中抽取5人，然后再从这5人中选出2人，以确定组长人选，求选出的两人来自不同组的概率．

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6、如图，下列正方体中， $O$ 为底面的中点， $P$ 为所在棱的中点， $M$ 、 $N$ 为正方体的顶点，则满足 $M N ⊥ O P$ 的是（）

A、③④ B、①② C、②④ D、②③

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7、在 $△ A B C$ 中， $\frac{\vec{B A} \cdot \vec{A C}}{|\vec{B C}|} + \frac{\vec{A C} \cdot \vec{B C}}{|\vec{B C}|} = 0$ ， $\frac{\vec{B C}}{|\vec{B C}|} \cdot \frac{\vec{A B}}{|\vec{A B}|} = \frac{1}{2}$ ，则 $△ A B C$ 的形状为（）

A、直角三角形 B、三边均不相等的三角形 C、等边三角形 D、等腰（非等边）三角形

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8、已知向量 $\vec{a} = (- 1, 0, 3), \vec{b} = (1, - 1, 1), \vec{c} = (- 1, 2 x, 1)$ ，若 $(\vec{a} - \vec{b}) / / \vec{c}$ ，则实数 $x =$ （）

A、 $\frac{1}{4}$ B、 $- \frac{1}{4}$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $- \frac{1}{2}$

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9、如果事件 $A$ 与事件 $B$ 互斥，那么（）条件.

A、 $P (A \cup B) = 1$ B、 $P (A \cap B) = 0$ C、 $\bar{A}$ 与 $\bar{B}$ 一定互斥 D、 $A$ 与 $B$ 一定独立

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10、已知函数 $f (x) = \frac{x}{x^{2} + 1}$ 是定义在区间 $[- 1, 1]$ 上的函数

(1)、判断函数 $f (x)$ 的奇偶性；

(2)、用定义证明函数 $f (x)$ 在区间 $[- 1, 1]$ 上是增函数；

(3)、解不等式 $f (x + \frac{1}{2}) < f (1 - x)$ .

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11、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ)$ （ $A > 0$ ， $ω > 0$ ， $|φ| < π$ ）的部分图象如下图所示．

(1)、求函数 $f (x)$ 的解析式；

(2)、写出函数 $f (x)$ 的单调递增区间；

(3)、将函数 $f (x)$ 图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{4}$ （纵坐标不变），再将所得的函数图象上所有点向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，求 $g (x)$ 在区间 $[0, \frac{π}{2}]$ 上的值域．

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12、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，满足 $a^{2} + c^{2} = b^{2} + a c$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆半径为1，求边长b的值；

(3)、若 $b = 2$ ，求 $△ A B C$ 的面积的最大值．

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13、已知向量 $\vec{a} = (2, 1)$ ， $\vec{b} = (1, - 3)$ ．

(1)、求 $2 \vec{a} - \vec{b}$ ；

(2)、设 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ ，求 $\cos θ$ 的值；

(3)、若向量 $\vec{a} + k \vec{b}$ 与 $\vec{a} - k \vec{b}$ 互相垂直，求k的值．

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14、已知复数 $z_{1} = (3 - b) + (1 - b) i$ ， $z_{2} = \frac{a + 2 i}{1 - i}$ ，其中 $a, b \in R$

(1)、若 $z_{1}$ 为纯虚数，求b的值；

(2)、若 $z_{1}$ 与 $z_{2}$ 互为共轭复数，求 $a + b$ 的值．

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15、已知 $α, β \in (\frac{3 π}{4}, π)$ ， $sin (α + β) = - \frac{3}{5}$ ， $sin (β - \frac{π}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2}$ ，则 $cos (α + \frac{π}{4}) =$ ．

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16、已知 $0 < x < 2$ ，则 $x (2 - x)$ 的最大值为.

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17、已知向量 $\vec{O A} = (1, 2)$ ， $\vec{O B} = (2, 3)$ ， $\vec{O C} = (m + 2, 3 - m)$ ，若点A，B，C能构成三角形，则实数m可以是（）

A、0 B、1 C、 $- 1$ D、 $- 2$

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18、已知函数 $f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{3})$ ，下列结论正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的最小正周期是 $π$ B、函数 $f (x)$ 的图象的一条对称轴为 $x = \frac{π}{6}$ C、函数 $f (x)$ 的图象关于点 $(- \frac{π}{3}, 0)$ 对称 D、函数 $f (x)$ 的图象向右平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度后，得到函数 $g (x) = 2 \cos 2 x$

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19、下列选项正确的是（）

A、“ $x > 0$ ”是“ $x > 2$ ”的必要不充分条件 B、若向量 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ， $\vec{b} ∥ \vec{c}$ ，则 $\vec{a} ∥ \vec{c}$ C、命题“ $\exists x \in R$ ， $x^{2} + x + 1 \leq 0$ ”的否定是真命题 D、非零向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a} + \vec{b}| = |\vec{a} - \vec{b}|$ ，则有 $\vec{a} ⊥ \vec{b}$

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20、等腰直角三角形ABC中， $A = 90^{°}$ ， $A B = A C, D$ 是斜边BC上一点，且 $B D = 3 D C$ ，则 $\overset{⃑}{A D}$ =（）

A、 $\frac{3}{4} \vec{A C} + \frac{5}{4} \vec{A B}$ B、 $\frac{3}{4} \vec{A C} + \frac{1}{4} \vec{A B}$ C、 $\frac{5}{4} \vec{A C} + \frac{1}{4} \vec{A B}$ D、 $\frac{3}{4} \vec{A C} - \frac{1}{4} \vec{A B}$

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