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相关试卷

1、已知 $6$ 件产品中有 $4$ 件合格品和 $2$ 件次品，现从这 $6$ 件产品中分别采用有放回和不放回的方式随机抽取 $2$ 件，设采用有放回的方式抽取的 $2$ 件产品中合格品数为 $X$ ，采用无放回的方式抽取的 $2$ 件产品中合格品数为 $Y$ ．

(1)、求 $P (X \leq 1)$ ；

(2)、求 $Y$ 的分布列及数学期望 $E (Y)$ ；

(3)、比较数学期望 $E (X)$ 与 $E (Y)$ 的大小．

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2、已知集合 $A = \{x | \frac{2 x - 3}{x + 5} < 0\}$ ， $B = \{x | x^{2} + a x + b \leq 0\}$ 且满足 $A \cap B = \emptyset$ ， $A \cup B = \{x | - 5 < x \leq 2\}$ ，求实数 $a$ ， $b$ 的值.

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3、已知函数 $f (x) = e^{x} + e^{- x} - 2 \cos x$ ，则不等式 $f (2 x - 1) < f (x - 2)$ 的解集为.

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4、如图，二面角 $α － l － β$ 的大小为 $60 °$ ，其棱l上有两个点 $A, B$ ，线段 $A C$ 与 $B D$ 分别在这个二面角的两个面内，并且都垂直于棱l．若 $A B ＝ 3, A C ＝ 2, B D ＝ 2,$ 则 $C, D$ 两点间的距离为．

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5、若 $x > 0, y > 0$ ，且 $\frac{1}{x} + y = 2$ ，则 $\frac{y}{x}$ 的最大值为.

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6、我国古代数学名著《九章算术》中将“底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱”称为“堑堵”．现有一如图所示的“暂堵” $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ ，其中 $A B ⊥ B C$ ，若 $B B_{1} = A B = 2, B C = 1$ ，则（）

A、该“堑堵”的体积为2 B、该“堑堵”外接球的表面积为 $9 π$ C、若点P在该“堑堵”上运动，则 $| P A |$ 的最大值为 $2 \sqrt{2}$ D、该“堑堵”上， $A C_{1}$ 与平面 $B B_{1} C_{1} C$ 所成角的正切值为 $\frac{2 \sqrt{5}}{5}$

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7、下列四个命题中假命题是（）

A、 $\forall x \in R$ ， $x^{2} + 3 < 0$ B、 $\forall x \in N$ ， $x^{2} > 1$ C、 $\exists x \in Z$ ，使 $x^{5} < 1$ D、 $\exists x \in Q$ ， $x^{2} = 3$

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8、某地区有 $8000$ 名学生参加某次考试，考试后数学成绩 $X$ 近似服从正态分布 $N (110, σ^{2})$ ，若 $P (90 \leq X \leq 110) = 0.45$ ，则估计该地区学生本次考试数学成绩在 $130$ 分以上的人数为（）

A、 $300$ B、 $400$ C、 $600$ D、 $800$

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9、已知正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，点M在棱 $D D_{1}$ 上，直线 $A C_{1} ⊥$ 平面 $A_{1} B M$ ，则点M的位置是（）

A、点D B、点 $D_{1}$ C、 $D D_{1}$ 的中点 D、不存在

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10、“哥德巴赫猜想”被誉为数学皇冠上的一颗明珠，是数学界尚未解决的三大难题之一．其内容是：“任意一一个大于2的偶数都可以写成两个素数（质数）之和．”若我们将10拆成两个正整数的和，则拆成的和式中，在加数都大于2的条件下，两个加数均为素数的概率是（）．

A、 $\frac{2}{5}$ B、 $\frac{3}{5}$ C、 $\frac{2}{7}$ D、 $\frac{3}{7}$

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11、设函数 $f (x) = x^{3} + (a - 1) x^{2} + a x$ ，若 $f (x)$ 为奇函数，则曲线 $y = f (x)$ 在点 $(1, f (1))$ 处的切线方程为（）

A、 $y = 4 x - 1$ B、 $y = 5 x - 2$ C、 $y = 4 x - 2$ D、 $y = 5 x - 3$

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12、已知函数 $f (x) = 2 {sin}^{2} (\frac{π}{4} + x) - \sqrt{3} cos 2 x$ .

(1)、求函数 $y = f (x)$ 的单调减区间；

(2)、若 $f (x) - m < 2$ 在 $x \in [\frac{π}{4}, \frac{π}{2}]$ 上恒成立，求实数 $m$ 的取值范围；

(3)、若函数 $y = f (ω x) - 1 (ω > 0)$ 在 $(0, \frac{π}{2})$ 上恰有3个零点，求 $ω$ 的取值范围.

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13、某校选拔若干名学生组建数学奥林匹克集训队，要求选拔过程分前后两次进行，当第一次选拔合格后方可进入第二次选拔，两次选拔过程相互独立.根据甲､乙､丙三人现有的水平，第一次选拔，甲､乙､丙三人合格的概率依次为 $0.5, 0.6, 0.4$ ；第二次选拔，甲､乙､丙三人合格的概率依次为 $0.6, 0.5, 0.5$ .

(1)、求第一次选拔后甲､乙两人中只有甲合格的概率；

(2)、求甲、乙、丙经过前后两次选拔后，恰有一人合格的概率.

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14、已知 $|\vec{a}| = \sqrt{2}$ ， $|\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为45°.

(1)、求 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 方向上的投影向量；

(2)、求 $|\vec{a} + 2 \vec{b}|$ 的值；

(3)、若向量 $(2 \vec{a} - λ \vec{b})$ 与 $(λ \vec{a} - 3 \vec{b})$ 平行且方向相同，求实数 $λ$ .

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15、设 $m \in R$ ，复数 $(m^{2} - 5 m + 6) + (m^{2} - 3 m) i$ 是纯虚数.

(1)、求m的值；

(2)、若 $- 2 + m i$ 是方程 $x^{2} + p x + q = 0$ 的一个根，求实数p，q的值.

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16、某圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积为 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$ ，则该圆锥的全面积为．

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17、从1，2，3，4，5这5个数中任取2个，则这2个数字之积大于5的概率为．

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18、已知l，m是两条不同的直线，α，β是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）．

A、若平面α，β垂直同一个平面，则 $α / / β$ B、若 $l ⊥ α$ 且 $m / / α$ ，则 $l ⊥ m$ C、若平面α，β不平行，则在平面α内不存在平行于平面β的直线 D、若 $l / / m$ ，且 $α / / β$ ，则l与α所成的角和m与β所成的角相等

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19、如图，测量河对岸的塔高 $A B$ 时，可以选与塔底 $B$ 在同一水平面内的两个观测点 $C$ ， $D$ ，测得 $∠ B C D = 15 °$ ， $∠ C B D = 30 °$ ， $C D = 10 \sqrt{2} m$ ，并在 $C$ 处测得塔顶 $A$ 的仰角为45°，则塔高 $A B =$ （）

A、 $30 \sqrt{2} m$ B、 $20 \sqrt{3} m$ C、 $30 m$ D、 $20 m$

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20、已知三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥ A B$ ， $P C = 4$ ， $A B = 4 \sqrt{3}$ ， E，F分别是PA，BC的中点，则EF与AB所成的角大小为（）

A、 $\frac{π}{6}$ B、 $\frac{π}{3}$ C、 $\frac{π}{4}$ D、 $\frac{π}{2}$

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