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相关试卷

1、设 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 是非零复数， $\bar{z_{1}}$ ， $\bar{z_{2}}$ 分别是 $z_{1}$ ， $z_{2}$ 的共轭复数，则下列结论中正确的是（）

A、 $z^{2} = | z |^{2}$ B、 $| z_{1} \cdot z_{2} | = | z_{1} | \cdot | z_{2} |$ C、 $\frac{z}{\bar{z}} = \frac{z^{2}}{| z |^{2}}$ D、若 $| z | = 1$ ，则 $| z - 1 - i |$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$

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2、在锐角三角形ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知 $a cos B - b cos A = b$ ，则 $\frac{b}{a + c}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(2 - \sqrt{3}, 1)$ C、 $(2 - \sqrt{3}, \sqrt{2} - 1)$ D、 $(\sqrt{2} + 1, \sqrt{3} + 2)$

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3、在平行四边形 $A B C D$ 中，已知 $A D = B D$ ， $∠ A D B = 90 °$ （如图1），将 $△ A D B$ 沿BD折起到 $△ S D B$ 的位置（如图2），使得平面 $S D B ⊥$ 平面 $B C D$ ，则直线SB与直线CD所成角为（）

A、30° B、60° C、90° D、120°

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4、已知向量 $\vec{a}$ 和 $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 4$ ， $|\vec{b}| = 2$ ，向量 $\vec{a} - \vec{b}$ 在向量 $\vec{a}$ 上的投影向量为 $\frac{3}{4} \vec{a}$ ，则 $|\vec{a} - \vec{b}| =$ （）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、12

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5、若 $k_{1}, k_{2}, \dots, k_{8}$ 的方差为3，则 $2 (k_{1} - 3), 2 (k_{2} - 3), \dots, 2 (k_{8} - 3)$ 的方差为（）

A、3 B、6 C、9 D、12

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6、下列各组向量中，可以作为基底的是（）．

A、 ${\vec{e}}_{1} = (0, 0)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (1, - 2)$ B、 ${\vec{e}}_{1} = (- 1, 2)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (5, 7)$ C、 ${\vec{e}}_{1} = (3, 5)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (6, 10)$ D、 ${\vec{e}}_{1} = (2, - 3)$ ， ${\vec{e}}_{2} = (\frac{1}{2}, - \frac{3}{4})$

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7、已知集合 $A = \{x \in N |2^{x} \leq 32\}, B = {1, 3, 5, 7}$ ，则图中阴影部分所表示的集合为（）

A、 ${0, 2, 4}$ B、 ${2, 4}$ C、 ${0, 4}$ D、 ${2, 4, 5}$

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8、已知 $5 - a = ln a, b = {log}_{4} 3 + {log}_{9} 17, 7^{b} + 24^{b} = 25^{c}$ ，则以下关于 $a, b, c$ 的大小关系正确的是（）

A、 $b > c > a$ B、 $a > c > b$ C、 $b > a > c$ D、 $a > b > c$

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9、记 $S_{n}$ 为等差数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项和．若 $a_{1} = - 2, a_{2} + a_{6} = 2$ ，则 $S_{10} =$ ．

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10、在 $△ A B C$ 中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且 $\cos B + \sin \frac{A + C}{2} = 0$ ．

(1)、求角B的大小；

(2)、若 $a : c = 3 : 5$ ，且AC边上的高为 $\frac{15 \sqrt{3}}{14}$ ，求 $△ A B C$ 的周长．

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11、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中， $P A ⊥$ 平面 $A B C D, P A = A B = A D = 2, D C = 4, D C ∥ A B$ ， $A D ⊥ A B, E$ 是 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $P D ⊥$ 平面 $A B E$ ；

(2)、求 $A C$ 与平面 $A B E$ 所成的角的正弦值.

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12、（1）已知 $A (0, 3)$ 和 $P (3, \frac{3}{2})$ 为椭圆 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 上两点．求C的离心率；
（2）已知双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1$ 经过点 $(2, - 3)$ ，一条渐近线的斜率为 $\sqrt{3}$ ，求双曲线C的方程．

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13、已知函数 $f (x) = x^{3}$ ，若不等式 $f (a x + 1) + f (\ln \frac{1}{x}) > 0$ 在 $(0, + \infty)$ 上恒成立，则实数 $a$ 的取值范围是．

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14、已知随机变量 $X$ 服从正态分布 $N (1, σ^{2})$ ，且 $P (1 < X \leq 4) = 0.3$ ，则 $P (X > 4) =$ ．

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15、有三个相同的箱子，分别编号 $1, 2, 3$ ，其中 $1$ 号箱内装有 $1$ 个红球、 $4$ 个白球， $2$ 号箱内装有 $2$ 个红球、 $3$ 个白球， $3$ 号箱内装有 $3$ 个红球，这些球除颜色外完全相同．某人等可能从三个箱子中任取一箱并从中摸出一个球，事件 $A_{i}$ 表示“取到 $i$ 号箱 $(i = 1, 2, 3)$ ”，事件 $B$ 表示“摸到红球”，事件 $C$ 表示“摸到白球”，则（）

A、 $P (B |A_{1}) = \frac{1}{5}$ B、 $P (B |A_{1}) + P (C |A_{1}) = P (A_{1})$ C、 $P (B) = \frac{7}{15}$ D、 $P (A_{1} |B) = \frac{1}{8}$

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16、下列结论正确的有（）

A、若 $y = 2 x^{3} + 3 x^{2} - x + 1$ ，则 $y^{'} = 6 x^{2} + 6 x - 1$ B、若 $y = \cos \frac{π}{3}$ ，则 $y^{'} = - \sin \frac{π}{3}$ C、若 $y = \ln (2 x + 1)$ ，则 $y^{'} = \frac{2}{2 x + 1}$ D、若 $y = \frac{x}{e^{x}}$ ，则 $y^{'} = \frac{1 - x}{e^{x}}$

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17、易经是中国传统文化中的精髓，如图所示的是易经八卦(含乾､坤､巽､震､坎､离､艮､兑八卦)，每一卦由三根线组成(“——”表示一根阳线，“— —”表示一根阴线).现从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中至少有两根阳线的概率为（）

A、 $\frac{23}{28}$ B、 $\frac{25}{28}$ C、 $\frac{13}{14}$ D、 $\frac{27}{28}$

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18、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n + 1} - a_{n} = 1$ ，若 $a_{8} = - 10, a_{m} = 0$ ，则 $m =$ （）

A、28 B、13 C、18 D、2

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19、已知函数 $f (x) = a x + \frac{a - 1}{x} + 1 - 2 a, a > 0$ ．

(1)、若当 $x \in [1, + \infty)$ 时， $f (x) \geq ln x$ ，求 $a$ 的取值范围；

(2)、证明： $1 + \frac{1}{2} + \frac{1}{3} + \dots + \frac{1}{n} > ln (n + 1) + \frac{n}{2 (n + 1)} (n \in N^{*})$ ．

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20、甲、乙两个不透明的箱子中各装有9个大小和质地完全相同的球．其中甲箱中有4个白球，5个黑球乙箱中有7个白球，2个黑球．

(1)、若采用不放回抽取的方式，且规定：取出一个白球得2分，取出一个黑球得1分．现从甲箱中任取2个球．设取出的2个球的得分的和为 $X$ ．求随机变量 $X$ 的分布列；

(2)、现从甲箱中任取2个球放入乙箱中，然后再从乙箱中任取一个球，求从乙箱中取出的这个球是黑球的概率．

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