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相关试卷

1、已知锐角 $△ A B C$ 中，内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别为 $a$ ， $b$ ， $c$ ，若 $\frac{\cos A}{2 \cos B} = \sin (C - \frac{π}{6})$ ，且 $b^{2} - {(a - c)}^{2} = 6$ ，

(1)、求 $B$ ；

(2)、若 $B D$ 为 $A C$ 边上的高，过点 $D$ 分别作边 $A B$ 、 $B C$ 的垂线，垂足分别为 $M$ 、 $N$ ，
（ⅰ）求证： $B D^{2} = \frac{27}{a^{2} + c^{2} - 6}$ ；
（ⅱ）求 $M N$ 的最大值．

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2、在路边安装路灯，灯柱 $A B$ 与地面垂直(满足 $∠ B A D = 90 °$ )，灯杆 $B C$ 与灯柱 $A B$ 所在平面与道路垂直，且 $∠ A B C = 120 °$ ，路灯 $C$ 采用锥形灯罩，射出的光线如图中阴影部分所示，已知 $∠ A C D = 60 °$ ，路宽 $A D = 24 m$ .设灯柱高 $A B = h (m)$ ， $∠ A C B = θ (30 ° \leq θ \leq 45 °)$ .
（1）当 $θ = 30 °$ 时，求四边形 $A B C D$ 的面积；
（2）求灯柱的高 $h$ (用 $θ$ 表示)；
（3）若灯杆 $B C$ 与灯柱 $A B$ 所用材料相同，记此用料长度和为 $S$ ，求 $S$ 关于的函数表达式，并求出 $S$ 的最小值.

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3、已知向量 $\vec{a} = (3 ， 4) ， \vec{b} = (x ， - 3)$ .

(1)、当 $(\vec{a} + \vec{b}) ⊥ (\vec{a} - \vec{b})$ 且 $x > 0$ 时，求 $|\vec{a} - \vec{b}|$ ；

(2)、当 $\vec{c} = (3 ， 7) ， \vec{a} / / (\vec{b} + \vec{c})$ 时，求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 夹角的余弦值.

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4、已知复数 $z = 4 + a i$ ，其中 $a$ 是正实数， $i$ 是虚数单位

(1)、如果 $z^{2}$ 为纯虚数，求实数 $a$ 的值；

(2)、如果 $a = 2$ ， $z_{1} = \frac{z}{1 - i}$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + b x + c = 0 (b, c \in R)$ 的一个复根，求 $b + c$ 的值.

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5、记 $△ A B C$ 的内角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，且 ${sin}^{2} C + cos 2 C = \frac{3}{4}$ ．角 $C$ 的大小为．

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6、化简： $\frac{2 \sin (π - α) + \sin 2 α}{2 \cos^{2} \frac{α}{2}} - \cos (\frac{3}{2} π - α) =$ .

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7、函数 $f (x) = 2 \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x + 2 \cos^{2} ω x - 1$ （ $0 < ω < 1$ ）的图象如图所示，则（）

A、 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ B、 $y = f (2 x + \frac{π}{3})$ 是奇函数 C、 $y = f (x + \frac{π}{6}) \cos x$ 的图象关于直线 $x = \frac{π}{12}$ 对称 D、若 $y = f (t x)$ （ $t > 0$ ）在 $[0, π]$ 上有且仅有两个零点，则 $t \in [\frac{11}{6}, \frac{17}{6})$

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8、已知复数 $z = - 1 + 3 i$ ， $\bar{z}$ 为 $z$ 的共轭复数，则（）

A、 $\bar{z}$ 的虚部是 $- 3 i$ B、 $|z + 3 - 2 i| = \sqrt{5}$ C、 $|z \bar{z}| = z^{2}$ D、 $\bar{z}$ 是方程 $x^{2} + 2 x + 10 = 0$ 的一个根

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9、在 $△ A B C$ 中，内角 $A, B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，则下列判断正确的是（）

A、 $B = 30^{\circ}$ ， $c = 4$ ， $b = 5$ ，有两解 B、 $B = 30^{\circ}$ ， $c = 4$ ， $b = 3.9$ ，有一解 C、 $B = 30^{\circ}$ ， $c = 4$ ， $b = 3$ ，有一解 D、 $B = 30^{\circ}$ ， $c = 4$ ， $b = 1$ ，无解

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10、已知向量 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 的投影向量为 $- \frac{\sqrt{3}}{2} \vec{b}$ ，且 $\vec{b} = (1, - 1)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ （）

A、 $\sqrt{3}$ B、 $- \frac{\sqrt{3}}{4}$ C、 $- \frac{\sqrt{3}}{2}$ D、 $- \sqrt{3}$

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11、如图所示，为测量一树的高度，在地面上选取 $A, B$ 两点，从 $A, B$ 两点测得树尖的仰角分别为 $30^{\circ}$ 和 $45^{\circ}$ ，且 $A, B$ 两点之间的距离为 $80 m$ ，则树的高度为（）

A、 $(40 + 40 \sqrt{3}) m$ B、 $(40 + 20 \sqrt{3}) m$ C、 $(20 + 40 \sqrt{3}) m$ D、 $(20 + 4 \sqrt{3}) m$

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12、已知复数 $z$ 满足 $(z - 1) i = 1 + i^{2} + i^{3} + i^{4} + i^{5}$ ，则（）

A、 $z = - 1 + i$ B、 $z = - 1 - i$ C、 $z = 1 - i$ D、 $z = 1 + i$

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13、已知函数 $f (x) = \sin^{2} x + \sqrt{3} \sin x \cos x$ .

(1)、求其最小正周期；

(2)、当 $x \in [- \frac{π}{3}, \frac{π}{6}]$ 时，求函数 $f (x)$ 的值域.

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14、已知两个非零向量 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 不共线.

(1)、若 $\vec{A B} = \vec{a} + \vec{b}, \vec{B C} = 2 \vec{a} + 8 \vec{b}, \vec{C D} = 3 (\vec{a} - \vec{b})$ ，求证： $A, B, D$ 三点共线；

(2)、试确定实数 $k$ ，使 $k \vec{a} + \vec{b}$ 和 $\vec{a} + k \vec{b}$ 共线.

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15、已知复数 $z = (m^{2} - m) + (m - 1) i(m \in R)$ .

(1)、若z为实数，求m值：

(2)、若z为纯虚数，求m值；

(3)、若复数z对应的点在第一象限，求m的取值范围.

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16、 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (m, 4)$ ，向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 夹角为锐角，则 $m$ 的取值范围为.

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17、已知关于x的方程 $x^{2} - p x + 25 = 0 (p \in R)$ 的两根为 $x_{1}, x_{2}$ ，若 $x_{1} = 3 + 4 i$ ，则实数p的值为.

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18、函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) (A > 0, ω > 0, |φ| < \frac{π}{2})$ 的部分图象如图所示，将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $\frac{π}{3}$ 个单位长度后得到 $y = g (x)$ 的图象，则下列说法正确的是（）

A、函数 $g (x)$ 为奇函数 B、函数 $g (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $g (x)$ 的图象的对称轴为直线 $x = k π + \frac{π}{6} (k \in Z)$ D、函数 $g (x)$ 的单调递增区间为 $[- \frac{5 π}{12} + k π, \frac{π}{12} + k π] (k \in Z)$

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19、已知两个非零单位向量 ${\vec{e}}_{1}$ ， ${\vec{e}}_{2}$ 的夹角为 $θ$ .以下结论正确的是（）

A、不存在 $θ$ ，使 ${\vec{e}}_{1} \cdot {\vec{e}}_{2} = \sqrt{2}$ B、 $|{\vec{e}}_{1} - 2 {\vec{e}}_{2}| = |2 {\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}|$ C、 $({\vec{e}}_{1} - {\vec{e}}_{2}) ⊥ ({\vec{e}}_{1} + {\vec{e}}_{2})$ D、 ${\vec{e}}_{1}$ 在 ${\vec{e}}_{2}$ 方向上的投影向量的模为 $\sin θ$

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20、点 $A$ ， $B$ ， $C$ 在圆 $O$ 上，若 $|A B| = 2$ ， $∠ A C B = 30 °$ ，则 $\overset{⃑}{O C} \cdot \overset{⃑}{A B}$ 的最大值为（）

A、3 B、 $2 \sqrt{3}$ C、4 D、6

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