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相关试卷

1、如图所示，在三棱锥 $S - A B C$ 中， $S A = S C = \frac{A B}{2} = 2$ ， $A C = B C = 2 \sqrt{2}$ ， $S B = 2 \sqrt{3} .$

(1)、求证：平面 $S A C ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若 $\vec{D S} = \frac{1}{5} \vec{B S}$ ，求直线 $C D$ 与平面 $S A B$ 所成角的正弦值．

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2、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的各项均为正数， $a_{1} = 2$ ， $a_{5} + a_{9} = 5 a_{3}$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、若数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{1} = 1$ ， $a_{n} b_{n} = a_{n + 2} b_{n + 1} (n \in N^{*})$ ，求 ${b_{n}}$ 的通项公式及其前 $n$ 项和 $S_{n}$ ．

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3、若斜率为 $1$ 的直线 $l$ 与曲线 $y = l n (x + a)$ 和圆 $x^{2} + y^{2} = \frac{1}{2}$ 都相切，则实数 $a$ 的值为( )

A、 $- 1$ B、 $0$ C、 $2$ D、 $0$ 或 $2$

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4、若向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $| \vec{a} | = 4$ ， $| \vec{b} | = 3$ ，且 $(2 \vec{a} - 3 \vec{b}) \cdot (2 \vec{a} + \vec{b}) = 61$ ，则 $\vec{a}$ 在 $\vec{b}$ 上的投影向量为( )

A、 $- \frac{1}{2} \vec{b}$ B、 $- \frac{1}{3} \vec{b}$ C、 $\frac{2}{3} \vec{b}$ D、 $- \frac{2}{3} \vec{b}$

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5、若数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2$ ， $a_{2} = 3$ ， $a_{n} = \frac{a_{n - 1}}{a_{n - 2}} (n \geq 3$ 且 $n \in N^{*})$ ，则 $a_{100} =$ ( )

A、 $3$ B、 $2$ C、 $\frac{1}{2}$ D、 $\frac{2}{3}$

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6、已知复数 $z$ 满足 $(1 + i) z = 3 + 5 i (i$ 是虚数单位 $)$ ，则 $| z | =$ ( )

A、 $\sqrt{15}$ B、 $4$ C、 $\sqrt{17}$ D、 $5$

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7、已知曲线 $f (x) = a e^{x} - x + b$ 在 $x = 0$ 处的切线过点 $(1, a^{2} + 2 a - 1)$ .

(1)、试求 $b - a^{2}$ 的值；

(2)、讨论 $f (x)$ 的单调性；

(3)、证明：当 $a > 0$ 时， $f (x) > 2 l n a + \frac{3}{2}$ .

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8、某商场举行“庆元宵，猜谜语”的促销活动，抽奖规则如下：在一个不透明的盒子中装有若干个标号为 $1, 2, 3$ 的空心小球，球内装有难度不同的谜语.每次随机抽取2个小球，答对一个小球中的谜语才能回答另一个小球中的谜语，答错则终止游戏.已知标号为 $1, 2, 3$ 的小球个数比为 $1 : 2 : 1$ ，且盒中2号球的个数为4.

(1)、求取到异号球的概率；

(2)、若甲抽到1号球和3号球，甲答对球中谜语的概率和对应奖金如下表所示，请帮甲决策猜谜语的顺序.（猜对谜语的概率相互独立）
球号
1号球
3号球
答对概率
0.8
0.5
奖金
200
500

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9、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，平面 $P A D ⊥$ 平面 $A B C D, A B$ $∥$ $C D, ∠ A B C = 9 0^{∘}, A B = 2 B C = 2 C D = 4, P A = P D$ .

(1)、证明： $B D ⊥$ 平面 $P A D$ ；

(2)、若 $P$ 到 $A D$ 的距离为 $\sqrt{2}$ ，点 $N$ 为线段 $A P$ 的中点，设平面 $N C D$ 与平面 $P B D$ 的交线为 $l$ ，求直线 $l$ 与平面 $P A B$ 所成角的正弦值.

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10、会员足够多的某知名咖啡店，男会员占 $40 %$ ，女会员占 $60 %$ .现对会员进行服务质量满意度调查.根据调查结果得知，男会员对服务质量满意的概率为 $\frac{5}{8}$ ，女会员对服务质量满意的概率为 $\frac{5}{6}$ .

(1)、随机选取一名会员，求其对服务质量满意的概率；

(2)、从会员中随机抽取3人，记抽取的3人中，对服务质量满意的人数为 $X$ ，求 $X$ 的分布列和数学期望.

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11、已知数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = 3 a_{n} + 2 (n \in N^{*})$ .

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = n (a_{n} + 1)$ ，求数列 ${b_{n}}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n}$ .

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12、在数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 1, a_{2} = - 4$ .数列 ${b_{n}}$ 满足 $b_{n} = a_{n + 1} - a_{n} (n \in N^{*})$ .若 ${b_{n}}$ 是公差为1的等差数列，则 ${b_{n}}$ 的通项公式为 $b_{n} =$ ； $a_{n}$ 的最小值为.（第一空2分，第二空3分）

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13、已知圆 $C_{1} : (x + 2)^{2} + (y - 2)^{2} = 9$ ，圆 $C_{2} : x^{2} + y^{2} - 2 x - 6 y + 9 = 0$ ，直线 $l$ 分别与圆 $C_{1}$ 和圆 $C_{2}$ 切于 $M, N$ 两点，则线段 $M N$ 的长度为.

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14、为深入学习贯彻党的二十大精神，推动全市党员干部群众用好“学习强国”学习平台，某单位组织“学习强国”知识竞赛，竞赛共有10道题目，随机抽取3道让参赛者回答，规定参赛者至少要答对其中2道才能通过初试.已知某参赛党员甲只能答对其中的6道，那么党员甲抽到能答对题目数 $X$ 的数学期望为.

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15、已知函数 $f (x)$ 在 $R$ 上可导，其导函数 $f^{'} (x)$ 满足 $\frac{f^{'} (x) - f (x)}{x - 3} < 0$ 且 $f^{'} (3) = f (3)$ ，令 $g (x) = \frac{f (x)}{e^{x}}$ ，则（）

A、函数 $g (x)$ 的单调递减区间为 $(3, + ∞)$ B、 $x = 3$ 是函数 $g (x)$ 的极大值点 C、函数 $g (x)$ 必有零点 D、 $e^{4} f (- 2) < f (2)$

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16、已知椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (0 < b < 3)$ 的左､右焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，过点 $F_{1}$ 的直线 $l$ 交椭圆于 $A, B$ 两点，若 $| A B |$ 的最小值为4，则（）

A、椭圆的短轴长为 $\sqrt{6}$ B、 $| A F_{2} | + | B F_{2} |$ 的最大值为8 C、离心率为 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ D、椭圆上不存在点 $P$ ，使得 $∠ F_{1} P F_{2} = 9 0^{∘}$

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17、在 ${(\frac{1}{x} - 2 \sqrt{x})}^{6}$ 的展开式中，下列说法正确的是（）

A、各二项式系数的和为64 B、各项系数的绝对值的和为729 C、有理项有3项 D、常数项是第5项

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18、“米”是象形字，数学探究课上，某同学用抛物线 $C_{1} : y^{2} = - 2 p x (p > 0), C_{2} : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 构造了一个类似“米”字形的图案，如图所示，若抛物线 $C_{1}, C_{2}$ 的焦点分别为 $F_{1}, F_{2}$ ，点 $P$ 在抛物线 $C_{1}$ 上，过点 $P$ 作 $x$ 轴的平行线交抛物线 $C_{2}$ 于点 $Q$ ，若 $| P F_{1} | = 2 | P Q | = 8$ ，则 $p =$ （）

A、4 B、6 C、8 D、12

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19、已知随机变量 $ξ$ 的分布列是
$ξ$
-2
0
2
$P$
$\frac{1}{2}$
$\frac{2 - p}{4}$
$\frac{p}{4}$
随机变量 $η$ 的分布列是
$η$
3
5
7
$P$
$\frac{1}{2}$
$\frac{2 - p}{4}$
$\frac{p}{4}$
下列选项中正确的是（）

A、 $E (ξ) = E (η)$ B、 $D (ξ) > D (η)$ C、当 $p$ 增大时， $E (ξ)$ 递增 D、当 $p$ 增大时， $D (η)$ 递减

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20、函数 $f (x) = {\begin{array}{l} 4^{x}, x ⩽ 0, \\ {(\frac{1}{4})}^{x}, x > 0 \end{array}$ 是（）

A、偶函数，且没有极值点 B、偶函数，且有一个极值点 C、奇函数，且没有极值点 D、奇函数，且有一个极值点

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球号	1号球	3号球
答对概率	0.8	0.5
奖金	200	500

$ξ$	-2	0	2
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2 - p}{4}$	$\frac{p}{4}$

$η$	3	5	7
$P$	$\frac{1}{2}$	$\frac{2 - p}{4}$	$\frac{p}{4}$