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相关试卷

1、已知集合 $A = {x | 1 < 3^{x} \leq 9}$ ， $B = {x \in Z | x \geq 1}$ ，则 $A \cap B =$ ( )

A、 $(1,2]$ B、 ${1,2}$ C、 $[1,2]$ D、 ${1}$

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2、某中医药研究所研制出一种新型抗癌药物，服用后需要检验血液是否为阳性，现有n（n∈N^*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验n次；（2）混合检验，将其中k（k∈N^* ， 2≤k≤n）份血液样本分别取样混合在一起检验，若结果为阴性，则这k份的血液全为阴性，因而这k份血液样本只需检验一次就够了：若检验结果为阳性，为了明确这k份血液究竟哪份为阳性，就需要对这k份再逐份检验，此时这k份血液的检验次数总共为k+1次．假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是相互独立的，且每份样本是阳性的概率为p（0＜p＜1）．

(1)、假设有6份血液样本，其中只有两份样本为阳性，若采取逐份检验的方式，求恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率．

(2)、现取其中的k（k∈N^* ， 2≤k≤n）份血液样本，记采用逐份检验的方式，样本需要检验的次数为ξ₁；采用混合检验的方式，样本需要检验的总次数为ξ₂ ．
（ⅰ）若Eξ₁＝Eξ₂ ，试运用概率与统计的知识，求p关于k的函数关系p＝f（k）；
（ⅱ）若 $p = 1 - \frac{1}{\sqrt[4]{e}}$ ，采用混合检验的方式需要检验的总次数的期望比逐份检验的总次数的期望少，求k的最大值．（ln4＝1.386，ln5＝1.609，ln6＝1.792，ln7＝1.946，ln8＝2.079，ln9＝2.197）

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3、已知函数f（x）＝x²﹣2ax+2lnx ．

(1)、当 $a = 2 \sqrt{2}$ 时，求曲线y＝f（x）的单调减区间；

(2)、若y＝f（x）有两个极值点x₁ ， x₂ ，且x₁＜x₂ ， $a \geq \frac{5}{2}$ ，若不等式f（x₁）≥mx₂恒成立，求实数m的取值范围．

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4、随着人工智能的进一步发展，ChatGPT逐渐进入大众视野．ChatGPT是一种基于人工智能的语言模型，具备卓越的自然语言处理能力、广泛的知识覆盖范围和富有创造性的回答能力，是人们学习、工作与生活中的出色助手．尽管如此，也有部分人认为ChatGPT会对人类未来工作产生威胁，由于其在提高工作效率方面的出色表现，将在未来取代一部分人的职业．现对200家IT企业开展调查，统计每家企业一年内应用ChatGPT的广泛性及招聘人数的增减，得到数据结果统计如下表所示：

20．附： $x^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中n＝a+b+c+d ．

α	0.1	0.05	0.01
x_a	2.706	3.841	6.635

ChatGPT应用广泛性

招聘人数减少

招聘人数增加

合计

广泛应用

110

没有广泛应用

合计

100

200

(1)、根据小概率α＝0.01的独立性检验，是否有99%的把握认为IT企业招聘人数的增减与ChatGPT应用的广泛性有关？

(2)、用频率估计概率，从招聘人数减少的企业中随机抽取30家企业，记其中广泛应用ChatGPT的企业有X家，事件“X＝k”的概率为P（X＝k）．求X的分布列并计算使P（X＝k）取得最大值时k的值．

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5、已知直三棱柱ABC﹣A₁B₁C₁中，侧面AA₁B₁B为正方形，AB＝BC＝2，E ， F分别为AC和CC₁的中点，D为棱A₁B₁上的点，BF⊥A₁B₁ ．

(1)、证明：BF⊥DE；

(2)、当B₁D为何值时，面BB₁C₁C与面DFE所成的二面角的正弦值最小？

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6、端午节吃粽子是我国的传统习俗．设一盘中装有10个粽子，其中豆沙粽2个，肉粽3个，白粽5个，这三种粽子的外观完全相同．从中任意选取3个．

(1)、求三种粽子各取到1个的概率；

(2)、设X表示取到的豆沙粽个数，求X的分布列；

(3)、设Y表示取到的粽子的种类，求Y的分布列．

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7、已知F₁、F₂为椭圆 $\frac{x^{2}}{a^{2}} + \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > b > 0)$ 的左、右焦点，点P为该椭圆上一点，且满足∠F₁PF₂＝60°，若△PF₁F₂的外接圆面积是其内切圆面积的64倍，则该椭圆的离心率为．

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8、某公司有5万元资金用于投资开发项目，如果成功，一年后可获利12%，一旦失败，一年后将丧失全部资金的50%，如下表是过去200例类似项目开发的实施结果：
投资成功
投资失败
192次
8次
则该公司一年后估计可获收益的期望是（元）．

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9、过点（﹣1，1）与曲线f（x）＝ln（x+1）﹣3e^x+2相切的直线方程为．

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10、将两个各棱长均为1的正三棱锥D﹣ABC和E﹣ABC的底面重合，得到如图所示的六面体，则（）

A、该几何体的表面积为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ B、该几何体的体积为 $\frac{\sqrt{3}}{6}$ C、过该多面体任意三个顶点的截面中存在两个平面互相垂直 D、直线AD∥平面BCE

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11、若f（x）图象上存在两点A ， B关于原点对称，则点对[A ， B]称为函数f（x）的“友情点对”（点对[A ， B]与[B ， A]视为同一个“友情点对”）若 $f (x) = \{\begin{matrix} \frac{x^{3}}{e^{x}}, x \geq 0 \\ a x^{2}, x < 0 \end{matrix}$ 恰有两个“友情点对”，则实数a的值可以是（）

A、0 B、 $- \frac{1}{2018}$ C、 $- \frac{1}{e}$ D、 $- \frac{1}{2021}$

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12、下列说法中正确的是（）
附：χ²独立性检验中几个常用的概率值与相应的临界值
α
0.1
0.05
0.01
χ_a
2.706
3.841
6.635

A、已知离散型随机变量 $X ~ B (4, \frac{1}{3})$ ，则 $D (3 X + 2) = \frac{14}{3}$ B、一组数据148，149，154，155，155，156，157，158，159，161的第75百分位数为158 C、若 $P (A) = \frac{1}{4}$ ， $P (\bar{B}) = \frac{2}{3}$ ， $P (A B) = \frac{1}{12}$ ，则事件A与B相互独立 D、根据分类变量x与y的观测数据，计算得到χ²＝3.154，依据α＝0.05的独立性检验可得：变量x与y独立，这个结论错误的概率不超过0.05

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13、已知f（x）＝x﹣lnx ，函数f（x）的导函数为f^'（x），则下列说法正确的是（）

A、f^'（1）＝0 B、单调递增区间为（1，+∞） C、f（x）的极大值为1 D、方程f（x）＝1有两个不同的解

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14、已知 $f (x) = x \log_{2} (\sqrt{4 x^{2} + 1} + 2 x) - c o s x$ ，且 $a = f (\log_{2} \frac{1}{3})$ ， $b = f ({0.9}^{0.1})$ ， $c = f (\log_{3} 4)$ ，则a ， b ， c的大小关系为（）

A、a＞b＞c B、b＞a＞c C、c＞b＞a D、a＞c＞b

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15、已知函数f（x）＝x³﹣3x²+3在区间（a ， a+6）上存在最小值，则实数a的取值范围为（）

A、[﹣1，2） B、 $[- \frac{5}{2}, 1)$ C、 $[- 2, \frac{3}{2})$ D、[﹣1，1）

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16、随机变量ξ服从标准正态分布N（0，1），已知P（ξ≤﹣1.96）＝0.025，则P（|ξ|＜1.96）等于（）

A、0.025 B、0.050 C、0.950 D、0.975

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17、已知双曲线C经过点（0，1），离心率为 $\sqrt{2}$ ，则C的标准方程为（）

A、x²﹣y²＝1 B、 $x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ C、y²﹣x²＝1 D、 $y^{2} - \frac{x^{2}}{3} = 1$

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18、对于一组具有线性相关关系的数据（x_i ， y_i）（i＝1，2，3，……，n），根据最小二乘法求得回归直线方程为 $\bar{y} = \bar{b} x + \bar{a}$ ，则以下说法正确的是（）

A、至少有一个样本点落在回归直线 $\bar{y} = \bar{b} x + \bar{a}$ 上 B、预报变量y的值由解释变量x唯一确定 C、相关指数R²越小，说明该模型的拟合效果越好 D、在残差图中，残差点分布水平带状区域的宽度越窄，则回归方程的预报精确度越高

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19、函数y＝cosx•lnx的导函数为（）

A、 $y' = s i n x ∙ l n x + \frac{c o s x}{x}$ B、 $y' = - s i n x ∙ l n x + \frac{c o s x}{x}$ C、 $y' = - \frac{s i n x}{x}$ D、 $y' = \frac{s i n x}{x}$

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20、已知函数. $f (x) = l n (x + 2) .$

(1)、已知直线l过点( $(- 1, 5),$ 且直线l与曲线 $y = f (x)$ )在x=-1处的切线方程平行，求直线l的方程；

(2)、证明： $e ˣ \geq x + 1;$

(3)、若函数 $ℎ (x) = f (x) - a (x + 2)$ )有且只有两个零点，求a的取值范围.

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