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相关试卷

1、设 $m ， n$ 是两条不同的直线， $a, β$ 是两个不同的平面，则下列命题正确的是（）

A、若 $m // α, n // α$ ，则 $m // n$ B、若 $α // β, m \subset α, n \subset β$ ，则 $m // n$ C、若 $m ⊥ α, n ⊥ β, n ⊥ m$ ，则 $a ⊥ β$ D、若 $α \cap β = m, n \subset α, n ⊥ m$ ，则 $n ⊥ β$

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2、设向量 $\vec{a} = (1, 1)$ ， $\vec{b} = (3, - 2)$ ，则 $3 \vec{a} - 2 \vec{b} =$ （）

A、 $(- 3 \begin{matrix} , & 7) \end{matrix}$ B、 $(0 \begin{matrix} , & 7) \end{matrix}$ C、 $(3 \begin{matrix} , & 5) \end{matrix}$ D、 $(- 3 \begin{matrix} , & 5) \end{matrix}$

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3、某校高一年级有学生1800人，高二年级有学生1500人，高三年级有1200人，为了调查学生的视力状况，采用分层抽样的方法抽取学生，若在抽取的样本中，高一年级的学生有60人，则该样本中高三年级的学生人数为 $($ $)$

A、60 B、50 C、40 D、30

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4、给出以下三个材料：
$①$ 若函数 $f (x)$ 的导数为 $f^{'} (x)$ ， $f^{'} (x)$ 的导数叫做 $f (x)$ 的二阶导数，记作 $f ″ (x) .$ 类似地，二阶导数 $f^{'}^{'} (x)$ 的导数叫做 $f (x)$ 的三阶导数，记作 $f^{(3)} (x)$ ，三阶导数 $f^{(3)} (x)$ 的导数叫做 $f (x)$ 的四阶导数 $\dots$ ，一般地， $n - 1$ 阶导数的导数叫做 $f (x)$ 的 $n$ 阶导数，即 $f^{(n)} (x) = [f^{(n - 1)} (x)]^{'}$ ， $n \geq 4;$
$②$ 若 $n \in N^{*}$ ，定义 $n! = n \times (n - 1) \times (n - 2) \times \dots \times 3 \times 2 \times 1;$
$③$ 若函数 $f (x)$ 在包含 $x_{0}$ 的某个开区间 $(a, b)$ 上具有 $n$ 阶的导数，那么对于 $\forall x \in (a, b)$ 有 $g (x) = f (x_{0}) + \frac{f^{'} (x_{0})}{1!} (x - x_{0}) + \frac{f^{'}^{'} (x_{0})}{2!} (x - x_{0})^{2} + \frac{f^{'}^{'}^{'} (x_{0})}{3!} (x - x_{0})^{3} + \dots + \frac{f^{(n)} (x_{0})}{n ！} (x - x_{0})^{n}$ ，我们将 $g (x)$ 称为函数 $f (x)$ 在点 $x = x_{0}$ 处的 $n$ 阶泰勒展开式 $.$ 例如， $y = e^{x}$ 在点 $x = 0$ 处的 $n$ 阶泰勒展开式为 $1 + x + \frac{1}{2} x^{2} + \dots + \frac{1}{n!} x^{n} .$ 根据以上三段材料，完成下面的题目：

(1)、若 $f_{1} (x) = c o s x$ ， $f_{2} (x) = s i n x$ 在点 $x = 0$ 处的 $3$ 阶泰勒展开式分别为 $g_{1} (x)$ ， $g_{2} (x)$ ，求出 $g_{1} (x)$ ， $g_{2} (x);$

(2)、比较 $(1)$ 中 $f_{1} (x)$ 与 $g_{1} (x)$ 的大小 $;$

(3)、证明： $e^{x} + s i n x + c o s x \geq 2 + 2 x$ ．

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5、已知集合 $A = {x | \frac{2 x - 2}{x + 1} < 1}$ ，集合 $B = {x | x^{2} + x + a - a^{2} < 0}$ ．

(1)、若存在 $x_{0} \in A$ ，使得 $B \neq ⌀$ ，求 $a$ 的取值范围 $;$

(2)、若“ $x \in A$ ”是“ $x \in B$ ”的充分不必要条件，求实数 $a$ 的取值范围．

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6、某从业者绘制了他在 $26$ 岁 $\sim 35$ 岁 $(2014$ 年 $\sim 2023$ 年 $)$ 之间各年的月平均收入 $($ 单位：千元 $)$ 的散点图：
附注：
$①$ 参考数据： $\sum_{i = 1}^{10} x_{i} = 55$ ， $\sum_{i = 1}^{10} y_{i} = 155.5$ ， $\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x})^{2} = 82.5$ ， $\sum_{i = 1}^{10} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y}) = 94.9$ ， $\sum_{i = 1}^{10} t_{i} = 15.1$ ， $\sum_{i = 1}^{10} (t_{i} - \bar{t})^{2} = 4.84$ ， $\sum_{i = 1}^{10} (t_{i} - \bar{t}) (y_{i} - \bar{y}) = 24.2$ ，其中 $t_{i} = l n x_{i}$ ，取 $l n 11 = 2.4$ ， $l n 36 = 3.6$
$②$ 参考公式：经验回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ 中斜率和截距的最小二乘估计分别为： $\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x}) (y_{i} - \bar{y})}{\sum_{i = 1}^{n} (x_{i} - \bar{x})^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} x;$
$χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$

$α$

$0.050$

$0.010$

$0.001$

$x_{α}$

$3.841$

$6.635$

$10.828$

(1)、由散点图知，可用经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} l n x + \hat{a}$ 拟合月平均收入 $y$ 与年龄代码 $x$ 的关系，试根据附注中提供的有关数据求出所选经验回归方程 $;$

(2)、若把月收入不低于 $2$ 万元称为“高收入者” $.$ 试利用 $(1)$ 的结果，估计他 $36$ 岁时能否称为“高收入者” $?$
给定以下列联表的数据，依据 $α = 0.05$ 的独立性检验，能否认为年龄高于 $35$ 岁与成为高收入者有关系 $?$

为高收入者
不为高收入者
高于 $35$ 岁
$40$
$10$
不高于 $35$ 岁
$30$
$20$

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7、已知函数 $f (x) = x^{3} + a x + b$ ．

(1)、讨论函数 $f (x)$ 的单调性 $;$

(2)、若函数 $f (x)$ 的图象是曲线 $C$ ，直线 $y = k x + 1$ 与曲线 $C$ 相切于点 $(2,3) .$ 求函数 $g (x) = f (x) - x - 1$ 在区间 $[0,2]$ 上的最大值和最小值．

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8、已知函数 $f (x) = a x + x l n x$ 的图像在 $x = e ($ 其中 $e$ 为自然对数的底数 $)$ 处的切线斜率为 $3 .$ 若 $k \in Z$ ，且 $k < \frac{f (x)}{x - 1}$ 对任意 $x > 1$ 恒成立，则 $k$ 的最大值为．

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9、 $2024$ 年 $5$ 月 $15$ 日至 $17$ 日“一节一赛”水上运动大赛在重庆彭水举行，甲、乙、丙、丁、戊 $5$ 名志愿者承担调度服务、安检服务、驾驶服务 $3$ 个项目志愿服务，每名志愿者需承担 $1$ 项工作，每项工作至少需要 $1$ 名志愿者，甲不承担驾驶服务，则不同的安排方法有种 $. ($ 用数字作答 $)$

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10、已知不等式 $a x^{2} + b x + c < 0$ 的解集为 $(- 1,3)$ ，则不等式 $c x^{2} + b x + a < 0$ 的解集为．

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11、设 $(1 - 2 x)^{n} = a_{0} + a_{1} x + a_{2} x^{2} + a_{3} x^{3} + \dots + a_{n} x^{n}$ ， $x \in R$ ， $n \in N^{*}$ ，则下列结论中正确的是( )

A、 $- \frac{a_{1}}{2} + \frac{a_{2}}{2^{2}} - \frac{a_{1}}{2^{3}} + \dots + (- 1)^{n} \frac{a_{n}}{2^{n}} = 2^{n} - 1$ B、若 $| a_{8} | > | a_{7} |$ ， $| a_{8} | > | a_{9} |$ ，则 $n = 11$ C、当 $x = - \frac{1}{2000}$ ， $n = 2024$ 时， $(1 - 2 x)^{n} > 5$ D、当 $n \geq 3$ 时， $2 a_{2} + 6 a_{3} + \dots + n (n - 1) a_{n} = 4 n (n - 1)$

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12、袋中装有 $5$ 张相同的卡片，分别标有数字 $1$ ， $2$ ， $3$ ， $4$ ， $5$ ，从中有放回地随机取两次，每次取 $1$ 张卡片 $. A$ 表示事件“第一次取出的卡片数字是奇数”， $B$ 表示事件“第二次取出的卡片数字是偶数”， $C$ 表示事件“两次取出的卡片数字之和是 $6$ ”，则( )

A、 $P (A \cup B) = 1$ B、 $P (B \cup C) = \frac{13}{25}$ C、 $A$ 与 $B$ 相互独立 D、 $P (C | B) = \frac{1}{5}$

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13、下列命题中，正确的有( )

A、若随机变量X~B(5， $\frac{1}{2}$ )，则D(X)= $\frac{5}{4}$ B、若随机变量X~N(5， $σ^{2}$ )，且P(3 $\leq$ X $\leq$ 5)=0.3，则P(X $\geq$ 7)=0.2 C、若10件产品中有4件次品和6件正品.现从中随机抽取3件产品，记取得的次品数为随机变量X ，无论是有放回的抽取还是无放回的抽取，D(X)相等 D、从2，4，5，7，9，11，13，15，17，19中任取一个数，这个数比a大的概率为 $\frac{2}{5}$ ，若a恰为以上数据的第m百分位数，则m的值可能是60

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14、已知数列 ${a_{n}}$ 共有 $9$ 项，其中 $a_{1} = a_{9} = 1$ ，且对每个 $i \in {1,2, \dots, 8}$ ，都有 $\frac{a_{i + 1}}{a_{i}} \in {2,1, - \frac{1}{2}}$ ，则满足上述条件的数列一共有 $()$ 个。

A、 $461$ B、 $471$ C、 $481$ D、 $491$

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15、设 $m > 0$ ，不等式 $x^{2} l n x - m e^{\frac{m}{x}} \geq 0$ 在 $[e, + \infty)$ 上恒成立，则 $m$ 的最大值为( )

A、 $\frac{1}{e}$ B、 $e$ C、 $2 e$ D、 $e^{2}$

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16、甲、乙、丙三人相互做传球训练，第 $1$ 次由甲将球传出，每次传球时，传球者都等可能地将球传给另外两个人中的任何一人，经过 $6$ 次传球后，球恰好在甲手中的概率为( )

A、 $\frac{5}{16}$ B、 $\frac{31}{96}$ C、 $\frac{11}{32}$ D、 $\frac{17}{48}$

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17、已知 $x$ ， $y$ 均为正实数，且 $\frac{1}{x + 2} + \frac{4}{y + 3} = \frac{1}{2}$ ，则 $x + y$ 的最小值为( )

A、 $10$ B、 $11$ C、 $12$ D、 $13$

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18、有 $3$ 名男生、 $4$ 名女生站成一排，则这 $3$ 名男生互不相邻的站法共有 $()$ 种

A、 $840$ B、 $1020$ C、 $1440$ D、 $1920$

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19、“ $x > y$ ”成立的一个充分条件可以是( )

A、 $2^{x - y} > \frac{1}{2}$ B、 $x^{2} > y^{2}$ C、 $x t^{2} > y t^{2}$ D、 $\frac{x}{y} > 1$

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20、树人中学国旗班共有 $50$ 名学生，其中男女比例 $3 : 2$ ，平均身高 $174 c m$ ，用等比例分层随机抽样的方法，从中抽取一个容量为 $20$ 的样本，若样本中男生的平均身高为 $178 c m$ ，样本中女生人数与女生平均身高的估计值分别为( )

A、 $8$ 人 $168 c m$ B、 $8$ 人 $170 c m$ C、 $12$ 人 $168 c m$ D、 $12$ 人 $170 c m$

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	为高收入者	不为高收入者
高于 $35$ 岁	$40$	$10$
不高于 $35$ 岁	$30$	$20$

$α$	$0.050$	$0.010$	$0.001$
$x_{α}$	$3.841$	$6.635$	$10.828$