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相关试卷

1、已知正数 $a, b$ 满足 $a + 2 b = 1$ ，则下面不等式正确的是（）

A、 $a b \leq \frac{1}{8}$ B、 $a^{2} + 4 b^{2} \geq 1$ C、 $\frac{8}{a} + \frac{1}{b} \geq 18$ D、 $a^{2} + 4 b \geq 2$

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2、已知复数 $z = (a - 1) + (a^{2} + 2 a - 3) i$ ，其中 $a$ 为实数， $i$ 为虚数单位，则下列说法正确的是（）

A、若 $z$ 为虚数，则 $a \neq 1$ 或 $a \neq - 3$ B、若复平面内表示复数 $z$ 的点位于第二象限，则 $a < - 3$ C、若 $z > - 2$ ，则 $a = 1$ D、若 $a \neq 1$ 且 $a \neq - 3$ ，则 $z^{2} = | z |^{2}$

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3、截交线，是平面与空间形体表面的交线，它是画法几何研究的内容之一.当空间形体表面是曲面时，截交线是一条平面曲线；当空间形体表面由若干个平面组成时，截交线是一个多边形.已知正三棱锥 $O - A B C$ ，满足 $O A ⊥ O B, O B ⊥ O C, O A ⊥ O C, O A = 3$ ，点 $P$ 在 $△ A B C$ 内部（含边界）运动，且 $|O P| = \sqrt{6}$ ，则点 $P$ 的轨迹与这个正三棱锥的截交线长度为（）

A、 $\frac{\sqrt{3} π}{2}$ B、 $\frac{\sqrt{2} π}{2}$ C、 $\frac{π}{2}$ D、 $π$

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4、已知随机事件 $A, B$ ，满足 $P (A) = 0.3, P (B) = 0.6$ ，则下面说法正确的是（）

A、若事件 $A$ 与 $B$ 互斥，则 $P (A + B) = 0.18$ B、若 $P (A + B) = 0.8$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 可能互斥 C、若事件 $A$ 与 $B$ 相互独立，则 $P (\bar{A} \bar{B}) = 0.28$ D、若 $P (A \bar{B}) = 0.12$ ，则事件 $A$ 与 $B$ 互斥

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5、在 $△ A B C$ 中，角 $A, B, C$ 的对边分别为 $a, b, c$ ，已知 $B = 60^{\circ}, b = 3 \sqrt{3}$ .若 $△ A B C$ 有两个解，则 $c$ 的取值范围为（）

A、 $(0, 3)$ B、 $(3, 3 \sqrt{3}]$ C、 $[3 \sqrt{3}, + \infty)$ D、 $(3 \sqrt{3}, 6)$

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6、如图，已知过点 $(\frac{2 π}{3}, 0)$ 的函数 $f (x) = 2 cos (ω x + φ) (ω > 0, |φ| < π)$ 的图象与函数 $y = \sqrt{2}$ 的图象相交于 $A, B$ 两点，且 $|A B| = \frac{π}{4}$ ，则 $f (\frac{π}{3}) =$ （）

A、 $- 1$ B、1 C、 $- \sqrt{3}$ D、 $\sqrt{3}$

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7、已知 $a, b$ 为两条不同的直线， $α, β$ 为两个不同的平面，则下列说法错误的是（）

A、若 $a // b$ ， $b \subset α, a ⊄ α$ ，则 $a // α$ B、若 $a ⊥ α, b ⊥ α$ ，则 $a // b$ C、若 $α ⊥ β, α \cap β = b, a ⊥ b$ ，则 $a ⊥ β$ D、若 $a, b$ 为异面直线， $a \subset α, b \subset β$ ， $a // β$ ， $b // α$ ，则 $α // β$

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8、已知某单位按照职工年龄分为老、中、青三组，其人数之比为 $5 : 2 : 3$ .现用分层抽样的方法从全体职工中抽取20人进行问卷调研，则抽取的职工中属于青年组的人数为（）

A、4人 B、6人 C、8人 D、10人

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9、已知复数 $z = 2 i^{2023} - i^{2022}$ （ $i$ 为虚数单位），则 $z$ 的虚部为（）

A、 $- i$ B、1 C、 $- 2$ D、 $2 i$

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10、已知集合 $A = \{x | y = ln (- x + 2)\}$ ， $B = \{y | y = e^{x - 1} + 1\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(- \infty, 2)$ B、 $(- \infty, 1)$ C、 $[1, 2]$ D、 $(1, 2)$

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11、通过平面直角坐标系，我们可以用有序实数对表示向量.类似的，我们可以把有序复数对 $(z_{1}, z_{2}) (z_{1}, z_{2} \in C)$ 看作一个向量，记 $\vec{a} = (z_{1}, z_{2})$ ，则称 $\vec{a}$ 为复向量.类比平面向量的相关运算法则，对于 $\vec{a} = (z_{1}, z_{2})$ ， $\vec{b} = (z_{3}, z_{4})$ ， $z_{1}$ 、 $z_{2}$ 、 $z_{3}$ 、 $z_{4}$ 、 $λ \in C$ ，我们有如下运算法则：
① $\vec{a} \pm \vec{b} = (z_{1} \pm z_{3}, z_{2} \pm z_{4})$ ；② $λ \vec{a} = (λ z_{1}, λ z_{2})$ ；③ $\vec{a} \cdot \vec{b} = z_{1} \bar{z_{3}} + z_{2} \bar{z_{4}}$ ；④ $|\vec{a}| = \sqrt{\vec{a} \cdot \vec{a}}$ .

(1)、设 $\vec{a} = (i, 1 + i)$ ， $\vec{b} = (2, 2 - i)$ ，求 $\vec{a} + \vec{b}$ 和 $\vec{a} \cdot \vec{b}$ .

(2)、由平面向量的数量积满足的运算律，我们类比得到复向量的相关结论：① $\vec{a} \cdot \vec{b} = \vec{b} \cdot \vec{a}$ ② $\vec{a} \cdot (\vec{b} + \vec{c}) = \vec{a} \cdot \vec{b} + \vec{a} \cdot \vec{c}$ .试判断这两个结论是否正确，并说明理由.

(3)、若 $\vec{a} = (2 i, 1)$ ，集合 $Ω = \{\vec{p} |\vec{p} = (x, y), y = 2 x + 1, x, y \in C\}$ ， $\vec{b} \in Ω$ .对于任意的 $\vec{c} \in Ω$ ，求出满足条件 $(\vec{a} - \vec{b}) \cdot (\vec{b} - \vec{c}) = 0$ 的 $\vec{b}$ ，并将此时的 $\vec{b}$ 记为 $\vec{b_{0}}$ ，证明对任意的 $\vec{b} \in Ω$ ，不等式 $|\vec{a} - \vec{b}| \geq |\vec{a} - \vec{b_{0}}|$ 恒成立.根据对上述问题的解答过程，试写出一个一般性的命题（不需要证明）.

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12、已知平面四边形 $A B C D$ ， $A B = A D = 2$ ， $∠ B A D = 60^{\circ}$ ， $∠ B C D = 30^{\circ}$ ，现将 $△ A B D$ 沿 $B D$ 边折起，使得平面 $A B D ⊥$ 平面 $B C D$ ，此时 $A D ⊥ C D$ ，点 $P$ 为线段 $A D$ 的中点．

(1)、求证： $B P ⊥$ 平面 $A C D$ ；

(2)、若 $M$ 为 $C D$ 的中点，求二面角 $P - B M - D$ 的平面角的余弦值．

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13、某公园为了吸引更多的游客，准备进一步美化环境.如图，准备在道路AB的一侧进行绿化，线段AB长为4百米，C，D都设计在以AB为直径的半圆上.设 $∠ C O B = θ$ .

(1)、若 $θ = \frac{π}{3}$ ，求 $B C$ 边的长；

(2)、现要在四边形ABCD内种满郁金香，若 $∠ C O D = \frac{π}{3}$ ，则当 $θ$ 为何值时，郁金香种植面积最大；

(3)、为了方便游客散步，现要铺设一条栈道，栈道由线段BC，CD和DA组成，若 $B C = C D$ ，则当 $θ$ 为何值时，栈道的总长l最长，并求l的最大值（单位：百米）.

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14、在如图所示的四棱锥 $P - A B C D$ 中，已知 $P A ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D ∥ B C$ ， $∠ B A D = 90 °$ ， $P A = A B = B C = 1$ ， $A D = 2$ ， $E$ 为 $P D$ 的中点.

(1)、求证： $C E ∥$ 平面 $P A B$

(2)、求证：平面 $P A C ⊥$ 平面 $P D C$

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15、已知向量 $\vec{a}, \vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 2, |\vec{b}| = 1$ ， $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角为 $\frac{π}{3}$ ．

(1)、求 $|\vec{a} - 2 \vec{b}|$ ；

(2)、若向量 $\vec{a} + 3 \vec{b}$ 与 $t \vec{a} - 2 \vec{b}$ 垂直，求实数t的值．

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16、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A = P B = P C = 2, A B = 1, ∠ A C B = \frac{π}{6}$ ，若该三棱锥的所有顶点均在球 $O$ 的表面上，则球 $O$ 的表面积为.

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17、如图，在直四棱柱 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为4的正方形， $A A_{1} = 3$ ，则（）

A、异面直线 $A_{1} B$ 与 $B_{1} D_{1}$ 所成角的余弦值为 $\frac{2 \sqrt{2}}{5}$ B、取 $B B_{1}$ 的中点为 $M$ ，过 $A ､ M ､ C_{1}$ 三点的平面截直四棱柱所得截面图形的面积为 $\frac{73}{4}$ C、 $A_{1} B$ $/ /$ 平面 $B_{1} D_{1} C$ D、点 $B_{1}$ 到平面 $A_{1} B D_{1}$ 的距离为 $\frac{12}{5}$

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18、已知 $z$ 是复数， $\bar{z}$ 是其共轭复数，则下列命题中正确的是（）

A、 $z^{2} = | z |^{2}$ B、若 $z = {(1 - 2 i)}^{2}$ ，则复平面内 $\bar{z}$ 对应的点位于第二象限 C、若 $| z | = 1$ ，则 $| z - 1 - i |$ 的最大值为 $\sqrt{2} + 1$ D、若 $1 - 3 i$ 是关于 $x$ 的方程 $x^{2} + p x + q = 0 (p, q \in R)$ 的一个根，则 $q = 10$

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19、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin x cos x - \frac{1}{2} \cos 2 x$ ，则下列说法正确的是（）

A、 $f (x) = 2 sin (2 x - \frac{π}{6})$ B、函数 $f (x)$ 的最小正周期为 $π$ C、函数 $f (x)$ 的图象的对称轴方程为 $x = \frac{π}{3} + \frac{k π}{2} (k \in Z)$ D、函数 $f (x)$ 的图象可由 $y = sin 2 x$ 的图象向右平移 $\frac{π}{12}$ 单位长度得到

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20、已知 $△ A B C$ 是锐角三角形，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若 $a^{2} - b^{2} = b c$ ，则 $\frac{b}{a + c}$ 的取值范围是（）

A、 $(\frac{\sqrt{3}}{3}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ B、 $(2 - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{2}}{2})$ C、 $(2 - \sqrt{3}, \sqrt{2} - 1)$ D、 $(2 - \sqrt{3}, \frac{\sqrt{3}}{3})$

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