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相关试卷

1、某景点在2024年2月10日至24日(正月初一至正月十五)期间，为吸引游客，共举行了15场精彩的烟花秀节目．前9场的观众人数(单位：万)与场次的统计数据如下表所示：
场次编号x
1
2
3
4
5
6
7
8
9
观众人数y(单位：万)
1.93
1.95
1.97
1.98
2.01
2.02
2.02
2.05
2.07
经计算可得： $\bar{y} = \frac{1}{9} \sum_{i = 1}^{9} y_{i} = 2$ ， $\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} = 91$ ， $\sum_{i = 1}^{9} x_{i}^{2} = 285$ ．

(1)、通过作散点图发现x与y之间具有较强的线性相关关系，试用最小二乘法求出y关于x的经验回归方程 $\hat{y} = \hat{b} x + \hat{a}$ (结果中的数值用分数表示)；

(2)、若该烟花秀节目分A、B 两个等次的票价，该节目组织者随机调查了某场烟花秀节目100位观众购买A、B 两个等次票的情况，其中 60位男性观众中有 15 位观众购买了 B 等票；40位女性观众中有5位观众购买了 B 等票．请根据以上数据，将2×2列联表补充完整，并根据小概率值α=0.050的独立性检验，能否认为观众的性别与购票情况有关联？
性别
购买情况
合计
购买 A 等票
购买 B 等票
男性观众

60
女性观众

40
合计

100
附：
①对于一组数据((x₁ ， y₁)，(x₂ ， y₂)，…，(xₙ，yₙ)，其回归直线 $\hat{y} = \hat{b} x + â$ 的斜率和截距的最小二乘估计分别为
$\hat{b} = \frac{\sum_{i = 1}^{n} x_{i} y_{i} - n \bar{x} \cdot \bar{y}}{\sum_{i = 1}^{n} x_{i}^{2} - n {\bar{x}}^{2}}$ ， $\hat{a} = \bar{y} - \hat{b} \bar{x}$ ；
② $χ^{2} = \frac{n {(a d - b c)}^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)} ．$
$α$
0.050
0.010
0.001
$x_{α}$
3.841
6.635
10.828

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2、设函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x, x \leq 0 \\ |\lg x|, x > 0 \end{array}$ 若关于 $x$ 的方程 $f^{2} (x) + (1 - 2 m) f (x) + m^{2} - m = 0$ 有5个不相等的实数根，则实数 $m$ 的取值范围是．

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3、在班级数学兴趣小组活动中，老师准备了2道导数题和6道建模题，某小组的8位同学从中不放回的每人随机抽取一题作答，记 $A :$ 表示第 $i$ 位同学抽到导数题， $i = 1, 2, ..., 8$ ，则 $P (A_{1} |A_{3}) =$

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4、若 $3^{a} = 4, 4^{b} = 9,$ 则ab= ．

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5、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $R$ ，且 $f (x + 2) - 1$ 为奇函数， $f (x + 1)$ 为偶函数，则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 的图象关于点 $(2, 1)$ 对称 B、 $f (x)$ 是周期为 4 的周期函数 C、 $f (1) + f (3) = 0$ D、 $\sum_{k = 1}^{2024} f (k) = 2024$

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6、已知在 ${(2 \sqrt{x} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{n}$ 的展开式中只有第四项的二项式系数最大，则下列结论正确的是（）

A、n=6 B、展开式中含 $\frac{1}{x}$ 的项的系数是 $- 60$ C、展开式的各二项式系数和为64 D、展开式的各项系数和为729

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7、设函数 $f (x) = \frac{1}{e^{|x|}} + \frac{1}{x^{2} + 1} ，$ 则下列结论正确的是（）

A、 $f (x)$ 在区间 $(0, + \infty)$ 上为增函数 B、 $f (x)$ 为偶函数 C、 $f (x)$ 的值域为 $(0, 2]$ D、不等式 $f (x + 1) > f (2)$ 的解集为 $(- 3, 1)$

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8、已知 $[a]$ 表示不超过实数 $a$ 的最大整数，例如： $[- 3.5] = - 4$ ， $[2.1] = 2$ ，若函数 $f (x) = \frac{ln x - 2}{ln x + 1} ，$ 其中 $x \in (1, + \infty)$ ，则 $y = [f (x)]$ 的值域为（）

A、 $(- 2, 1)$ B、 $\{- 2, 1\}$ C、 $\{- 1, 0, 1\}$ D、 $\{- 2, - 1, 0\}$

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9、已知 $\sqrt{2} \approx 1.41421 ，$ ，小明在设置银行卡的数字密码时，打算将 $\sqrt{2}$ 的前6位数字1，4，1，4，2，1进行某种排列得到密码．如果排列时要求三个1不相邻，两个4也不相邻，那么小明可以设置的不同的密码个数为（）

A、6 B、7 C、10 D、12

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10、若正实数 $a, b$ ，满足 $(a + 2) (b + 1) = 9$ ，则 $a + b$ 的最小值为（）

A、9 B、6 C、3 D、2

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11、如图，等腰梯形ABCD 的上底CD=1，下底AB=3，高为1．记等腰梯形ABCD 位于直线x=t(0≤t≤3)左侧的图形的面积为 f(t)，则f(t)随t变化时的图象大致是（）

A、 B、 C、 D、

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12、若幂函数 $f (x)$ 的图象过点 $(4, 2)$ ，则 $y = \frac{f (2 - | x |)}{f (x)}$ 的定义域是（）

A、 $(- 2, 0)$ B、 $(0, 2]$ C、 $[0, 2]$ D、 $(- 2, 2)$

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13、若随机变量 $X ~ N (60, σ^{2})$ ，且 $P (X \leq 40) = 0.2$ ，则 $P (X \leq 80) =$ （）

A、0.2 B、0.4 C、0.6 D、0.8

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14、已知全集 $U=R$ ，集合 $A = {- 1, 0, 1, 2, 3}, B = {x ∣ 1 < x < 4},$ 则图中阴影部分表示的集合为（）

A、 ${- 1, 0}$ B、 ${0, 1}$ C、 ${- 1, 0, 1}$ D、 ${- 1, 0, 1, 2}$

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15、若函数 $f (x) = a \sin x + b \cos x$ ，则称向量 $\vec{p} = (a, b)$ 为函数 $f (x)$ 的特征向量，函数 $f (x)$ 为向量 $\vec{p}$ 的特征函数．

(1)、若函数 $f_{1} (x) = \sin (π - x) + \sin (\frac{3}{2} π - x)$ ，求 $f_{1} (x)$ 的特征向量 ${\vec{p}}_{1}$ ；

(2)、若向量 $\vec{p_{2}} = (\sqrt{3}, 1)$ 的特征函数为 $f_{2} (x)$ ，求当 $f_{2} (x) = \frac{6}{5}$ ，且 $x \in (- \frac{π}{6}, \frac{π}{3})$ 时 $\sin x$ 的值；

(3)、已知点 $A (- 3, 3), B (3, 11)$ ，设向量 $\vec{p_{3}} = (- \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2})$ 的特征函数为 $f_{3} (x)$ ，函数 $h (x) = 4 f_{3}^{2} (x) - 2$ ．在函数 $h (x)$ 的图象上是否存在点Q，使得 $\vec{A Q} ⊥ \vec{B Q}$ ？如果存在，求出点Q的坐标；如果不存在，请说明理由．

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16、在 $△ A B C$ 中， $a, b, c$ 分别为角 $A$ ， $B$ ， $C$ 所对的边，已知 $c = 2$ ， $C = \frac{π}{3}$ .

(1)、若 $△ A B C$ 的面积等于 $\sqrt{3}$ ，求边 $a, b$ ；

(2)、若 $sin C + \sin (B - A) = 2 \sin 2 A$ ，求 $△ A B C$ 的面积；

(3)、求 $△ A B C$ 周长的最大值.

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17、如图所示，正六棱锥的底面边长为4，H是 $B C$ 的中点，O为底面中心， $∠ S H O = 60 °$ ．

(1)、求出正六棱锥的高，斜高，侧棱长；

(2)、求六棱锥的表面积和体积．

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18、已知向量 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (3, k)$ .

(1)、若 $\vec{a} ∥ \vec{b}$ ，求实数k的值；

(2)、若 $\vec{a} ⊥ (\vec{a} + 2 \vec{b})$ ，求实数k的值.

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19、若方程 $\cos^{2} x + \sin x - a = 0$ 在 $x \in [\frac{π}{6}, \frac{2 π}{3}]$ 有解，则 $a$ 的取值范围是.

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20、已知向量 $\vec{a} = (1, 0)$ ， $\vec{b} = (\sqrt{3}, 1)$ ，则 $\vec{b}$ 在 $\vec{a}$ 方向上的投影向量坐标为．

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场次编号x	1	2	3	4	5	6	7	8	9
观众人数y(单位：万)	1.93	1.95	1.97	1.98	2.01	2.02	2.02	2.05	2.07

性别	购买情况		合计
性别	购买 A 等票	购买 B 等票	合计
男性观众			60
女性观众			40
合计			100

$α$	0.050	0.010	0.001
$x_{α}$	3.841	6.635	10.828