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相关试卷

1、已知等比数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项积为 $T_{n}, a_{1} = 32$ ，公比 $q = \frac{1}{2}$ ，则 $T_{n}$ 取最大值时 $n$ 的值为（）

A、3 B、6 C、4或5 D、5或6

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2、某工厂5月份生产5000个灯泡，实验得知灯泡使用寿命（单位：小时）服从正态分布 $N (1000, σ^{2})$ ，已知 $P (X > 1200) = 0.1$ ，则工厂该月生产灯泡寿命在800小时及其以上的个数约为（）

A、4400 B、4500 C、4600 D、4900

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3、某学校在一次调查“篮球迷”的活动中，获得了如下数据：以下结论正确的是（）

男生
女生
篮球迷
30
15
非篮球迷
45
10
附： $χ^{2} = \frac{n (a d - b c)^{2}}{(a + b) (c + d) (a + c) (b + d)}$ ，其中 $n = a + b + c + d$ .
$α$
0.10
0.05
0.01
$x_{α}$
2.706
3.841
6.635

A、没有 $95 %$ 的把握认为是否是篮球迷与性别有关 B、有 $99 %$ 的把握认为是否是篮球迷与性别有关 C、在犯错误的概率不超过0.05的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关 D、在犯错误的概率不超过0.01的前提下，可以认为是否是篮球迷与性别有关

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4、甲､乙､丙三名高一学生都已选择物理､化学两科作为自己的高考科目，三人独自决定从政治､历史､地理､生物中任选一科作为自己的第三门高考选考科目，则不同的选法种数为（）

A、 $A_{4}^{3}$ B、 $3 C_{4}^{1}$ C、 $3^{4}$ D、 $4^{3}$

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5、已知函数 $f (x) = l n x - \frac{1}{2} a x^{2} (a \in R)$ ．

(1)、若曲线 $y = f (x)$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $x + 2 y = 2$ 垂直，求实数 $a$ 的值；

(2)、若函数 $g (x) = f (x) - x$ 在区间 $[1, + \infty)$ 上为增函数，求实数 $a$ 的取值范围；

(3)、若 $f (x)$ 在定义域内有两个零点，求实数 $a$ 的取值范围．

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6、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且 $S_{10} = 55$ ， $S_{20} = 210$ ．

(1)、求数列 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、设 $b_{n} = \frac{a_{n}}{a_{n + 1}}$ ，是否存在 $m$ 、 $k (k > m \geq 2, k, m \in N^{*})$ ，使得 $b_{1}$ 、 $b_{m}$ 、 $b_{k}$ 成等比数列．若存在，求出所有符合条件的 $m$ 、 $k$ 的值；若不存在，请说明理由．

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7、已知等差数列 ${a_{n}}$ 的公差为 $d (d \neq 0)$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，现给出下列三个条件： $① S_{1}$ ， $S_{2}$ ， $S_{4}$ 成等比数列； $② S_{4} = 16$ ； $③ S_{8} = 4 (a_{8} + 1)$ ，请你从这三个条件中任选两个解答下列问题：

(1)、求 ${a_{n}}$ 的通项公式；

(2)、令 $b_{n} = a_{n} + 1$ ，其前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，若 $\frac{b_{n}}{T_{n} + 11} \leq λ$ 恒成立，求 $λ$ 的最小值．

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8、若 $f (x) = \frac{1}{3} x^{3} + x^{2} - 3 x$ ， $x \in R$ ，求：

(1)、 $f (x)$ 的单调增区间；

(2)、 $f (x)$ 在 $[0,2]$ 上的最小值和最大值．

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9、已知函数 $f (x) = x^{3} - 2 x + e^{x} - \frac{1}{e^{x}}$ ，其中 $e$ 是自然对数的底数．若 $f (a - 1) + f (2 a^{2}) \leq 0$ ，则实数 $a$ 的取值范围是．

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10、将数列 ${2 n - 1}$ 与 ${3 n - 2}$ 的公共项从小到大排列得到数列 ${a_{n}}$ ，则 ${a_{n}}$ 的前 $n$ 项和为．

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11、若直线 $y = x + 1$ 和曲线 $y = a l n x + 2$ 相切，则实数 $a$ 的值为．

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12、定义方程 $f (x) = f^{'} (x)$ 的实数根 $x_{0}$ 叫做函数 $f (x)$ 的“新不动点”，有下列函数：
$① g (x) = x \cdot 2^{x}$ ；
$② g (x) = - e^{x} - 2 x$ ；
$③ g (x) = l n x$ ；
$④ g (x) = s i n x + 2 c o s x$ ．
其中只有一个“新不动点”的函数有( )

A、 $①$ B、 $②$ C、 $③$ D、 $④$

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13、在等比数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{3} = 6$ ，前三项和 $S_{3} = 18$ ，则公比 $q$ 的值为( )

A、 $1$ B、 $- \frac{1}{2}$ C、 $- 1$ D、 $\frac{1}{2}$

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14、 $f (x)$ 是定义在 $R$ 上的可导函数，且 $f^{'} (x) > f (x)$ ，对任意正实数 $a$ ，则下列式子成立的是( )

A、 $f (a) > \frac{f (0)}{e^{a}}$ B、 $f (a) < \frac{f (0)}{e^{a}}$ C、 $f (a) < e^{a} f (0)$ D、 $f (a) > e^{a} f (0)$

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15、函数 $f (x) = x^{3} - 3 x (| x | < 1)$ ( )

A、有最值，但无极值 B、有最值，也有极值 C、既无最值，也无极值 D、无最值，但有极值

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16、已知数列 ${a_{n}}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，且 $a_{n} = 4 a_{n - 1} + 1 (n \geq 2)$ ，则 $a_{4}$ 为( )

A、 $148$ B、 $149$ C、 $150$ D、 $151$

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17、曲线 $f (x) = 2 x^{2} - m l n x$ 在 $x = 1$ 处的切线与直线 $y = x$ 平行，则 $m$ 的值为( )

A、 $1$ B、 $2$ C、 $3$ D、 $4$

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18、已知等差数列 ${a_{n}}$ 满足 $a_{3} + a_{6} + a_{8} + a_{11} = 12$ ，则 $2 a_{9} - a_{11}$ 的值为( )

A、 $- 3$ B、 $3$ C、 $- 12$ D、 $12$

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19、若函数 $y = f (x)$ 对定义域内的每一个值 $x_{1}$ ，在其定义域内都存在唯一的 $x_{2}$ ，使 $f (x_{1}) f (x_{2}) = 1$ 成立，则称该函数为“依赖函数”.

(1)、判断函数 $g (x) = x$ 是否为“依赖函数”，并说明理由；

(2)、若函数 $f (x) = 2^{x - 2}$ 在定义域 $[m, n]$ （ $n > m > 0$ ）上为“依赖函数”，求 $m n$ 的取值范围；

(3)、已知函数 $h (x) = {(x - a)}^{2} (a \leq 3)$ 在定义域 $[\frac{3}{2}, 3]$ 上为“依赖函数”.若存在实数 $x \in [\frac{3}{2}, 3]$ ，使得对任意的 $t \in R$ ，不等式 $h (x) \geq - t^{2} + (s - t) x$ 恒成立，求实数 $s$ 的最大值.

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20、如图，在四棱锥 $P - A B C D$ 中，底面 $A B C D$ 是边长为2的菱形， $∠ A B C = 60 °$ ， $A P ⊥ A B$ ， E为AP的中点， $△ P B D$ 为等边三角形．

(1)、求证： $B D ⊥ P C$ ；

(2)、在棱 $D C$ 上是否存在一点F ，使 $D E / /$ 平面PBF ，若存在，求点F到平面PBD的距离；若不存在，请说明理由．

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	男生	女生
篮球迷	30	15
非篮球迷	45	10

$α$	0.10	0.05	0.01
$x_{α}$	2.706	3.841	6.635