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相关试卷

1、设 $\vec{e_{1}}$ ， $\vec{e_{2}}$ 是两个不共线的向量，若向量 $\vec{m} = - \vec{e_{1}} + k \vec{e_{2}}$ $(k \in R)$ 与向量 $\vec{n} = k \vec{e_{1}} - 4 \vec{e_{2}}$ $(k \in R)$ 共线，则（）

A、 $k = 0$ B、 $k = \pm 2$ C、 $k = 2$ D、 $k = - 2$

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2、若 $a, b$ 是异面直线，且 $a / /$ 平面 $α$ ，那么 $b$ 与平面 $α$ 的位置关系是（）

A、 $b / / α$ B、 $b$ 与 $α$ 相交 C、 $b \subset α$ D、以上三种情况都有可能

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3、已知集合 $U = \{x| 0 < x < 10\}$ ， $A = \{x| 1 < x < 5\}$ ， $B = \{x| x^{2} - 4 < 0\}$ ，则 $∁_{U} (B \cup A) =$ （）

A、 $(0, 5)$ B、 $(1, 2)$ C、 $[5, 10)$ D、 $(0, 1] \cup [2, 10)$

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4、对于无穷数列 $\{a_{n}\}$ 的某一项 $a_{k}$ ，若存在 $m \in N^{*}$ ，有 $a_{k} < a_{k + m} (k \in N^{*})$ 成立，则称 $a_{k}$ 具有性质 $P (m)$ .
（1）设 $a_{n} = |n - 3| (n \in N^{*})$ ，若对任意的 $k \in N^{*}$ ， $a_{k}$ 都具有性质 $P (m)$ ，求 $m$ 的最小值；
（2）设等差数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = - 2$ ，公差为 $d$ ，前 $n$ 项和为 $S_{n} (n \in N^{*})$ ，若对任意的 $k \in N^{*}$ 数列 $\{S_{n}\}$ 中的项 $S_{k}$ 都具有性质 $P (7)$ ，求实数 $d$ 的取值范围；
（3）设数列 $\{a_{n}\}$ 的首项 $a_{1} = 2$ ，当 $n \geq 2 (n \in N^{*})$ 时，存在 $i (1 \leq i \leq n - 1, i \in N^{*})$ 满足 $a_{n} = 2 a_{i}$ ，且此数列中恰有一项 $a_{t} (2 \leq t \leq 99, t \in N^{*})$ 不具有性质 $P (1)$ ，求此数列的前 $100$ 项和的最大值和最小值以及取得最值时对应的 $t$ 的值.

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5、设 $S_{n}$ 是数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和，且 $a_{n}$ 是 $S_{n}$ 和2的等差中项.

(1)、求数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $b_{k} = a_{k} \cdot (a_{k} + a_{k + 1} + \dots + a_{n}) (1 \leq k \leq n)$ ；
①求数列 $\{b_{k}\} (1 \leq k \leq n)$ 的前 $n$ 项和 $T_{n}$ ；
②设 $M (n) = \frac{2}{T_{1}} + \frac{2^{2}}{T_{2}} + \dots + \frac{2^{n}}{T_{n}} (n \in N^{*})$ ，是否存在常数 $c$ ，使 $M (n) < c$ 对 $n \in N^{*}$ 恒成立？若存在，求出 $c$ 的最小值；若不存在，说明理由.

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6、已知函 $f (x) = 3 \cos^{2} ω x + \sqrt{3} \sin ω x \cos ω x (ω > 0)$ ．
（1）当 $f (x)$ 的最小正周期为 $2 π$ 时，求 $ω$ 的值；
（2）当 $ω = 1$ 时，设 $△ A B C$ 的内角A．B．C对应的边分别为a、b、c，已知 $f (\frac{A}{2}) = 3$ ，且 $a = 2 \sqrt{7}$ ， $b = 6$ ，求 $△ A B C$ 的面积．

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7、已知函数 $f (x) = 2 \sin (\frac{1}{2} x + \frac{π}{6})$ .

(1)、求 $f (x)$ 的单调递增区间；

(2)、若 $x \in [- π,π]$ ，求 $f (x)$ 的值域.

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8、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 的公差不为零， $a_{1} = 25$ ，且 $a_{1}$ ， $a_{11}$ ， $a_{13}$ 成等比数列．

(1)、求 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、计算 $\sum_{k = 1}^{20} a_{3 k - 2}$ ．

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9、已知等差数列 $\{a_{n}\}$ 与等比数列 $\{b_{n}\}$ 的首项均为1，公比 $q > 0$ 且 $q \neq 1$ ，若集合 $\{k ∣ a_{k} = b_{k}\}$ ，则集合元素最多有（）个.

A、2 B、3 C、4 D、5

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10、下面关于等差､等比数列的说法正确的是（）

A、前 $n$ 项和 $S_{n} = n^{2} + 2 n + 4$ 的数列 $\{a_{n}\}$ 是等差数列 B、证明数列 $\{a_{n}\}$ 是等比数列时，只需证明 $a_{n} = a_{n - 1} q (n \in N, n \geq 2)$ C、若 $\{a_{n}\}$ 是等差数列，则 $a_{n - 3}, a_{n - 5}, a_{n - 7} (n \in N, n \geq 8)$ 也一定成等差数列 D、 $a + a^{2} + \dots + a^{n} = \frac{a - a^{n + 1}}{1 - a}$

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11、若数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式为 $a_{n} = 2 \times 3^{- n} (n \in N^{*})$ ，则这个数列是一个（）

A、以2为首项，以3为公比的等比数列 B、以2为首项，以 $\frac{1}{3}$ 为公比的等比数列 C、以 $\frac{2}{3}$ 为首项，以3为公比的等比数列 D、以 $\frac{2}{3}$ 为首项，以 $\frac{1}{3}$ 为公比的等比数列

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12、将正整数 $n$ 分解成两个正整数 $k_{1} ､ k_{2}$ 的积，即 $n = k_{1} \cdot k_{2}$ ，当 $k_{1} ､ k_{2}$ 两数差的绝对值最小时，我们称其为最优分解.如 $20 = 1 \times 20 = 2 \times 10 = 4 \times 5$ ，其中 $4 \times 5$ 即为20的最优分解，当 $k_{1}, k_{2}$ 是 $n$ 的最优分解时，定义 $f (n) = |k_{1} - k_{2}|$ ，则数列 $\{f (5^{n})\}$ 的前2023项和为.

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13、数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{1} = 2, a_{n + 1} = \frac{2 (n + 2)}{n + 1} a_{n} (n \in N^{*})$ ，则 $\frac{a_{2017}}{a_{1} + a_{2} + \dots + a_{2016}} =$ ．

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14、已知函数 $f (x) = \sin (ω x + \frac{π}{6}) + \frac{1}{2} (ω > 0)$ 在区间 $(0, \frac{π}{2})$ 上有且仅有两个零点，则 $ω$ 的取值范围是.

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15、如图 $P_{1}$ 是一块半径为1的半圆形纸板，在 $P_{1}$ 的左下端剪去一个半径为 $\frac{1}{2}$ 的半圆后得到图形 $P_{2}$ ，然后依次剪去一个更小半圆（其直径为前一个被剪掉半圆的半径）得圆形 $P_{3}$ 、 $P_{4}$ 、……、 $P_{n}$ …，记纸板 $P_{n}$ 的面积为 $S_{n}$ ，则 $\lim_{n \to \infty} S_{n} =$ .

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16、若将函数 $y = \sin 2 x$ 的图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位长度，则平移后得到的函数图象的解析式为．

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17、方程 ${log}_{9} x = sin 2 x$ 的实数解的个数为个.

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18、已知等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和 $S_{n} = 2 \times 3^{n} + k$ ，则 $S_{4} =$ .

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19、等差数列 $\{a_{n}\}$ 中， $a_{1} = 1, S_{10} = 100$ ，若 $a_{n} = {log}_{2} b_{n}$ ，则 $b_{1} + b_{2} + b_{3} + b_{4} + b_{5} =$ .

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20、已知数列 ${a_{n}}$ 中， $a_{1} = 3$ ， $a_{n + 1} - 2 = \frac{1}{2} (a_{n} - 2)$ ，则通项公式 $a_{n} =$ ．

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