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相关试卷

1、下列关于空间向量的命题中，正确的是（）

A、若空间向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}$ ，满足 $|\overset{⃑}{a}| = |\overset{⃑}{b}|$ ，则 $\overset{⃑}{a} = \overset{⃑}{b}$ B、若非零向量 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{c}$ ，满足 $\overset{⃑}{a} ⊥ \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{b} ⊥ \overset{⃑}{c}$ ，则有 $\overset{⃑}{a} ∥ \overset{⃑}{c}$ C、若 $\overset{⃑}{O A}, \overset{⃑}{O B}, \overset{⃑}{O C}$ 是空间的一组基底，且 $\overset{⃑}{O D} = \frac{1}{3} \overset{⃑}{O A} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{O B} + \frac{1}{3} \overset{⃑}{O C}$ ，则 $A, B, C, D$ 四点共面 D、若向量 $\overset{⃑}{a} + \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{b} + \overset{⃑}{c}, \overset{⃑}{c} + \overset{⃑}{a}$ 是空间的一组基底，则 $\overset{⃑}{a}, \overset{⃑}{b}, \overset{⃑}{c}$ 也是空间的一组基底

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2、已知点 $M (x_{1}, y_{1})$ 在直线 $l_{1} : y = x + 2$ ，点 $N (x_{2}, y_{2})$ 在直线 $l_{2} : y = x$ 上，且 $M N ⊥ l_{1}$ ， $\sqrt{x_{1}^{2} + {(y_{1} - 4)}^{2}} + \sqrt{{(x_{2} - 5)}^{2} + y_{2}^{2}}$ 的最小值为（）

A、 $\frac{7 \sqrt{2}}{2}$ B、 $\frac{11 \sqrt{2}}{2}$ C、 $\sqrt{41} - \sqrt{2}$ D、5

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3、已知数列 $\{a_{n}\}$ 满足 $a_{n} = \{\begin{array}{l} (2 - p) n - 2, n \leq 6 \\ p^{n - 6}, n > 6 \end{array} (n \in N^{*})$ ，且对任意的 $n \in N^{*}$ 都有 $a_{n + 1} > a_{n}$ ，则实数 $p$ 的取值范围是（）

A、 $(1, \frac{7}{4})$ B、 $(1, \frac{10}{7})$ C、 $(1, 2)$ D、 $(\frac{10}{7}, 2)$

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4、已知 $R$ 上可导函数 $f (x)$ 的图象如图所示， $f^{'} (x)$ 是 $f (x)$ 的导函数，则不等式 $x f^{'} (x) > 0$ 的解集为（）

A、 $(- \infty, - 2) \cup (2, + \infty)$ B、 $(- \infty, - 2) \cup (1, 2)$ C、 $(- 1, 0) \cup (1, + \infty)$ D、 $(- 1, 0) \cup (2, + \infty)$

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5、已知 $A$ 为抛物线 $C : y^{2} = 2 p x (p > 0)$ 上一点，点 $A$ 到 $C$ 的焦点的距离为 $15$ ，到 $y$ 轴的距离为 $12$ ，则 $p$ 的值为（）

A、 $3$ B、 $6$ C、 $9$ D、 $12$

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6、几何体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 是平行六面体，底面 $A B C D$ 为矩形，其中 $A B = 1, A D = 2, A A_{1} = 3$ ，且 $∠ A_{1} A B = ∠ A_{1} A D = 60^{\circ}$ ，则线段 $A C_{1}$ 的长为（）

A、 $\sqrt{14}$ B、 $\sqrt{19}$ C、 $\sqrt{22}$ D、 $\sqrt{23}$

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7、已知数列 $\{a_{n}\}$ 为等差数列， $a_{3} = 6$ ， $a_{9} = 18$ ，则公差 $d$ 为（）

A、1 B、3 C、2 D、4

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8、已知函数 $f (x) = 4 \sin x \sin (x + \frac{π}{6}) - \sqrt{3}$ ， $x \in R$ ，且将函数 $f (x)$ 的图象向左平移 $φ (0 < φ < \frac{π}{2})$ 个单位长度得到函数 $g (x)$ 的图象．

(1)、求 $f (x)$ 的最小正周期和单调递增区间；

(2)、若函数 $g (x)$ 是奇函数，求 $φ$ 的值；

(3)、若 $\cos φ = \frac{1}{3}$ ，当 $x = θ$ 时函数 $g (x)$ 取得最大值，求 $f (θ + \frac{π}{12})$ 的值．

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9、如图，圆台上底面圆 $O_{1}$ 半径为1，下底面圆 $O_{2}$ 半径为 $\sqrt{2}$ ， AB为圆台下底面的一条直径，圆 $O_{2}$ 上点C满足 $A C = B C$ ， $P O_{1}$ 是圆台上底面的一条半径，点P，C在平面 $A B O_{1}$ 的同侧，且 $P O_{1} // B C$ ．

(1)、证明： $O_{1} O_{2} / /$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若圆台的高为2，求直线PB与平面 $P A C$ 所成角的正弦值．

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10、已知平面向量 $\vec{a}$ ， $\vec{b}$ 满足 $|\vec{a}| = 1$ ， $|\vec{b}| = 1$ ，且 $|\vec{a} + \vec{b}| = \sqrt{3}$ ．

(1)、求 $\vec{a}$ 与 $\vec{b}$ 的夹角；

(2)、设与 $\vec{a} + \vec{b}$ 方向相同的单位向量为 $\vec{e}$ ，求向量 $\vec{a} - 2 \vec{b}$ 在向量 $\vec{a} + \vec{b}$ 上的投影向量．

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11、设函数 $f (x)$ 是定义在R上的奇函数，对任意 $x \in R$ ，都有 $f (1 - x) = f (1 + x)$ ，且当 $x \in [0, 1]$ 时， $f (x) = 2^{x} - 1$ ，若函数 $g (x) = f (x) - \log_{a} (x + 2)$ （ $a > 0$ 且 $a \neq 1$ ）在 $(- 1, 7)$ 上恰有4个不同的零点，则实数a的取值范围是．

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12、在复平面内，已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 满足 $| z_{1} | = | z_{2} | = 3$ ，且 $| z_{1} - z_{2} | = 3 \sqrt{2}$ ，则 $| z_{1} + z_{2} | =$ .

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13、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中， $A A_{1} = 2 \sqrt{3}$ ，则下列说法正确的是（）

A、若 $A B = 2 \sqrt{3}$ ，则正三棱柱外接球的表面积为 $28 π$ B、若 $A B = \sqrt{3}$ ，在正三棱柱中放一个最大的球，该球的体积为 $4 \sqrt{3} π$ C、若往正三棱柱中装水，当侧面 $A A_{1} B_{1} B$ 水平放置时，水面恰好过AC，BC， $A_{1} C_{1}$ ， $B_{1} C_{1}$ 的中点，那么当底面ABC水平放置时，水面高度为 $\frac{3 \sqrt{3}}{2}$ D、若D是 $A_{1} C_{1}$ 的中点，E是线段 $A_{1} C_{1}$ 上的动点，则 $A E ⊥ D B_{1}$

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14、在棱长为1的正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $O$ 是线段 $A_{1} C_{1}$ 的中点，以下关于直线 $B O$ 的结论正确的有（）

A、与平面 $A C D_{1}$ 平行 B、与直线 $A C$ 垂直 C、与直线 $A D_{1}$ 所成角为 $\frac{π}{3}$ D、与平面 $A C D_{1}$ 的距离为 $\frac{\sqrt{3}}{3}$

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15、一个正方体纸盒展开后如图所示，在原正方体纸盒中，下列结论正确的是（）

A、 $A B ⊥ E F$ B、 $C D // M N$ C、MN与AB是异面直线 D、BF与CD成 $0 °$ 角

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16、如图，四边形 $A B C D$ 为正方形， $E D ⊥$ 平面 $A B C D, F B / / E D, A B = E D = 3 F B = 3$ ，则三棱锥 $F - A C E$ 的体积为（）

A、12 B、6 C、 $\frac{3 \sqrt{66}}{4}$ D、 $\frac{3 \sqrt{59}}{4}$

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17、在 $△ A B C$ 中，点O满足 $\vec{B O} = 2 \vec{O C}$ ，过点O的直线分别交射线 $A B$ ， $A C$ 于不同的两点M，N．设 $\vec{A M} = \frac{1}{m} \vec{A B}$ ， $\vec{A N} = \frac{1}{n} \vec{A C}$ ，则 $m^{2} + n$ 的最小值是（）

A、3 B、1 C、 $\frac{3}{16}$ D、 $\frac{23}{16}$

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18、若圆锥的侧面展开图是圆心角为180°、半径为4的扇形，则这个圆锥的体积是（）

A、 $\frac{4 \sqrt{3}}{3} π$ B、 $\frac{8 \sqrt{3}}{3} π$ C、 $8 \sqrt{3} π$ D、 $4 \sqrt{3} π$

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19、如图所示，某三角形的直观图是斜边长等于2的等腰直角三角形 $O^{'} A^{'} B^{'}$ ，则原三角形 $O A B$ 的面积等于（）

A、1 B、2 C、 $2 \sqrt{2}$ D、4

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20、已知分段函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} x^{2} + 2 x + 1, x \leq 0 \\ | x - 1 |, x > 0 \end{array}$ ，则方程 $f (x) = 1$ 的解的个数是（）

A、4个 B、3个 C、2个 D、1个

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