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相关试卷

1、如果数列 $\{a_{n}\}$ 对任意的 $n \in N^{*}$ ， $a_{n + 2} - a_{n + 1} > a_{n + 1} - a_{n}$ ，则称 $\{a_{n}\}$ 为“速增数列”.

(1)、判断数列 $\{2^{n}\}$ 是否为“速增数列”？说明理由；

(2)、若数列 $\{a_{n}\}$ 为“速增数列”.且任意项 $a_{n} \in Z$ ， $a_{1} = 1, a_{2} = 3, a_{k} = 2023$ ，求正整数k的最大值；

(3)、已知项数为 $2 k$ （ $k \geq 2, k \in Z$ ）的数列 $\{b_{n}\}$ 是“速增数列”，且 $\{b_{n}\}$ 的所有项的和等于k，若 $c_{n} = 2^{b_{n}}$ ， $n = 1, 2, 3, \dots, 2 k$ ，证明： $c_{k} c_{k + 1} < 2$ .

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2、如图，已知椭圆 $C_{1} : \frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ 和抛物线 $C_{2} : x^{2} = 2 p y (p > 0)$ ， $C_{2}$ 的焦点 $F$ 是 $C_{1}$ 的上顶点，过 $F$ 的直线交 $C_{2}$ 于 $M$ 、 $N$ 两点，连接 $N O$ 、 $M O$ 并延长之，分别交 $C_{1}$ 于 $A$ 、 $B$ 两点，连接 $A B$ ，设 $△ O M N$ 、 $△ O A B$ 的面积分别为 $S_{△ O M N}$ 、 $S_{△ O A B}$ ．

(1)、求 $p$ 的值；

(2)、求 $\vec{O M} \cdot \vec{O N}$ 的值；

(3)、求 $\frac{S_{△ O M N}}{S_{△ O A B}}$ 的取值范围.

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3、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P C ⊥$ 平面 $A B C, P C = 3, ∠ A C B = \frac{π}{2}$ ． $D, E$ 分别为线段 $A B, B C$ 上的点，且 $C D = D E = \sqrt{2}, C E = 2 E B = 2$ ．

(1)、证明： $D E ⊥$ 平面 $P C D$ ；

(2)、求平面 $P A D$ 与平面 $P C D$ 夹角的余弦值．

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4、某企业举行招聘考试，共有1000人参加，分为初试和复试，初试成绩总分100分，初试通过后参加复试．

(1)、若所有考生的初试成绩X近似服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，其中 $μ = 65, σ = 10$ ，试估计初试成绩不低于75分的人数；（精确到个位数）

(2)、复试共三道题，每答对一题得10分，答错得0分，答完三道题后的得分之和为考生的复试成绩．已知某考生进入复试，他在复试中第一题答对的概率为 $\frac{3}{4}$ ，后两题答对的概率均为 $\frac{3}{5}$ ，且每道题回答正确与否互不影响．记该考生的复试成绩为Y，求Y的分布列及期望．
附：若随机变量X服从正态分布 $N (μ, σ^{2})$ ，则： $P (μ - σ < X < μ + σ) = 0.6827$ ， $P (μ - 2 σ < X < μ + 2 σ) = 0.9545, P (μ - 3 σ < X < μ + 3 σ) = 0.9973$ ．

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5、已知函数 $f (x)$ 的定义域为 $[0, 1]$ ，对于 $0 \leq x_{1} < x_{2} \leq 1$ ，恒有 $f (x_{1}) \leq f (x_{2})$ ，且满足 $f (x) + f (1 - x) = 1, f (\frac{x}{5}) = \frac{1}{2} f (x)$ ，则 $f (\frac{1}{2024}) =$ ．

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6、若点 $A (\cos θ, \sin θ)$ 关于 $y$ 轴对称点为 $B (\cos (θ + \frac{π}{6}), \sin (θ + \frac{π}{6}))$ ，写出 $θ$ 的一个取值为．

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7、双曲线 $x^{2} - k y^{2} = 1$ 的一个焦点是 $(2, 0)$ ，则 $k =$ ．

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8、在平面直角坐标系 $x O y$ 中，动点 $P (x, y)$ 的轨迹为曲线C，且动点 $P (x, y)$ 到两个定点 $F_{1} (- 1, 0), F_{2} (1, 0)$ 的距离之积等于3．则下列结论正确的是（）

A、曲线C关于y轴对称 B、曲线C的方程为 $x^{2} + y^{2} + 1 = \sqrt{4 x^{2} + 9}$ C、 $△ F_{1} P F_{2}$ 面积的最大值 $\frac{3}{2}$ D、 $| O P |$ 的取值范围为 $[\sqrt{2}, 2]$

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9、设公比为q的等比数列 $\{a_{n}\}$ 的前n项积为 $T_{n}$ ，若 $a_{1} a_{9} = 16$ ，则（）

A、 $a_{5} = 4$ B、当 $a_{1} = 1$ 时， $q = \pm \sqrt{2}$ C、 $\log_{2} |T_{9}| = 18$ D、 $a_{3}^{2} + a_{7}^{2} \geq 32$

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10、现有甲、乙两家检测机构对某品牌的一款智能手机进行拆解测评，具体打分如下表（满分100分）．设事件M表示“从甲机构测评分数中任取3个，至多1个超过平均分”，事件N表示“从甲机构测评分数中任取3个，恰有2个超过平均分”．下列说法正确的是（）
机构名称
甲
乙
分值
90
98
90
92
95
93
95
92
91
94

A、甲机构测评分数的平均分小于乙机构测评分数的平均分 B、甲机构测评分数的方差大于乙机构测评分数的方差 C、乙机构测评分数的中位数为92.5 D、事件 $M, N$ 互为对立事件

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11、已知函数 $f (x) = \sin (3 ω x - \frac{π}{4}) \sin (2 ω x + \frac{5π}{6})$ 在区间 $(0, π)$ 恰有6个零点，若 $ω > 0$ ，则 $ω$ 的取值范围为（）

A、 $(\frac{3}{4}, \frac{13}{12})$ B、 $(\frac{13}{12}, \frac{17}{12})$ C、 $(\frac{17}{12}, \frac{19}{12}]$ D、 $(\frac{19}{12}, \frac{7}{4}]$

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12、在正三棱柱 $A B C - A_{1} B_{1} C_{1}$ 中，若 $A B = 2, A A_{1} = 1$ ，则点A到平面 $A_{1} B C$ 的距离为（）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{2}$ B、 $\frac{3 \sqrt{3}}{4}$ C、 $\sqrt{3}$ D、 $2 \sqrt{3}$

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13、 ${(2 x^{3} - \frac{1}{\sqrt{x}})}^{7}$ 的展开式中常数项是（）

A、14 B、 $- 14$ C、42 D、 $- 42$

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14、已知集合 $A = \{x |x^{2} - 3 x < 0\}, B = \{x |\ln x > 0\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $\{x |0 < x < 1\}$ B、 $\{x |x > 0\}$ C、 $\{x |0 < x < 3\}$ D、 $\{x |1 < x < 3\}$

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15、已知在多面体 $A B C D E$ 中， $D E ∥ A B$ ， $A C ⊥ B C$ ， $B C = 2 A C = 4$ ， $A B = 2 D E$ ， $D A = D C$ 且平面 $D A C ⊥$ 平面 $A B C$ .

(1)、设点F为线段BC的中点，试证明 $E F ⊥$ 平面 $A B C$ ；

(2)、若直线BE与平面ABC所成的角为 $60^{\circ}$ ，求二面角 $B - A D - C$ 的余弦值．

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16、已知椭圆C： $\frac{x^{2}}{4} + y^{2} = 1$ ， $P (0, 1)$ ，过P点斜率为k的直线与椭圆C交于另一点为Q．

(1)、若 $△ P O Q$ 的面积为 $\frac{8}{17}$ ，求k的值；

(2)、若直线 $y = x + m$ 与椭圆C交于M，N两点，且 $| P M | = | P N |$ ，求 $m$ 的值．

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17、已知圆O： $x^{2} + y^{2} = 2$ ，直线l： $y = k x - 2$ ．

(1)、若直线l与圆O相切，求k的值；

(2)、若直线l与圆O交于不同的两点A、B，当∠AOB为直角时，求k的值．

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18、如图，正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 的棱长为 $a$ ，点 $P$ 在正方体的表面上运动，且 $A P = \sqrt{2} a$ ，若动点 $P$ 的轨迹的长度为3π，则棱长 $a$ 为．

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19、已知直线 $l_{1} : m x - y - 3 m + 1 = 0$ 与直线 $l_{2} : x + m y - 3 m - 1 = 0$ 相交于点 $P$ ， $m \in R$ ，则点 $P$ 到坐标原点O的距离的最小值为．

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20、椭圆 $\frac{x^{2}}{9} + \frac{y^{2}}{4} = 1$ 的焦点 $F_{1}$ 、 $F_{2}$ ，点 $P$ 为其上的动点，当∠ $F_{1}$ $P$ $F_{2}$ 为钝角时，点 $P$ 横坐标的取值范围是．

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机构名称	甲					乙
分值	90	98	90	92	95	93	95	92	91	94