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相关试卷

1、在三棱锥 $P - A B C$ 中， $P A ⊥$ 面 $A B C, P A = A C = 2, ∠ A B C = 30^{°}$ ，则三棱锥 $P - A B C$ 的外接球的表面积为.

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2、 ${(1 + x)}^{2} + {(1 + x)}^{3} + {(1 + x)}^{4} + \dots + {(1 + x)}^{23}$ 的展开式中 $x^{2}$ 项的系数为.

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3、双曲线 $C : \frac{x^{2}}{a^{2}} - \frac{y^{2}}{b^{2}} = 1 (a > 0, b > 0)$ 的左、右焦点分别为点 $F_{1}, F_{2}$ ，斜率为正的渐近线为 $l_{1}$ ，过点 $F_{2}$ 作直线 $l_{1}$ 的垂线，垂足为点 $A$ ，交双曲线于点 $P$ ，设点 $M$ 是双曲线 $C$ 上任意一点，若 $|P F_{2}| = \frac{2}{3} |A F_{2}|, S_{△ P F_{1} F_{2}} = \frac{4}{3}$ ，则（）

A、双曲线 $C$ 的离心率为 $\sqrt{5}$ B、双曲线 $C$ 的共轭双曲线方程为 $y^{2} - \frac{x^{2}}{4} = 1$ C、当点 $M$ 位于双曲线 $C$ 右支时， $\frac{|M F_{1}|}{|M F_{2}|} \in (1, \frac{3 + \sqrt{5}}{2}]$ D、点 $M$ 到两渐近线的距离之积为 $\frac{4}{5}$

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4、已知函数 $f (x) = A \sin (ω x + φ) + B (A > 0, ω > 0, | φ | < \frac{π}{2})$ 的图象如图所示，下列说法正确的是（）

A、函数 $f (x)$ 的一个对称中心是 $(- \frac{2 π}{3}, 1)$ B、 $\lim_{Δ x \to 0} \frac{f (Δ x + \frac{π}{2}) - f (\frac{π}{2})}{2 Δ x} = - 1$ C、将函数 $g (x) = 2 \cos x + 1$ 的图象上所有点的横坐标缩短到原来的 $\frac{1}{2}$ ，再向右平移 $\frac{π}{12}$ 个单位长度，可得到函数 $f (x)$ 的图象 D、函数 $f (x)$ 在 $x \in (0, a)$ 上有5个零点，则 $a$ 的取值范围为 $(\frac{7 π}{3}, \frac{17 π}{6}]$

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5、下列说法正确的是（）

A、若随机变量X，Y满足 $Y = - X + 1$ ，则 $D (Y) = D (X) + 1$ B、相关指数 $R^{2}$ 越大，残差平方和越小，回归模型拟合效果越好 C、已知 $P (A) > 0, P (B) > 0$ ，且事件 $A$ 与 $B$ 不独立，则 $P (B ∣ A) < P (B)$ D、已知随机变量 $X$ 的均值为 $μ$ ，方差为 $D (X)$ ，常数 $a \neq μ$ ，则 $\sum_{i = 1}^{n} {(x_{i} - a)}^{2} p_{i} > D (X)$

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6、已知 $| \vec{a} | = \sqrt{3}, | \vec{b} | = 1, \vec{a} \cdot \vec{b} = 0, | \vec{c} + \vec{a} | + | \vec{c} - \vec{a} | = 4, {\vec{d}}^{2} - 6 \vec{b} \cdot \vec{d} + 5 = 0$ ，则 $| \vec{c} - \vec{d} |$ 的最大值为（）

A、 $\frac{4 \sqrt{21}}{3} + 2$ B、4 C、6 D、 $\frac{2 \sqrt{21}}{3} + 2$

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7、第33届夏季奥运会预计2024年7月26日至8月11日在法国巴黎举办，这届奥运会将新增霹雳舞、滑板、攀岩、冲浪四个比赛项目及两个表演项目.现有三个场地 $A$ ， B，C分别承担这6个新增项目的比赛，且每个场地至少承办其中一个项目，其中两个表演项目不在一个场地举办，则不同的安排方法有（）

A、462种 B、300种 C、402种 D、390种

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8、设数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项之积为 $T_{n}$ ，满足 $a_{n} + 2 T_{n} = 1 (n \in N^{*})$ ，则 $T_{2024} =$ （）

A、 $- \frac{1}{6} {(\frac{1}{3})}^{2023} + \frac{1}{2}$ B、4049 C、 $\frac{1}{4049}$ D、 $\frac{4047}{4049}$

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9、过点 $A (- 3, - 4)$ 的直线 $l$ 与圆 $C : {(x - 3)}^{2} + {(y - 4)}^{2} = 9$ 相交于不同的两点M，N，则线段MN的中点 $P$ 的轨迹是（）

A、一个半径为10的圆的一部分 B、一个焦距为10的椭圆的一部分 C、一条过原点的线段 D、一个半径为5的圆的一部分

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10、某海岛核污水中含有多种放射性物质，其中放射性物质 $^{3} H$ 含量非常高，它可以进入生物体内，还可以在体内停留，并引起基因突变，但却难以被清除.现已知 $^{3} H$ 的质量 $M (kg)$ 随时间 $t$ （年）的指数衰减规律是： $M = M_{0} \cdot 2^{- 0.008 t}$ （其中 $M_{0}$ 为 $^{3} H$ 的初始质量）.则当 $^{3} H$ 的质量衰减为最初的 $\frac{9}{16}$ 时，所经过的时间约为（）（参考数据： $\lg 2 \approx 0.30, \lg 3 \approx$ $0.48)$

A、300年 B、100年 C、255年 D、125年

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11、已知复数 $z_{1}, z_{2}$ 在复平面内所对应的点分别为 $(1, - 3), (- 2, 5)$ ，则 $|\frac{z_{2}}{z_{1}} + 1| =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{2}}{2}$ B、1 C、 $\sqrt{2}$ D、2

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12、2024年某校举行一场射箭比赛，甲乙等8人各射中的环数分别为：9环，4环，6环，5环，7环，10环，8环，9环.则这8个人的成绩的上四分位数是（）

A、8环 B、9环 C、7环 D、6环

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13、假设 $G (x)$ 是定义在一个区间 $I$ 上的连续函数，且 ${G (x) | x \in I} \subset I$ .对 $\forall x_{0} \in I$ ，记 $x_{1} = G (x_{0}) = G^{1} (x_{0})$ ， $x_{2} = G (x_{1}) = G (G (x_{0})) = G^{2} (x_{0})$ ， …， $x_{n} = G (G^{n - 1} (x_{0})) = G^{n} (x_{0}) \dots$ .若某一个函数 $G (x)$ 满足 $G^{n + 2} (x_{0}) = p G^{n + 1} (x_{0}) + q G^{n} (x_{0})$ ，则有 $x_{n} = s α^{n} + t β^{n}$ （其中 $α$ ， $β$ 为关于 $x$ 的方程 $x^{2} = p x + q$ 的两个根， $s$ ， $t$ 是可以由 $x_{0}$ ， $x_{1}$ 来确定的常数）.

(1)、若 $x_{0} = 2$ ， $x_{1} = 3$ 且满足 $G^{n + 2} (2) = - G^{n + 1} (2) + 2 G^{n} (2)$ .
（ⅰ）求 $x_{2}$ ， $x_{3}$ 的值；
（ⅱ）求 $x_{n}$ 的表达式；

(2)、若函数 $G (x)$ 的定义域为 $A$ ，值域为 $B$ ，且 $A = B = (0, + \infty)$ ，且函数 $G (x)$ 满足 $G^{n + 2} (x) = - G^{n + 1} (x) + 6 G^{n} (x)$ ，求 $G (x)$ 的解析式.

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14、在四棱台 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $B C ∥ A D$ ，平面 $A B B_{1} A_{1} ⊥$ 平面 $A B C D$ ， $A D = 2$ ， $C D = \sqrt{2}$ ， $A B = B C = A A_{1} = A_{1} D_{1} = 1$ ， $∠ A_{1} A B = 120^{\circ}$ .

(1)、求证： $A_{1} B / /$ 平面 $C D D_{1} C_{1}$ ；

(2)、求直线 $A A_{1}$ 与直线 $C D$ 所成角的余弦值；

(3)、若 $Q$ 是 $D D_{1}$ 的中点，求平面 $Q A C$ 与平面 $A B C D$ 的夹角的余弦值.

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15、已知函数 $f (x) = \sqrt{3} sin x + cos x$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的值域和其图象的对称中心；

(2)、在 $△ A B C$ 中，三个内角 $A$ ， $B$ ， $C$ 的对边分别是 $a$ ， $b$ ， $c$ ，满足 $f (A) = \sqrt{3}$ ， $a = 2$ ， $b = 2 \sqrt{3}$ ，求 $△ A B C$ 的面积 $S$ 的值.

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16、已知 $\vec{e_{1}}, \vec{e_{2}}$ 是夹角为 $60 ^{\circ}$ 的两个单位向量， $\vec{a} = 2 \vec{e_{1}} - \vec{e_{2}}, \vec{b} = λ \vec{e_{1}} - 2 \vec{e_{2}} (λ \in R)$ .

(1)、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 可以作为一组基底，求实数 $λ$ 的取值范围；

(2)、若 $\vec{a}, \vec{b}$ 垂直，求实数 $λ$ 的值；

(3)、求 $|\vec{b}|$ 的最小值.

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17、在 $△ A B C$ 中， $A B = 3$ ， $A C = 6$ ， $∠ B A C = 60 ^{\circ}$ ， $D$ 在边 $B C$ 上，延长 $A D$ 到 $E$ ，使 $A E = 15$ .若 $\vec{E A} = t \vec{E B} + (\frac{3}{2} - t) \vec{E C}$ ，则 $B D =$ .

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18、甲船在 $B$ 岛的正南方向 $A$ 处， $A B = 10$ 千米，甲船向正北方向航行，同时乙船自 $B$ 岛出发向北偏东 $60 ^{\circ}$ 的方向航行，两船航行速度相同，则甲、乙两船的最近距离为千米.

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19、已知函数 $f (x) = \{\begin{array}{l} {log}_{2} (x + 1), x > 2 \\ x ^{2} + 2 x, x \leq 2 \end{array}$ ，则 $f (f (1)) =$ .

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20、小明在研究物理中某种粒子点 $P (x, y)$ 的运动轨迹，想找到 $y$ 与 $x$ 的函数关系，从而解决物理问题，但百思不得其解，经过继续深入研究，他发现 $y$ 和 $x$ 都与某个变量 $t (t \in R)$ 有关联，且有 $\{\begin{matrix} x = t - sin t \\ y = 1 - cos t \end{matrix}$ .小明以此为依据去判断函数 $y = f (x)$ 的性质，得到了一些结论，有些正确的结论帮助小明顺利的解决了物理问题，同时也让小明深深感受到学好数学对物理学习帮助很大！我们来看看，小明的以下结论正确的是（）

A、函数 $y = f (x)$ 的图象关于原点对称 B、函数 $y = f (x)$ 是以 $2 π$ 为周期的函数 C、函数 $y = f (x)$ 的图象存在多条对称轴 D、函数 $y = f (x)$ 在 $(0, \frac{1}{2})$ 上单调递增

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