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相关试卷

1、设 $z = \frac{4}{{(1 + i)}^{2}}$ ，则 $| z | =$ （）

A、2 B、1 C、4 D、3

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2、已知集合 $A = \{x ∣ y = ln x + 1\}$ ，集合 $B = \{x |x \leq \frac{1}{2}\}$ ，则 $A \cap B =$ （）

A、 $(0, \frac{1}{2}]$ B、 $(\frac{1}{2}, e)$ C、 $(e, + \infty)$ D、 $(0, \frac{1}{2})$

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3、如图，在四面体 $A B C D$ 中， $A B = B D = C D = 3, A B ⊥$ 平面 $B C D$ ， $C D ⊥ B D$ ，点 $M$ 为 $A D$ 上一点，且 $A M = 2 M D$ ，连接 $B M, C M$ .

(1)、求证 $B M ⊥ C D$ ．

(2)、求点 $D$ 到平面 $B M C$ 的距离；

(3)、求二面角 $M - B C - D$ 的余弦值.

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4、已知函数 $f (x) = \sin x \cos x - \sqrt{3} \cos^{2} x + \frac{\sqrt{3}}{2}$ .

(1)、求函数 $f (x)$ 的单调递减区间；

(2)、将函数 $f (x)$ 的图象上所有点的横坐标伸长为原来的2倍，纵坐标不变，再将所得图象向左平移 $\frac{π}{6}$ 个单位，得到函数 $g (x)$ 的图象，当 $x \in [\frac{π}{2}, π]$ 时，方程 $g (x) - m = 0$ 有且仅有一个解，求 $m$ 的取值范围.

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5、2024年中国全名健身走（跑）大赛（四川射洪站）城市联动接力赛在射洪市举行，志愿者的服务工作是城市联动接力赛成功举办的重要保障，射洪市新时代文明实践中心承办了志愿者选拔的面试工作.现随机抽取了100名候选者的面试成绩，并分成五组：第一组 $[45, 55)$ ，第二组 $[55, 65)$ ，第三组 $[65, 75)$ ，第四组 $[75, 85)$ ，第五组 $[85, 95]$ ，绘制成如图所示的频率分布直方图.已知第一、二组的频率之和为 $0.3$ ，第一组和第五组的频率相同.

(1)、求 $a$ ， $b$ 的值；

(2)、估计这100名候选者面试成绩的平均数和第25百分位数；

(3)、现从以上各组中用分层随机抽样的方法选取20人，担任本市的宣传者.若本市宣传者中第二组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为62和40，第四组面试者的面试成绩的平均数和方差分别为80和70，据此估计这次第二组和第四组所有面试者的面试成绩的方差.

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6、已知向量 $\vec{a} = (1, 2), \vec{b} = (2, - 2), \vec{c} = (λ + 3, 1)$ ，向量 $\vec{a}$ 与向量 $\vec{b}$ 的夹角为 $θ$ .

(1)、求 $\cos θ$ 的值；

(2)、若 $\vec{c} ⊥ (2 \vec{a} + \vec{b})$ ，求实数 $λ$ 的值.

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7、如图，已知正方形 $A B C D$ 的边长为4，若动点 $P$ 在以 $A B$ 为直径的半圆 $E$ (正方形 $A B C D$ 内部，含边界)，则 $\vec{P C} \cdot \vec{P D}$ 的取值范围为.

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8、已知 $\vec{a} = (1, 2)$ ， $\vec{b} = (1, 3)$ ，则 $\vec{a} \cdot \vec{b} =$ ．

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9、如图，在正方体 $A B C D - A_{1} B_{1} C_{1} D_{1}$ 中， $A B = 2$ ， $E, F, G, H, I$ 均为所在棱的中点， $P$ 是正方体表面上的动点，则下列说法正确的是（）

A、 $H I / /$ 平面 $E F G$ B、三棱锥 $A_{1} - E F G$ 的体积为 $\frac{1}{2}$ C、过 $E, F, G$ 三点的平面截正方体所得截面的面积为 $3 \sqrt{3}$ D、若 $A P = 2$ ，则点 $P$ 的轨迹长度为 $3 π$

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10、农历五月初五是端午节，民间有吃粽子的习惯，粽子又称粽籺，俗称“粽子”，古称“角黍”，是端午节大家都会品尝的食品，传说这是为了纪念战国时期楚国大臣、爱国主义诗人屈原．小明在和家人一起包粽子时，想将一丸子（近似为球）包入其中，如图，将粽叶展开后得到由六个边长为4的等边三角形所构成的平行四边形，将粽叶沿虚线折起来，可以得到如图所示的粽子形状的六面体，则放入丸子的体积最大值为（　　）．

A、 $\frac{16 \sqrt{2}}{3} π$ B、 $\frac{32 \sqrt{6}}{27} π$ C、 $\frac{128 \sqrt{2}}{81} π$ D、 $\frac{512 \sqrt{6}}{729} π$

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11、若圆锥的母线长为 $2 \sqrt{3}$ ，侧面展开图的面积为 $6 π$ ，则该圆锥的体积是（）

A、 $\sqrt{3} π$ B、 $3 π$ C、 $3 \sqrt{3} π$ D、 $9 π$

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12、在 $△ A B C$ 中，角 $A ､ B, C$ 所对的边分别为 $a, b, c$ ，若 $(\sqrt{3} b - c) cos A = a cos C$ ，则 $cos A =$ （）

A、 $\frac{\sqrt{3}}{3}$ B、 $\frac{\sqrt{2}}{4}$ C、 $\frac{\sqrt{2}}{3}$ D、 $\frac{8 \sqrt{3}}{81}$

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13、如图，在 $△ A B C$ 中， $B C = 4, A B = A C = 2 \sqrt{5}$ ，若 $△ A B C$ 的水平放置直观图为 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ ，则 $△ A^{'} B^{'} C^{'}$ 的面积为（）

A、 $\sqrt{2}$ B、 $2 \sqrt{2}$ C、 $3 \sqrt{2}$ D、 $4 \sqrt{2}$

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14、高三某班56人参加了数学模拟考试，通过抽签法，抽取了8人的考试成绩如下： $73, 71, 91, 80, 82, 85, 106, 93$ ，则这组数据的中位数与 $70 %$ 分位数分别为（）

A、 $81, 95.5$ B、 $81, 85$ C、 $83.5, 92$ D、 $83.5, 91$

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15、在概率统计中，常常用频率估计概率．已知袋中有若干个红球和白球，有放回地随机摸球 $n$ 次，红球出现 $m$ 次．假设每次摸出红球的概率为 $p$ ，根据频率估计概率的思想，则每次摸出红球的概率 $p$ 的估计值为 $\hat{p} = \frac{m}{n}$ ．

(1)、若袋中这两种颜色球的个数之比为 $1 : 3$ ，不知道哪种颜色的球多．有放回地随机摸取3个球，设摸出的球为红球的次数为 $Y$ ，则 $Y ～ B (3, p)$ ．
（注： $P_{p} (Y = k)$ 表示当每次摸出红球的概率为 $p$ 时，摸出红球次数为 $k$ 的概率）
（ⅰ）完成下表，并写出计算过程；
$k$
0
1
2
3
$P_{\frac{1}{4}} (Y = k)$
$\frac{27}{64}$

$\frac{1}{64}$
$P_{\frac{3}{4}} (Y = k)$

$\frac{9}{64}$

$\frac{27}{64}$
（ⅱ）在统计理论中，把使得 $P_{p} (Y = k)$ 的取值达到最大时的 $p$ ，作为 $p$ 的估计值，记为 $\hat{p}$ ，请写出 $\hat{p}$ 的值．

(2)、把（1）中“使得 $P_{p} (Y = k)$ 的取值达到最大时的 $p$ 作为 $p$ 的估计值 $\hat{p}$ ”的思想称为最大似然原理．基于最大似然原理的最大似然参数估计方法称为最大似然估计．具体步骤：先对参数 $θ$ 构建对数似然函数 $l (θ)$ ，再对其关于参数 $θ$ 求导，得到似然方程 $l^{'} (θ) = 0$ ，最后求解参数 $θ$ 的估计值．已知 $Y ～ B (n, p)$ 的参数 $p$ 的对数似然函数为 $l (p) = \sum_{i = 1}^{n} X_{i} \ln p + \sum_{i = 1}^{n} (1 - X_{i}) \ln (1 - p)$ ，其中 $X_{i} = \{\begin{matrix} 0, 第 i 次摸出白球 \\ 1, 第 i 次摸出红球 \end{matrix}$ ．求参数 $p$ 的估计值，并且说明频率估计概率的合理性．

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16、已知 $A$ 为双曲线 $C : x^{2} - \frac{y^{2}}{3} = 1$ 的右顶点，过点 $B (0, 2)$ 的直线 $l$ 交 $C$ 于D、E两点.

(1)、若 $A D ⊥ A E$ ，试求直线 $l$ 的斜率；

(2)、记双曲线 $C$ 的两条渐近线分别为 $l_{1}, l_{2}$ ，过曲线 $C$ 的右支上一点 $P$ 作直线与 $l_{1}$ ， $l_{2}$ 分别交于M、N两点，且M、N位于 $y$ 轴右侧，若满足 $\vec{M P} = λ \vec{P N}, λ \in [\frac{1}{2}, 4]$ ，求 $S_{△ M O N}$ 的取值范围（ $O$ 为坐标原点）.

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17、已知正项数列 $\{a_{n}\}$ 的前 $n$ 项和为 $S_{n}$ ，且满足 $a_{1} = 1, S_{n} = \frac{a_{n} a_{n + 1}}{2}$ .试求：

(1)、数列 $\{a_{n}\}$ 的通项公式；

(2)、记 $c_{n} = a_{2 n}$ ，数列 $\{\frac{1}{c_{n} c_{n + 1}}\}$ 的前 $n$ 项和为 $T_{n}$ ，当 $T_{n} > \frac{2}{9}$ 时，求满足条件的最小整数 $n$ .

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18、如图，在三棱锥 $P - A B C$ 中， $A B = P C = 2 P B = 2 A C = 2$ ，平面 $P A B ⊥$ 平面 $A B C, A B ⊥ A C$ .

(1)、证明： $P B ⊥$ 平面 $P A C$ ；

(2)、若 $D$ 为棱 $P C$ 上靠近 $P$ 的三等分点，求直线 $P A$ 与平面 $A B D$ 所成角的正弦值.

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19、已知 $△ A B C$ 的内角A、B、C所对的边长分别为a、b、c，且满足 $\cos C = \frac{c - c \cos A}{a}$ .请回答下列问题：

(1)、证明： $△ A B C$ 为等腰三角形；

(2)、若 $△ A B C$ 的外接圆直径为1，试求 $△ A B C$ 周长的取值范围.

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20、已知函数 $f (x) = x e^{a x} - \ln x - a x - 1$ ，若函数 $f (x)$ 的最小值恰好为0，则实数 $a$ 的最小值是.

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$k$	0	1	2	3
$P_{\frac{1}{4}} (Y = k)$	$\frac{27}{64}$			$\frac{1}{64}$
$P_{\frac{3}{4}} (Y = k)$		$\frac{9}{64}$		$\frac{27}{64}$